Proporcionalidade

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A proporcionalidade estabelece uma relação entre as grandezas e grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado.

No cotidiano existem muitos exemplos dessa relação, como ao dirigir um carro, o tempo que se leva para efetuar o percurso depende da velocidade empregada, ou seja, tempo e velocidade são grandezas proporcionais.

Uma proporção representa a igualdade entre duas razões, sendo que uma razão corresponde ao quociente de dois números. Veja como representá-la a seguir.

$reto a sobre reto b igual a reto c sobre reto d$

Lê-se: a está para b assim como c está para d.

Acima, vemos que a, b, c e d são os termos de uma proporção, que possui as seguintes propriedades:

Propriedade fundamental: $reto a. reto d espaço igual a espaço reto b. reto c$
Propriedade da soma: $numerador reto a espaço mais espaço reto b sobre denominador reto b fim da fração igual a numerador reto c espaço mais espaço reto d sobre denominador reto d fim da fração$
Propriedade da subtração: $numerador reto a espaço menos espaço reto b sobre denominador reto b fim da fração igual a numerador reto c espaço menos espaço reto d sobre denominador reto d fim da fração$

Exemplo
Pedro e Ana são irmãos e perceberam que a soma das suas idades é igual a idade do pai, que é 60 anos. Se a idade de Pedro está para a de Ana assim como 4 está para 2, qual a idade de cada um deles?

Resolução
Primeiramente, montamos a proporção utilizando P para idade de Pedro e A para idade de Ana.

$reto P sobre reto A igual a 4 sobre 2$

Sabendo que P + A = 60, aplicamos a propriedade da soma e encontramos a idade de Ana.

$numerador reto P espaço mais espaço reto A sobre denominador reto A fim da fração igual a numerador 4 espaço mais espaço 2 sobre denominador 2 fim da fração 60 sobre reto A igual a 6 sobre 2 120 espaço igual a espaço 6 reto A reto A espaço igual a espaço 20$

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, calculamos a idade de Pedro.

$reto P espaço. espaço 2 espaço igual a espaço 20 espaço. espaço 4 reto P espaço igual a 80 sobre 2 reto P espaço igual a espaço 40$

Descobrimos que Ana tem 20 anos e Pedro tem 40 anos.

Saiba mais sobre Razão e Proporção.

Quando estabelecemos a relação entre duas grandezas, a variação de uma grandeza provoca uma mudança na outra grandeza na mesma proporção. Ocorre então uma proporcionalidade direta ou inversa.

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação ocorre sempre na mesma razão.

Exemplo: Uma indústria tem instalado um medidor de nível, que a cada 5 minutos marca a altura de água no reservatório. Observe a variação da altura de água ao longo do tempo.

Tempo (min)	Altura (cm)
10	12
15	18
20	24

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Observe que essas grandezas são diretamente proporcionais e possuem variação linear, ou seja, o aumento de uma implica no aumento da outra.

A constante de proporcionalidade (k) estabelece uma razão entre os números das duas colunas da seguinte forma:

$10 sobre 12 igual a 15 sobre 18 igual a 20 sobre 24 igual a 5 sobre 6$

Genericamente, podemos dizer que a constante para grandezas diretamente proporcionais é dada por x/y = k.

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma grandeza varia na razão inversa da outra.

Exemplo: João está treinando para uma prova de corrida e, por isso, decidiu verificar a velocidade que ele deveria correr para alcançar a linha de chegada no menor tempo possível. Observe o tempo que ele levou em diferentes velocidades.

Velocidade (m/s)	Tempo (s)
20	60
40	30
60	20

Observe que as grandezas variam inversamente, ou seja, o aumento de uma implica na diminuição da outra na mesma proporção.

Veja como é dada a constante de proporcionalidade (k) entre as grandezas das duas colunas:

$20 espaço. espaço 60 espaço igual a espaço 40 espaço. espaço 30 espaço igual a 60 espaço. espaço 20 espaço igual a espaço 1 espaço 200$

Genericamente, podemos dizer que a constante para grandezas inversamente proporcionais é encontrada utilizando a fórmula x . y = k.

Exercícios de grandezas proporcionais (com respostas)

Questão 1

(Enem/2011) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2.000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de:

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a) 1:250
b) 1:2500
c) 1:25000
d) 1:250000
e) 1:25000000

Ver Resposta

Alternativa correta: e) 1:25000000.

Dados do enunciado:

Distância real entre A e B é igual a 2 000 km
Distância no mapa entre A e B é igual a 8 cm

Em uma escala os dois componentes, distância real e distância no mapa, devem estar na mesma unidade. Sendo assim, o primeiro passo é transformar km em cm.

2 000 km = 200 000 000 cm

Em um mapa, a escala é dada da seguinte forma:

$1 sobre reto X$

Onde, o numerador corresponde a distância no mapa e o denominador representa a distância real.

Para encontrar o valor de x fazemos a seguinte proporção entre as grandezas:

$1 sobre reto X igual a numerador 8 espaço cm sobre denominador 200 espaço 000 espaço 000 espaço cm fim da fração$

Para calcular o valor de X, aplicamos a propriedade fundamental das proporções.

$reto a espaço. espaço reto d espaço igual a espaço reto b espaço. espaço reto c 1 espaço. espaço 200 espaço 000 espaço 000 espaço igual a espaço reto X espaço. espaço 8 reto X espaço igual a espaço numerador 200 espaço 000 espaço 000 sobre denominador 8 fim da fração reto X espaço igual a espaço 25 espaço 000 espaço 000$

Chegamos a conclusão que os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de 1:25000000.

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Veja também: Exercícios sobre Razão e Proporção

Questão 2

(Enem/2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg de massa corporal a cada 8 horas.

Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:

a) 12 kg.
b) 16 kg.
c) 24 kg.
d) 36 kg.
e) 75 kg.

Ver Resposta

Alternativa correta: a) 12 kg.

Primeiramente, montamos a proporção com os dados do enunciado.

$5 sobre 2 igual a 30 sobre reto X$

Temos então a seguinte proporcionalidade: 5 gotas devem ser ministradas a cada 2 kg, 30 gotas foram ministradas para uma pessoa de massa X.

Aplicando o teorema fundamental das proporções, encontramos a massa corporal do filho da seguinte forma:

$5 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 2 espaço. espaço 30 reto X espaço igual a espaço 60 sobre 5 reto X espaço igual a espaço 12$

Sendo assim, 30 gotas foram ministradas porque o filho tem 12 kg.

Adquira mais conhecimento lendo um texto sobre Regra de Três Simples e Composta.

Pratique com Exercícios sobre grandezas proporcionais (com gabarito resolvido).

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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