Exercícios sobre fração geratriz e dízima periódica

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Pratique transformar dízima periódica em fração geratriz. Consulte as resoluções passo a passo e tire suas dúvidas.

Questão 1

Determine a fração geratriz de 0,33333 ...

Resposta correta: 3/9.

O período, parte que se repete após a vírgula, é 3. Assim, a dízima pode ser escrita como: 0 vírgula 3 com barra sobrescrito.

Podemos resolver por dois métodos:

Método 1: fracionário

Somamos a parte inteira com uma fração, onde no numerador estará o período e, no denominador, um algarismo 9 para cada algarismo diferente do período.

0 espaço mais espaço 3 sobre 9

Neste caso em específico, a parte inteira é zero, de forma que a resposta é 3 sobre 9.

Método 2: algébrico

Passo 1: igualamos a dízima a x, obtendo a equação I.

x igual a 0 vírgula 3 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito

Passo 2: multiplicamos por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação II.

10 espaço. espaço reto x igual a 10 espaço. espaço 0 vírgula 3 com barra sobrescrito 10 reto x igual a 3 vírgula 3 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito

Passo 3: subtraímos da equação II a equação I.

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Passo 4: Isolamos o x e encontramos a fração geratriz.

x igual a 3 sobre 9

Questão 2

Determine a fração geratriz de 1,44444 ...

Resposta correta: 13/9.

O período, parte que se repete após a vírgula, é 4. Assim, a dízima pode ser escrita como: 1 vírgula 4 com barra sobrescrito.

Podemos resolver por dois métodos:

Método 1: fracionário

Somamos a parte inteira com uma fração, onde no numerador estará o período e, no denominador, um algarismo 9 para cada algarismo diferente do período.

1 espaço mais espaço 4 sobre 9 igual a 9 sobre 9 mais 4 sobre 9 igual a 13 sobre 9

Método 2: algébrico

Passo 1: igualamos a dízima a x, obtendo a equação I.

reto x igual a 14 vírgula 4 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito

Passo 2: multiplicamos por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação II.

10 espaço. espaço reto x igual a 10 espaço. espaço 1 vírgula 4 com barra sobrescrito 10 reto x igual a 14 vírgula 4 com barra sobrescrito

Passo 3: subtraímos da equação II a equação I.

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Passo 4: Isolamos o x e encontramos a fração geratriz.

reto x igual a 13 sobre 9

Questão 3

Determine a fração geratriz de 0,414141 ...

Resposta correta: 41/99

O período, parte que se repete após a vírgula, é 41. Assim, a dízima pode ser escrita como: 0 vírgula 41 com barra sobrescrito.

Podemos resolver por dois métodos:

Método 1: fracionário

Somamos a parte inteira com uma fração, onde no numerador estará o período e, no denominador, um algarismo 9 para cada algarismo diferente do período.

0 espaço mais espaço 41 sobre 99 igual a 41 sobre 99

Método 2: algébrico

Passo 1: igualamos a dízima a x, obtendo a equação I.

reto x igual a 0 vírgula 41 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito

Passo 2: multiplicamos por 100 ambos os lados da equação, obtendo a equação II. (pois há dois algarismos na dízima).

100 espaço. espaço reto x igual a 100 espaço. espaço 0 vírgula 41 com barra sobrescrito 100 reto x igual a 41 vírgula 41 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito

Passo 3: subtraímos da equação II a equação I.

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Passo 4: Isolamos o x e encontramos a fração geratriz.

x igual a 41 sobre 99

Questão 4

Determine a fração geratriz de 2,53030 ...

Resposta correta: 2505/990

Podemos reescrever como: 2 vírgula 5 30 com barra sobrescrito, onde 30 é o período. Esta é uma dízima composta.

Passo 1: igualar a x.

reto x igual a 2 vírgula 5 30 com barra sobrescrito

Passo 2: Multiplicar por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação I.

Como a dízima é composta, isto a transformará em simples.

10 espaço. espaço reto x igual a 10 espaço. espaço 2 vírgula 5 30 com barra sobrescrito 10 reto x igual a 25 vírgula 30 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito

Passo 3: multiplicar a equação I por 100 dos dois lados da igualdade, obtendo a equação II.

100 espaço. espaço 10 reto x igual a 100 espaço. espaço 25 vírgula 30 com barra sobrescrito 1 espaço 000 reto x igual a 2 espaço 530 vírgula 30 com barra sobrescrito

Passo 3: Subtrair a equação I da II.

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Passo 4: isolar o x e fazer a divisão.

x igual a numerador 2 espaço 505 sobre denominador 990 fim da fração igual a 2 vírgula 5 30 com barra sobrescrito espaço igual a espaço 2 vírgula 5303030 espaço... espaço

Questão 5

Determine a fração geratriz de 2,0454545

Resposta correta: 2025/990

Podemos reescrever como: 2 vírgula 0 45 com barra sobrescrito, onde 45 é o período.

Passo 1: igualar a x.

reto x igual a 2 vírgula 0 45 com barra sobrescrito

Passo 2: multiplicar por 10 ambos os lados da equação, obtendo a equação I.

Como a dízima é composta, isto a transformará em simples.

10 espaço. espaço reto x igual a 10 espaço. espaço 2 vírgula 0 45 com barra sobrescrito 10 reto x igual a 20 vírgula 45 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito

Passo 3: multiplicar a equação I por 100 dos dois lados da igualdade, obtendo a equação II.

100 espaço. espaço 10 reto x igual a 100 espaço. espaço 20 vírgula 45 com barra sobrescrito espaço 1 espaço 000 reto x igual a 2 espaço 045 vírgula 45 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito

Passo 3: Subtrair a equação I da II.

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Passo 4: isolar o x e fazer a divisão.

x igual a numerador 2 espaço 025 sobre denominador 990 fim da fração igual a 2 vírgula 0 45 com barra sobrescrito espaço igual a espaço 2 vírgula 0454545 espaço...

Questão 6

(EFOMM - 2021) Toda dízima periódica pode ser escrita em forma de sua fração geratriz. Considerando a fração geratriz 22229/27027, então o dígito que ocupará a 50ª casa decimal é

a) 2
b) 3
c) 4
d) 7
e) 8

Resposta correta: a) 2

Fazendo a divisão, encontramos:

numerador 22 espaço 229 sobre denominador 27 espaço 027 fim da fração igual a 0 vírgula 822473 822473 822473 822473 espaço... espaço

Perceba que a dízima pode ser reescrita como: 0 vírgula 822473 com barra sobrescrito

O período se repete de 6 em 6 dígitos e, o múltiplo inteiro mais próximo da 50ª casa decimal será:

6 x 8 = 48

Assim, o algarismo 3, último do período, ocupará a 48ª casa decimal. Logo, na próxima repetição, o primeiro algarismo 2 ocupará a 50ª posição.

Questão 7

(BNB 2003) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

a) 88
b) 89
c) 90
d) 91
e) 92

Resposta correta: b) 89

É preciso determinar a fração geratriz e, após, simplificar e somar numerador e denominador.

Podemos reescrever como: 0 vírgula 011 36 com barra sobrescrito , onde 36 é o período.

Passo 1: igualar a x.

reto x igual a 0 vírgula 011 36 com barra sobrescrito

Passo 2: multiplicar por 1000 ambos os lados da equação, obtendo a equação I.

Como a dízima é composta, isto a transformará em simples.

1000 espaço. espaço reto x igual a 1000 espaço. espaço 0 vírgula 011 36 com barra sobrescrito 1000 reto x igual a 11 vírgula 36 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito

Passo 3: multiplicar a equação I por 100 dos dois lados da igualdade, obtendo a equação II.

100 espaço. espaço 1000 reto x igual a 100 espaço. espaço 11 vírgula 36 com barra sobrescrito espaço 100 espaço 000 reto x igual a 1136 vírgula 36 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito

Passo 4: Subtrair a equação I da II.

Error converting from MathML to accessible text.

Passo 5: isolar o x.

x igual a 1125 sobre 99000

Uma vez determinada a fração geratriz, devemos simplificá-la. Dividindo numerador e denominador por 25, por 9 e, mais uma vez por 9.

1125 sobre 99000 igual a numerador 45 sobre denominador 3.960 fim da fração igual a 9 sobre 792 igual a 1 sobre 88

Assim, basta somar 1 + 88 = 89.

Questão 8

(SESC - SE) Se a fração irredutível a/b é a geratriz da dízima 3,012012..., então o valor de a - b :

a) 670
b) 1809
c) 2010
d) 590
e) 540

Resposta correta: a) 670

É preciso determinar a fração geratriz e, após, simplificar e subtrair numerador e denominador.

Podemos reescrever como: 3 vírgula 012 com barra sobrescrito , onde 012 é o período.

Passo 1: igualar a x obtendo a equação I.

reto x igual a 3 vírgula 012 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito

Passo 2: multiplicar por 1000 ambos os lados da equação, obtendo a equação II.

1 espaço 000 espaço. espaço reto x igual a 1 espaço 000 espaço. espaço 3 vírgula 012 com barra sobrescrito 1 espaço 000 reto x igual a 3 espaço 012 vírgula 012 com barra sobrescrito espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito

Passo 3: Subtrair a equação I da II.

Error converting from MathML to accessible text.

Passo 4: isolar o x e fazer a divisão.

x igual a numerador 3 espaço 009 sobre denominador 999 fim da fração igual a 3 vírgula 012 com barra sobrescrito

Uma vez determinada a fração geratriz, devemos simplificá-la. Dividindo numerador e denominador por 3.

numerador 3 espaço 009 sobre denominador 999 fim da fração igual a numerador 1 espaço 003 sobre denominador 333 espaço fim da fração

Assim, basta subtrair 1 003 - 333 = 670.

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Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.