Diagrama de Venn

Rosimar Gouveia

O diagrama de Venn é uma forma gráfica que representa os elementos de um conjunto. Para fazer essa representação utilizamos formas geométricas.

Para indicar o conjunto universo, normalmente usamos um retângulo e para representar subconjuntos do conjunto universo empregamos círculos. Dentro dos círculos são incluídos os elementos do conjunto.

Quando dois conjuntos possuem elementos em comum, os círculos são desenhados com uma área de intersecção.

Diagrama de Venn

O diagrama de Venn recebe esse nome em homenagem ao matemático britânico John Venn (1834-1923) e foi concebido para representar operações entre conjuntos.

Além de ser aplicado em conjuntos, o diagrama de Venn é empregado nas mais diversas áreas do conhecimento como por exemplo lógica, estatística, ciências da computação, ciências sociais, entre outras.

Relação de inclusão entre conjuntos

Quando todos os elementos de um conjunto A também são elementos de um conjunto B, dizemos que o conjunto A é subconjunto de B, ou seja o conjunto A é parte do conjunto B.

Indicamos este tipo de relação por A subconjunto B e lemos "A está contido em B". Podemos usar ainda B superconjunto A que representa "B contém A".

Para representar a relação de inclusão através do diagrama de Venn, colocamos um círculo dentro de um outro círculo para indicar que um conjunto é subconjunto do outro.

Exemplo

O conjunto B dos meses do ano que começam com a letra J é um subconjunto do conjunto A dos meses do ano. Assim, podemos representar esses conjuntos através do diagrama de Venn, conforme imagem abaixo:

Subconjunto diagrama de Venn

Operações entre conjuntos

Diferença

A diferença entre dois conjuntos corresponde a operação de escrever um conjunto, eliminando os elementos que também fazem parte de um outro conjunto.

Essa operação é indicada por A - B e o resultado será os elementos que pertencem a A mas que não pertencem a B.

Para representar esta operação através do diagrama de Venn, desenhamos dois círculos e pintamos um deles excluindo a parte em comum dos conjuntos, como indicado abaixo:

Diferença de conjuntos

União

A operação de união representa a junção de todos os elementos que pertencem a dois ou mais conjuntos. Para indicar essa operação usamos o símbolo união.

No diagrama de Venn essa operação é indicada pintando-se todas a parte interna das circunferências que representam os conjuntos, de acordo com a imagem seguinte:

União

A intersecção entre conjuntos significa os elementos comuns, ou seja, todos os elementos que pertençam ao mesmo tempo a todos os conjuntos.

Assim, dados dois conjuntos A e B, a intersecção entre eles será denotada por A intersecção B e indicada no diagrama de Venn pela pintura da parte comum, conforme indicado abaixo:

Intersecção

Número de elementos de um conjunto

O diagrama de Veen é uma ótima ferramenta para ser usada em problemas que envolvam reunião de conjuntos.

Através do uso do diagrama, fica mais fácil identificar as partes comuns (intersecção) e assim, descobrir o número de elementos da união.

Exemplo

Foi feita uma pesquisa entre 100 estudantes de uma escola sobre o consumo de três marcas de refrigerantes: A, B e C. O resultado obtido foi: 38 estudantes consomem a marca A, 30 a marca B, 27 a marca C; 15 consomem a marca A e B, 8 as marcas B e C, 19 as marcas A e C e 4 consomem os três refrigerantes.

Considerando os dados da pesquisa, quantos estudantes consomem apenas uma dessas marcas?

Solução

Para resolver esse tipo de questão, vamos começar desenhando um diagrama de Venn. Cada marca de refrigerante será representada por um círculo.

Vamos começar colocando o número de estudantes que consomem as três marcas simultaneamente, ou seja, a intersecção da marca A,B e C.

Note que o número que consome as três marcas também está embutido no número que consome duas marcas. Então, antes de colocar esses valores no diagrama devemos tirar esses estudantes em comum

Devemos fazer o mesmo para o número que consome cada marca, pois aí também está repetido as partes comuns. Todo esse processo está apresentado na imagem abaixo:

número de elementos de um conjunto

Agora que conhecemos o número de cada parte do diagrama, podemos calcular o número de estudantes que consome apenas uma dessas marcas, somando os valores de cada conjunto. Assim, temos:

Nº de pessoas que consome apenas uma das marcas = 11 + 8 + 4 = 23

Exercícios Resolvidos

1) UERJ - 2015

Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grêmio e O Estudante. Em relação à leitura desses jornais, por parte dos 840 alunos da escola, sabe-se que:

  • 10% não leem esses jornais;
  • 520 leem o jornal O Estudante;
  • 440 leem o jornal Correio do Grêmio.

Calcule o número total de alunos do colégio que leem os dois jornais.

Primeiro, precisamos conhecer o número de estudantes que leem jornal. Neste caso, devemos calcular 10% de 840, que é igual a 84.

Desta forma, 840 -84 = 756, ou seja, 756 alunos leem jornal. O diagrama de Venn abaixo representa essa situação.

Questão Uerj 2015 diagrama de Venn

Para encontrar o número de alunos que leem os dois jornais, precisamos calcular o número de elementos da intersecção do conjunto A com o conjunto B, ou seja:

756 = 520 + 440 - n (AintersecçãoB)
n (AintersecçãoB) = 960 - 756 = 204

Portanto, 204 estudantes leem os dois jornais.

2) Enem - 2013

Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol.

Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.

Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?

a parêntese direito espaço 1 meio b parêntese direito espaço 5 sobre 8 c parêntese direito espaço 1 quarto d parêntese direito espaço 5 sobre 6 e parêntese direito espaço 5 sobre 14

Sabemos que 300 alunos não falam nem inglês, nem espanhol e que o total de alunos é igual a 1200, então o número de alunos que falam algum desses dois idiomas é igual a 900 (1200 - 300).

Contudo, também foi informado que 600 falam inglês e 500 falam espanhol, somando esses dois valores encontramos 1100 alunos.

Como já sabemos, 900 alunos falam um desses idiomas, então, a intersecção desses dois conjuntos é igual a 200, ou seja, 200 alunos falam inglês e espanhol.

Para saber o número de alunos que falam somente inglês ou somente espanhol, vamos fazer como indicado no diagrama de Venn abaixo:

Conjunto

De acordo com os valores do diagrama de Venn, identificamos que o universo dos alunos que não falam inglês é igual a 600, que é a soma dos que não falam nenhum dos dois idiomas com os que só falam espanhol (300+300).

Desta forma, a probabilidade de escolher ao acaso um aluno que fale espanhol sabendo que ele não fala inglês será dada por:

P parêntese esquerdo E parêntese direito igual a 300 sobre 600 igual a 1 meio

Alternativa: a) 1 meio

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.