Proporcionalidade

A proporcionalidade estabelece uma relação entre as grandezas e grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado.

No cotidiano existem muitos exemplos dessa relação, como ao dirigir um carro, o tempo que se leva para efetuar o percurso depende da velocidade empregada, ou seja, tempo e velocidade são grandezas proporcionais.

O que é proporcionalidade?

Uma proporção representa a igualdade entre duas razões, sendo que uma razão corresponde ao quociente de dois números. Veja como representá-la a seguir.

reto a sobre reto b igual a reto c sobre reto d

Lê-se: a está para b assim como c está para d.

Acima, vemos que a, b, c e d são os termos de uma proporção, que possui as seguintes propriedades:

  • Propriedade fundamental: reto a. reto d espaço igual a espaço reto b. reto c
  • Propriedade da soma: numerador reto a espaço mais espaço reto b sobre denominador reto b fim da fração igual a numerador reto c espaço mais espaço reto d sobre denominador reto d fim da fração
  • Propriedade da subtração: numerador reto a espaço menos espaço reto b sobre denominador reto b fim da fração igual a numerador reto c espaço menos espaço reto d sobre denominador reto d fim da fração

Exemplo de proporcionalidade: Pedro e Ana são irmãos e perceberam que a soma das suas idades é igual a idade do pai, que é 60 anos. Se a idade de Pedro está para a de Ana assim como 4 está para 2, qual a idade de cada um deles?

Solução:

Primeiramente, montamos a proporção utilizando P para idade de Pedro e A para idade de Ana.

reto P sobre reto A igual a 4 sobre 2

Sabendo que P + A = 60, aplicamos a propriedade da soma e encontramos a idade de Ana.

numerador reto P espaço mais espaço reto A sobre denominador reto A fim da fração igual a numerador 4 espaço mais espaço 2 sobre denominador 2 fim da fração 60 sobre reto A igual a 6 sobre 2 120 espaço igual a espaço 6 reto A reto A espaço igual a espaço 20

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, calculamos a idade de Pedro.

reto P espaço. espaço 2 espaço igual a espaço 20 espaço. espaço 4 reto P espaço igual a 80 sobre 2 reto P espaço igual a espaço 40

Descobrimos que Ana tem 20 anos e Pedro tem 40 anos.

Saiba mais sobre Razão e Proporção.

Proporcionalidades: direta e inversa

Quando estabelecemos a relação entre duas grandezas, a variação de uma grandeza provoca uma mudança na outra grandeza na mesma proporção. Ocorre então uma proporcionalidade direta ou inversa.

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação ocorre sempre na mesma razão.

Exemplo: Uma indústria tem instalado um medidor de nível, que a cada 5 minutos marca a altura de água no reservatório. Observe a variação da altura de água ao longo do tempo.

Tempo (min) Altura (cm)
10 12
15 18
20 24

Observe que essas grandezas são diretamente proporcionais e possuem variação linear, ou seja, o aumento de uma implica no aumento da outra.

A constante de proporcionalidade (k) estabelece uma razão entre os números das duas colunas da seguinte forma:

10 sobre 12 igual a 15 sobre 18 igual a 20 sobre 24 igual a 5 sobre 6

Genericamente, podemos dizer que a constante para grandezas diretamente proporcionais é dada por x/y = k.

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma grandeza varia na razão inversa da outra.

Exemplo: João está treinando para uma prova de corrida e, por isso, decidiu verificar a velocidade que ele deveria correr para alcançar a linha de chegada no menor tempo possível. Observe o tempo que ele levou em diferentes velocidades.

Velocidade (m/s) Tempo (s)
20 60
40 30
60 20

Observe que as grandezas variam inversamente, ou seja, o aumento de uma implica na diminuição da outra na mesma proporção.

Veja como é dada a constante de proporcionalidade (k) entre as grandezas das duas colunas:

20 espaço. espaço 60 espaço igual a espaço 40 espaço. espaço 30 espaço igual a 60 espaço. espaço 20 espaço igual a espaço 1 espaço 200

Genericamente, podemos dizer que a constante para grandezas inversamente proporcionais é encontrada utilizando a fórmula x . y = k.

Leia também: Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Exercícios de grandezas proporcionais (com respostas)

Questão 1

(Enem/2011) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2.000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de:

a) 1:250
b) 1:2500
c) 1:25000
d) 1:250000
e) 1:25000000

Alternativa correta: e) 1:25000000.

Dados do enunciado:

  • Distância real entre A e B é igual a 2 000 km
  • Distância no mapa entre A e B é igual a 8 cm

Em uma escala os dois componentes, distância real e distância no mapa, devem estar na mesma unidade. Sendo assim, o primeiro passo é transformar km em cm.

2 000 km = 200 000 000 cm

Em um mapa, a escala é dada da seguinte forma:

1 sobre reto X

Onde, o numerador corresponde a distância no mapa e o denominador representa a distância real.

Para encontrar o valor de x fazemos a seguinte proporção entre as grandezas:

1 sobre reto X igual a numerador 8 espaço cm sobre denominador 200 espaço 000 espaço 000 espaço cm fim da fração

Para calcular o valor de X, aplicamos a propriedade fundamental das proporções.

reto a espaço. espaço reto d espaço igual a espaço reto b espaço. espaço reto c 1 espaço. espaço 200 espaço 000 espaço 000 espaço igual a espaço reto X espaço. espaço 8 reto X espaço igual a espaço numerador 200 espaço 000 espaço 000 sobre denominador 8 fim da fração reto X espaço igual a espaço 25 espaço 000 espaço 000

Chegamos a conclusão que os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de 1:25000000.

Questão 2

(Enem/2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg de massa corporal a cada 8 horas.

Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:

a) 12 kg.
b) 16 kg.
c) 24 kg.
d) 36 kg.
e) 75 kg.

Alternativa correta: a) 12 kg.

Primeiramente, montamos a proporção com os dados do enunciado.

5 sobre 2 igual a 30 sobre reto X

Temos então a seguinte proporcionalidade: 5 gotas devem ser ministradas a cada 2 kg, 30 gotas foram ministradas para uma pessoa de massa X.

Aplicando o teorema fundamental das proporções, encontramos a massa corporal do filho da seguinte forma:

5 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 2 espaço. espaço 30 reto X espaço igual a espaço 60 sobre 5 reto X espaço igual a espaço 12

Sendo assim, 30 gotas foram ministradas porque o filho tem 12 kg.

Adquira mais conhecimento lendo um texto sobre Regra de Três Simples e Composta.