Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes.

Se a primeira etapa do evento possui x possibilidades e a segunda etapa é constituída de y possibilidades, então existem x . y possibilidades.

Portanto, o princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções dadas para determinar o total de possibilidades.

Esse conceito é importante para a análise combinatória, área da Matemática que reúne os métodos para resolução de problemas que envolvem a contagem e, por isso, é muito útil na investigação de possibilidades para determinar a probabilidade de fenômenos.

Exemplo 1

João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico da cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas de metrô que levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping para o centro histórico.

Exemplo resolvido sobre o princípio fundamental da contagem

De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar até o centro histórico passando pelo shopping?

Solução: O diagrama de árvore ou árvore de possibilidades é útil para analisar a estrutura de um problema e visualizar o número de combinações.

Observe como a constatação das combinações foi feita utilizando o diagrama de árvore.

Exemplo resolvido sobre o princípio fundamental da contagem

Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o shopping, e do shopping para o centro histórico temos 4 possibilidades, então o total de possibilidades é 12.

Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio fundamental da contagem, efetuando a multiplicação das possibilidades, ou seja, 3 x 4 = 12.

Exemplo 2

Um restaurante possui em seu cardápio 2 tipos de entradas, 3 tipos de pratos principais e 2 tipos de sobremesas. Quantos menus poderiam ser montados para uma refeição com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?

Solução: Utilizaremos a árvore de possibilidades para entender a montagem dos menus com entrada (E), prato principal (P) e sobremesa (S).

Exemplo com resolução sobre o princípio fundamental da contagem

Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 3 x 2 = 12. Portanto, poderiam ser formados 12 menus com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa.

Exercícios resolvidos

Questão 1

Ana estava se organizando para viajar e colocou na mala 3 calças, 4 blusas e 2 sapatos. Quantas combinações Ana pode formar com uma calça, uma blusa e um sapato?

a) 12 combinações
b) 32 combinações
c) 24 combinações
d) 16 combinações

Alternativa correta: c) 24 combinações.

Observe que para cada uma das 4 blusas, Ana tem 3 opções de calça e duas opções de sapato.

Portanto, 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades.

Sendo assim, Ana pode formar 24 combinações com as peças da mala. Confira os resultados com a árvore de possibilidades.

exercício resolvido com o diagrama de árvore

Questão 2

Um professor elaborou uma prova com 5 questões e os alunos deveriam respondê-la assinalando verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das questões. De quantas maneiras distintas o teste poderia ser respondido?

a) 25
b) 40
c) 24
d) 32

Alternativa correta: d) 32 respostas possíveis.

Existem duas opções distintas de resposta numa sequência de cinco questões.

Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos:

2.2.2.2.2 = 32 respostas possíveis para o teste.

Questão 3

De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

a) 200
b) 150
c) 250
d) 100

Alternativa correta: d) 100.

O número formado deve conter 3 algarismos para preencher a posição de centena, dezena e unidade.

tabela linha com célula com centena em moldura inferior fim da célula célula com dezena em moldura inferior fim da célula célula com unidade em moldura inferior fim da célula fim da tabela

Na primeira posição não podemos colocar o número 0, pois seria o mesmo que ter um número com 2 algarismos. Por isso, para a centena temos 5 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5).

Já para a segunda posição não podemos repetir o número que foi usado para centena, mas podemos utilizar o zero, portanto na dezena temos também 5 opções de algarismos.

Como nos foi dado 6 algarismos (0, 1, 2, 3, 4 e 5) e dois que foram utilizados anteriormente não podem ser repetidos, então para a unidade temos 4 opções de algarismos.

Sendo assim, 5 x 5 x 4 = 100. Temos 100 maneiras de escrever um número com 3 algarismos distintos utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

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