Exercícios sobre conjuntos

Na Matemática, os conjuntos representam a reunião de diversos objetos e as operações realizadas com os conjuntos são: união, intersecção e diferença.

Aproveite as 10 questões a seguir para testar seus conhecimentos. Utilize as resoluções comentadas para tirar as suas dúvidas.

Questão 1

Considere os conjuntos

A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}

É correto afirmar que:

a) A superconjunto B
b) A subconjunto B
c) B ⊄ A
d) B intersecção A

Alternativa correta: b) A subconjunto B.

a) ERRADA. Há elementos de B que não pertencem ao conjunto A. Portanto, não podemos dizer que A contém B. A afirmação correta seria B superconjunto A.

b) CORRETA. Observe que todos os elementos de A também são elementos de B. Portanto, podemos dizer que A está contido em B, A é parte de B ou que A é um subconjunto de B.

questão sobre subconjuntos

c) ERRADA. Não há nenhum elemento de A que não pertence ao conjunto B. Portanto, não podemos dizer que B não contém A.

d) ERRADA. Como A é um subconjunto de B, então a intersecção dos conjuntos A e B é o próprio conjunto A: B intersecção A = A

Questão 2

Observe os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta.

A = {x|x é um múltiplo positivo de 4}
B = {x|x é um número par e 4 menor que ou igual a inclinado x menor que 16}

a) 145 pertence A
b) 26 pertence A e B
c) 11 pertence B
d) 12 pertence A e B

Alternativa correta: d) 12 pertence A e B

Os conjuntos da questão estão representados por suas leis de formação. Sendo assim, o conjunto A é formado por múltiplos positivos de 4, ou seja, A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…} e o conjunto B reúne os números pares maior ou igual a 4 e menor que 16. Portanto, B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Analisando as alternativas, temos:

a) ERRADA. 145 é um número terminado em 5 e, portanto, é múltiplo de 5.

b) ERRADA. 26, apesar de ser um número par, é maior que 16 e, por isso, não faz parte do conjunto B.

c) ERRADA. 11 não é um número par, mas sim um número primo, ou seja, só é divisível por 1 e ele mesmo.

d) CORRETA. 12 pertence aos conjuntos A e B, pois é um múltiplo de 4 e é um número par maior que 4 e menor que 16.

Questão 3

Qual a possível lei de formação do conjunto A = {2, 3, 5, 7, 11}?

a) A = {x|x é um número simétrico e 2 < x < 15}
b) A = {x|x é um número primo e 1 < x < 13}
c) A = {x|x é um número ímpar positivo e 1 < x < 14}
d) A = {x|x é um número natural menor que 10}

Alternativa correta: b) A = {x|x é um número primo e 1 < x < 13}

a) ERRADA. Números simétricos, também chamados de opostos, apresentam-se à mesma distância na reta numérica. Por exemplo, 2 e - 2 são simétricos.

b) CORRETA. O conjunto apresentado é dos números primos, sendo o 2 o menor número primo existente e também o único que é par.

c) ERRADA. Embora a maioria dos números seja ímpar existe o número 2 no conjunto, que é par.

d) ERRADA. Embora todos os números sejam naturais, o conjunto contém o número 11, que é maior que 10.

Questão 4

A união dos conjuntos A = {x|x é um número primo e 1 < x < 10} e B = {1, 3, 5, 7} é dada por:

a) A superconjunto B = {1,2,3,5,7}
b) A subconjunto B = {1,2,3,5,7}
c) A pertence B = {1,2,3,5,7}
d) A união B = {1,2,3,5,7}

Alternativa correta: d) A união B = {1, 2, 3, 5, 7}

Para o conjunto A = {x|x é um número primo e 1 < x < 10}, temos os elementos A = {2, 3, 5, 7}. Sendo assim, os conjuntos apresentados na questão são:

A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}

a) ERRADA. A não contém B, pois o elemento 1 não faz parte de A.

b) ERRADA. A não está contido em B, pois o elemento 2 não faz parte de B.

c) ERRADA. A não pertence a B, pois os conjuntos apresentam um elemento distinto.

d) CORRETA. A união de conjuntos corresponde à junção dos elementos que os compõem e é representada pelo símbolo união.

Portanto, a união de A = {2, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5, 7} é A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.

Questão 5

Represente os conjuntos A = {- 3, - 1, 0, 1, 6, 7} , B = {- 4, 1, 3, 5, 6, 7} e C = {- 5, - 3, 1, 2, 3, 5} no diagrama de Venn e em seguida determine:

Diagrama de Venn - questão sobre conjuntos

a) A intersecção B
b) C união B
c) C – A
d) B intersecção (A união C)

Resposta correta:
a) {1, 6, 7};
b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
c) {-5, 2, 3, 5} e
d) {1, 3, 5, 6, 7}.

Distribuindo os elementos dos conjuntos no diagrama de Venn, temos:

Diagrama de Venn e representação de conjuntos

Ao realizar as operações com os conjuntos dados, temos os seguintes resultados:

a) A intersecção B = {1, 6, 7}

Representação da intersecção de conjuntos no diagrama de Venn
Representação da intersecção de conjuntos no diagrama de Venn

b) C união B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}

Representação da união dos conjuntos no diagrama de Venn
Representação da união dos conjuntos no diagrama de Venn

c) C – A = {-5, 2, 3, 5}

Representação da diferença entre conjuntos no diagrama de Venn
Representação da diferença entre conjuntos no diagrama de Venn

d) B intersecção (A união C) = {1, 3, 5, 6, 7}

Diagrama de Venn e operações com conjuntos

Questão 6

Observe a área hachurada da figura e marque a alternativa que a representa.

Exercícios resolvidos sobre conjuntos

a) C união (A intersecção B)
b) C – (A união B)
c) C união (A – B)
d) C intersecção (A união B)

Resposta correta: b) C – (A união B)

Observe que a área hachurada representa os elementos que não pertencem aos conjuntos A e B. Portanto, trata-se de uma diferença entre conjuntos, que indicamos por (–).

Como os conjuntos A e B apresentam a mesma cor, podemos dizer que há a representação da união dos conjuntos, ou seja, a junção dos elementos de A e B, representada por A união B.

Portanto, podemos dizer que a área hachurada é a diferença de C da união de A e B, ou seja, C – (A união B).

Questão 7

Em um cursinho pré-vestibular existem 600 alunos matriculados em matérias isoladas. 300 alunos cursam Matemática, 200 alunos frequentam as aulas de Português e 150 alunos não cursam essas disciplinas.

Considerando os alunos matriculados no cursinho (U), alunos cursando matemática (M) e alunos que cursam português (P), determine:

a) o número de alunos de Matemática ou Português
b) o número de alunos de Matemática e Português

Resposta correta:

a) n (M união P) = 450
b) n (M intersecção P) = 50

a) o número de alunos pedidos engloba tanto os alunos de Matemática quanto os alunos de Português. Por isso, temos que encontrar a união dos dois conjuntos.

O resultado pode ser calculado subtraindo o número total de alunos da escola pelo número de alunos que não cursa essas disciplinas.

n(M união P) = n(U) - 150 = 600 - 150 = 450

b) como o resultado pedido é de alunos que cursa Matemática e Português, temos que encontrar a intersecção dos conjuntos, ou seja, os elementos comuns aos dois conjuntos.

Podemos calcular a intersecção dos dois conjuntos somando o número de alunos matriculados nas matérias de Português e Matemática e depois subtraindo o número de alunos que estuda essas duas disciplinas ao mesmo tempo.

n(M intersecção P) = n(M) + n(P) - n(M união P) = 300 + 200 - 450 = 50

Questão 8

Os conjuntos numéricos incluem os seguintes conjuntos: Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ), Irracionais (I), Reais (ℝ) e Complexos (ℂ). Sobre os conjuntos citados marque a definição que corresponde a cada um deles.

1. Números naturais

( ) abrange todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros.
2. Números inteiros

( ) corresponde a união dos racionais com os irracionais.

3. Números racionais ( ) são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis.
4. Números irracionais ( ) é formado pelos números que usamos nas contagens {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}
5. Números reais ( ) inclui as raízes do tipo √-n.
6. Números complexos ( ) reúne todos os elementos dos números naturais e seus opostos.

Resposta correta: 3, 5, 4, 1, 6, 2.

(3) Os números racionais abrangem todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros. Este conjunto inclui as divisões não exatas. ℚ = {x = a/b, com a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠ 0}

(5) Os números reais correspondem a união dos racionais com os irracionais, ou seja ℝ = ℚ ∪ I.

(4) Os números irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis. Os números deste grupo resultam das operações, cujo resultado não podiam ser escritos na forma de fração. Por exemplo a √ 2.

(1) Os números naturais são formados pelos números que usamos nas contagens ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}.

(6) Os números complexos incluem as raízes do tipo √-n e, por isso, é uma extensão dos números reais.

(2) Os números inteiros reúnem todos os elementos dos números naturais e seus opostos. Para ser possível resolver toda subtração, como por exemplo 7 - 10, foi estendido o conjunto dos naturais, surgindo então, o conjunto dos inteiros. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Questão 9

(UNB-Adaptada) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em assistir aos campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados:

  • 55 dos entrevistados não assistem;
  • 101 assistem às corridas de Fórmula l;
  • 27 assistem às corridas de Fórmula l e de Motovelocidade;

Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, às corridas de Motovelocidade?

a) 32
b) 44
c) 56
d) 28

Resposta correta: b) 44.

1º passo: determinar o número total de pessoas que assistem às corridas

Para isso, precisamos apenas subtrair o número total de entrevistados dos que declararam não assistir os campeonatos de corrida.

200 - 55 = 145 pessoas

2º passo: calcular o número de pessoas que assistem apenas às corridas de Motovelocidade

Questão de vestibular sobre conjuntos

74 + 27 + (x – 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71

Subtraindo o valor de x da interseção dos dois conjuntos, encontramos o número de entrevistados que assistem apenas às corridas de motovelocidade.

71 - 27 = 44

Questão 10

(UEL-PR) Num dado momento, três canais de TV tinham, em sua programação, novelas em seus horários nobres: a novela A no canal A, a novela B no canal B e a novela C no canal C. Numa pesquisa com 3000 pessoas, perguntou-se quais novelas agradavam. A tabela a seguir indica o número de telespectadores que designaram as novelas como agradáveis.

Novelas Número de telespectadores
A 1450
B 1150
C 900
A e B 350
A e C 400
B e C 300
A, B e C 100

Quantos telespectadores entrevistados não acham agradável nenhuma das três novelas?

a) 300 telespectadores.
b) 370 telespectadores.
c) 450 telespectadores.
d) 470 telespectadores.
e) 500 telespectadores.

Resposta correta: c) 450 telespectadores.

Questão de vestibular sobre operações com conjuntos

Existem 450 telespectadores que não acham agradável nenhuma das três novelas.

Saiba mais consultando os textos a seguir: