Exercícios de Conjuntos Numéricos (com gabarito explicado)
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
Os conjuntos numéricos incluem os seguintes conjuntos: Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ), Irracionais (I), Reais (ℝ) e Complexos (ℂ).
Aproveite os exercícios comentados para verificar os seus conhecimentos sobre este importante assunto da Matemática.
Questão 1
Qual a proposição abaixo é verdadeira?
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais tem 1 elemento.
c) O número 1,83333... é um número racional.
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Alternativa correta: c) O número 1,83333... é um número racional.
Vamos analisar cada uma das afirmações:
a) Falsa. Realmente todo número inteiro é racional, pois pode ser escrito na forma de fração. Por exemplo, o número - 7, que é inteiro pode ser escrito, na forma de fração, como -7/1. Contudo, nem todo número real é inteiro, por exemplo 1/2 não é um número inteiro.
b) Falsa. O conjunto dos números racionais não possui nenhum número em comum com os irracionais, pois um número real ou é racional ou é irracional. Portanto, a intersecção é um conjunto vazio.
c) Verdadeira. O número 1,83333... é um dízima periódica, pois o algarismo 3 se repete infinitamente. Esse número pode ser escrito na forma de fração como 11/6, portanto é um número racional.
d) Falsa. Por exemplo, 7 dividido por 3 é igual a 2,33333..., que é uma dízima periódica, logo não é um número inteiro.
Questão 2
O valor da expressão abaixo, quando a = 6 e b = 9, é:
a) um número natural ímpar
b) um número que pertence ao conjunto dos números irracionais
c) não é um número real
d) um número inteiro cujo módulo é maior que 2
Alternativa correta: d) um número inteiro cujo módulo é maior que 2.
Primeiro vamos substituir as letras pelos valores indicados e resolver a expressão:
Note que (- 6)2 é diferente de - 62, a primeira operação pode ser feita como: (-6)2 = (- 6) . (- 6) = 36. Já sem os parênteses, apenas o 6 está elevado ao quadrado, ou seja - 62 = - (6.6) = -36.
Continuando a resolução, temos:
Observe que, como o índice da raiz é um número ímpar (raiz cúbica), existe raiz de número negativo no conjunto dos números reais. Se o índice da raiz fosse um número par, o resultado seria um número complexo.
Agora, vamos analisar cada uma das opções apresentadas:
A opção a está errada, pois a resposta é um número negativo que não faz parte do conjunto dos números naturais.
O número - 3 não é um decimal não periódico infinito, portanto, não é um irracional, logo a letra b também não é a solução correta.
A letra c também está errada, pois o número - 3 é um número pertencente ao conjunto dos números reais.
A opção correta só pode ser a letra d e realmente o resultado da expressão é um número inteiro e o módulo de -3 é 3 que é maior que 2.
Questão 3
Nos conjuntos (A e B) no quadro abaixo, qual alternativa representa uma relação de inclusão?
Alternativa correta: a)
A alternativa "a" é a única em que um conjunto está incluído em outro. O conjunto A inclui o conjunto B ou o Conjunto B está incluído em A.
Questão 4
Temos o conjunto A = {1, 2, 4, 8 e 16} e o conjunto B = {2, 4, 6, 8 e 10}. De acordo com a alternativas, onde estão localizados os elementos 2, 4 e 8?
Alternativa correta: c).
Os elementos 2, 4 e 8 são comuns aos dois conjuntos. Por isso, estão localizados no subconjunto A ∩ B (A intersecção com B).
Questão 5
Dados os conjuntos A, B e C, qual imagem representa A U (B ∩ C)?
Alternativa correta: d)
A única alternativa que satisfaz a condição inicial de B ∩ C (por conta dos parenteses) e, posteriormente, a união com A.
Questão 6
Uma pesquisa foi realizada para conhecer o hábito de compra dos consumidores em relação a três produtos. A pesquisa obteve os seguintes resultados:
40% compram o produto A.
25% compram o produto B.
33% compram o produto C.
20% compram os produtos A e B.
5% compram os produtos B e C.
19% compram os produtos A e C.
2% compram os três produtos.
Com base nesses resultados, responda:
a) Qual a porcentagem de entrevistados que não compram nenhum desses produtos?
b) Qual a porcentagem de entrevistados que compram o produto A e B e não compram o produto C?
c) Qual a porcentagem de entrevistados que compram pelo menos um dos produtos?
Respostas:
a) 44% dos entrevistados não consome nenhum dos três produtos.
b) 18% das pessoas que consomem os dois produtos (A e B) não consomem o produto C.
c) 56% dos entrevistados consomem pelo menos um dos produtos.
Para resolver esse problema, vamos fazer um diagrama para melhor visualizar a situação.
Devemos começar sempre pela intersecção dos três conjuntos. Depois vamos incluir o valor da intersecção de dois conjuntos, e por fim, a porcentagem de pessoas que só compram uma única marca de produto.
Percebe-se que no valor da porcentagem dos que consomem dois produtos, também está incluído a porcentagem das pessoas que consomem os três produtos.
Por isso, no diagrama indicamos a porcentagem de quem consome apenas dois produtos. Para tal, devemos subtrair a porcentagem de quem consome os três produtos da que consome dois.
Por exemplo, a porcentagem indicada que consome o produto A e o produto B é de 20%, entretanto neste valor está contabilizado os 2% relativos a quem consome os três produtos.
Fazendo a subtração destes valores, ou seja 20% - 2% = 18%, encontramos a porcentagem de consumidores que compram os produtos A e B apenas.
Considerando esses cálculos, o diagrama para a situação descrita ficará conforme a figura abaixo:
Com base neste diagrama, podemos agora passar a responder as perguntas propostas.
a) A porcentagem de quem não compra nenhum produto é igual ao todo, ou seja 100% tirando que consome algum produto. Assim, devemos fazer o seguinte cálculo:
Logo, 44% dos entrevistados não consome nenhum dos três produtos.
b) A porcentagem dos consumidores que compram o produto A e B e não compram o produto C é encontrada fazendo a subtração:
20 - 2 = 18%
Portanto, 18% das pessoas que consomem os dois produtos (A e B) não consomem o produto C.
c) Para encontrar a porcentagem das pessoas que consomem pelo menos um dos produtos, basta somar todos os valores que constam no diagrama. Assim, temos:
3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%
Desta forma, 56% dos entrevistados consomem pelo menos um dos produtos.
Questão 7
No intervalo , os múltiplos de dois formam o conjunto A. No intervalo , os múltiplos de três formam o conjunto B.
a) Determine o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A e B, simultaneamente.
b) Determine o conjunto numérico ao qual o conjunto C está contido.
Respostas:
a) Os números que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos é a interseção entre A e B.
Assim, os elementos de C são os múltiplos comuns a 2 e 3 que pertençam ao intervalo que o determina.
Para facilitar a visualização, vamos localizar estes números na reta numérica, fazendo uma aproximação da segunda casa decimal.
Fazendo uma representação esquemática:
Assim, o conjunto C, está compreendido entre 11,3 e 23,8. Os múltiplos comuns a 2 e 3 compreendidos neste intervalo, são:
b) O conjunto C está contido conjunto Z, dos números naturais.
Questão 8
(Enem/2004) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
Alternativa correta: c)118
Podemos resolver essa questão construindo um diagrama. Para isso, vamos começar com as páginas que são comuns dos três catálogos, ou seja, 4 páginas.
A partir daí, indicaremos os valores, subtraindo os que já foram contabilizados. Assim, o diagrama ficará conforme indicado abaixo:
Os valores foram encontrados fazendo os seguintes cálculos:
Intersecção C1, C2 e C3 : 4
Intersecção C2, C3: 5 - 4 = 1
Intersecção C1 e C3 : 6 - 4 = 2
Intersecção C1 e C2 : 10 - 4 = 6
Apenas C1: 50 - 12 = 38
Apenas C2: 45 - 11 = 34
Apenas C3: 40 - 7 = 33
Para encontrar o número de páginas, basta somar todos esses valores, ou seja:
4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118
Questão 9
(Enem/2017) Neste modelo de termômetro, os filetes registram as temperaturas mínima e máxima do dia anterior e os filetes na cor cinza registram a temperatura ambiente atual, ou seja, no momento da leitura do termômetro.
Por isso ele tem duas colunas. Na da esquerda, os números estão em ordem crescente, de cima para baixo, de -30 ºC até 50 ºC. Na coluna da direita, os números estão ordenados de forma crescente, de baixo para cima, de -30 ºC até 50 ºC.
A leitura é feita da seguinte maneira:
a temperatura mínima é indicada pelo nível inferior do filete preto na coluna da esquerda.
a temperatura máxima é indicada pelo nível inferior do filete preto na coluna da direita.
a temperatura atual é indicada pelo nível superior nos filetes cinzas nas duas colunas.
Qual é a temperatura máxima mais aproximada registrada nesse termômetro?
a) 5 ºC
b) 7 ºC
c) 13 ºC
d) 15 ºC
e) 19 ºC
Alternativa correta: e) 19 ºC
Para resolver a questão, basta fazer a leitura da escala da coluna da direita do filete preto, que representa o registro da temperatura máxima.
Questão 10
(Enem /2017) O resultado de uma pesquisa eleitoral, sobre a preferência dos eleitores em relação a dois candidatos, foi representado por meio do Gráfico 1.
Ao ser divulgado esse resultado em jornal, o Gráfico 1 foi cortado durante a diagramação, como mostra o Gráfico 2.
Apesar de os valores apresentados estarem corretos e a largura das colunas ser a mesma, muitos leitores criticaram o formato do Gráfico 2 impresso no jornal, alegando que houve prejuízo visual para o candidato B. A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna A nos gráficos 1 e 2 é:
a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35
Alternativa correta: e) 8/35
Para resolver a questão, primeiro precisamos encontrar a razão entre a altura da coluna B pela coluna A nos dois gráficos. Essas razões são encontradas contando quantas divisões tem em cada coluna.
Note que no gráfico 1 a coluna A está dividida em 7 "pedaços" iguais, já a coluna B em 3. No gráfico 2 a coluna A está dividida em 5 "pedaços" iguais e a coluna B em apenas 1.
Portanto, as frações que representam as razões da altura da coluna B pela coluna A pode ser indicada por
Agora basta resolver a subtração entre essas duas frações, Assim, temos:
Questão 11
(Enem/2018) Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma de um triângulo, exatamente como mostra a imagem.
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário escrever algebricamente o conjunto que representa os pontos desse gráfico.
Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x ; y) ∈ ℕ x ℕ, tais que
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20
Alternativa correta: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
Note que a figura expressa na questão, tanto no eixo y como no x, compreende os números naturais (ℕ x ℕ) entre 0 e 10. Temos que: 0 ≤ y ≤ 10 e 0 ≤ x ≤ 10.
Assim: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) e x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10). Entretanto, a figura representada é um triângulo. Para satisfazer essa condição, nos pares ordenados y não poderá ser maior que x.
Veja que os valores de y são limitados pela igualdade com os valores de x, formando a hipotenusa desse triângulo retângulo: (0;0), (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5)...(10;10).
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
, os múltiplos de dois formam o conjunto A. No intervalo 
, os múltiplos de três formam o conjunto B.
