Exercícios de Conjuntos Numéricos


Os conjuntos numéricos incluem os seguintes conjuntos: Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ), Irracionais (I), Reais (ℝ) e Complexos (ℂ).

O conjunto dos número naturais é formado pelos números que usamos nas contagens.

ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}

Para ser possível resolver toda subtração, como por exemplo 7 - 10, foi estendido o conjunto dos naturais, surgindo então, o conjunto dos inteiros.

ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Para incluir as divisões não exatas, foi adicionado o conjunto dos racionais, que abrange todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros.

ℚ = {x = a/b, com a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠ 0}

Contudo, existiam ainda operações que resultavam em números que não podiam ser escritos na forma de fração. Por exemplo a √ 2. Esse tipo de número é chamado de irracional.

A união dos racionais com os irracionais é chamado de conjunto dos números reais, ou seja ℝ = ℚ ∪ I.

Finalmente, o conjunto dos reais foi também estendido, para incluir as raízes do tipo √-n. Esse conjunto é chamado de conjunto dos números complexos.

Agora que já fizemos uma revisão deste assunto, é hora de aproveitar os exercícios comentados e questões do Enem para verificar os seus conhecimentos sobre este importante assunto da Matemática.

Exercícios Comentados

1) O valor da expressão abaixo, quando a = 6 e b = 9, é:

numerador b sobre denominador cúbica raiz de b menos a ao quadrado fim da raiz fim da fração

a) um número natural ímpar
b) um número que pertence ao conjunto dos números irracionais
c) não é um número real
d) um número inteiro cujo módulo é maior que 2

Solução

Primeiro vamos substituir as letras pelos valores indicados e resolver a expressão:

numerador 9 sobre denominador cúbica raiz de 9 menos 6 ao quadrado fim da raiz fim da fração igual a numerador 9 sobre denominador cúbica raiz de 9 menos 36 fim da raiz fim da fração

Note que (- 6)2 é diferente de - 62, a primeira operação pode ser feita como: (-6)2 = (- 6) . (- 6) = 36. Já sem os parênteses, apenas o 6 está elevado ao quadrado, ou seja - 62 = - (6.6) = -36.

Continuando a resolução, temos:

numerador 9 sobre denominador cúbica raiz de menos 27 fim da raiz fim da fração igual a numerador 9 sobre denominador menos 3 fim da fração igual a menos 3

Observe que, como o índice da raiz é um número ímpar (raiz cúbica), existe raiz de número negativo no conjunto dos números reais. Se o índice da raiz fosse um número par, o resultado seria um número complexo.

Agora, vamos analisar cada uma das opções apresentadas:

A opção a está errada, pois a resposta é um número negativo que não faz parte do conjunto dos números naturais.

O número - 3 não é um decimal não periódico infinito, portanto, não é um irracional, logo a letra b também não é a solução correta.

A letra c também está errada, pois o número - 3 é um número pertencente ao conjunto dos números reais.

A opção correta só pode ser a letra d e realmente o resultado da expressão é um número inteiro e o módulo de -3 é 3 que é maior que 2.

Resposta: letra d) um número inteiro cujo módulo é maior que 2

2) Qual a proposição abaixo é verdadeira:

a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais tem 1 elemento.
c) O número 1,83333... é um número racional.
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

Solução

Vamos analisar cada uma das afirmações:

a) Falsa. Realmente todo número inteiro é racional, pois pode ser escrito na forma de fração. Por exemplo, o número - 7, que é inteiro pode ser escrito, na forma de fração, como -7/1. Contudo, nem todo número real é inteiro, por exemplo 1/2 não é um número inteiro.

b) Falsa. O conjunto dos números racionais não possui nenhum número em comum com os irracionais, pois um número real ou é racional ou é irracional. Portanto, a intersecção é um conjunto vazio.

c) Verdadeira. O número 1,83333... é um dízima periódica, pois o algarismo 3 se repete infinitamente. Esse número pode ser escrito na forma de fração como 11/6, portanto é um número racional.

d) Falsa. Por exemplo, 7 dividido por 3 é igual a 2,33333..., que é uma dízima periódica, logo não é um número inteiro.

Resposta: letra c) O número 1,83333... é um número racional.

3) Uma pesquisa foi realizada para conhecer o hábito de compra dos consumidores em relação a três produtos. A pesquisa obteve os seguintes resultados:

  • 40% compram o produto A.
  • 25% compram o produto B.
  • 33% compram o produto C.
  • 20% compram os produtos A e B.
  • 5% compram os produtos B e C.
  • 19% compram os produtos A e C.
  • 2% compram os três produtos.

Com base nesses resultados, responda:

a) Qual a porcentagem de entrevistados que não compram nenhum desses produtos?
b) Qual a porcentagem de entrevistados que compram o produto A e B e não compram o produto C?
c) Qual a porcentagem de entrevistados que compram pelo menos um dos produtos?

Solução

Para resolver esse problema, vamos fazer um diagrama para melhor visualizar a situação.

Devemos começar sempre pela intersecção dos três conjuntos. Depois vamos incluir o valor da intersecção de dois conjuntos, e por fim, a porcentagem de pessoas que só compram uma única marca de produto.

Percebe-se que no valor da porcentagem dos que consomem dois produtos, também está incluído a porcentagem das pessoas que consomem os três produtos.

Por isso, no diagrama indicamos a porcentagem de quem consome apenas dois produtos. Para tal, devemos subtrair a porcentagem de quem consome os três produtos da que consome dois.

Por exemplo, a porcentagem indicada que consome o produto A e o produto B é de 20%, entretanto neste valor está contabilizado os 2% relativos a quem consome os três produtos.

Fazendo a subtração destes valores, ou seja 20% - 2% = 18%, encontramos a porcentagem de consumidores que compram os produtos A e B apenas.

Considerando esses cálculos, o diagrama para a situação descrita ficará conforme a figura abaixo:

Diagrama de Venn

Com base neste diagrama, podemos agora passar a responder as perguntas propostas.

a) A porcentagem de quem não compra nenhum produto é igual ao todo, ou seja 100% tirando que consome algum produto. Assim, devemos fazer o seguinte cálculo:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

Logo, 44% dos entrevistados não consome nenhum dos três produtos.

b) A porcentagem dos consumidores que compram o produto A e B e não compram o produto C é encontrada fazendo a subtração:

20 - 2 = 18%

Portanto, 18% das pessoas que consomem os dois produtos (A e B) não consomem o produto C.

c) Para encontrar a porcentagem das pessoas que consomem pelo menos um dos produtos, basta somar todos os valores que constam no diagrama. Assim, temos:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

Desta forma, 56% dos entrevistados consomem pelo menos um dos produtos.

Questões do Enem

1) Enem - 2004

Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:

a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110

Podemos resolver essa questão construindo um diagrama. Para isso, vamos começar com as páginas que são comuns dos três catálogos, ou seja, 4 páginas.

A partir daí, indicaremos os valores, subtraindo os que já foram contabilizados. Assim, o diagrama ficará conforme indicado abaixo:

Diagrama questão do enem 2004

Os valores foram encontrados fazendo os seguintes cálculos:

  • Intersecção C1, C2 e C3 : 4
  • Intersecção C2, C3: 5 - 4 = 1
  • Intersecção C1 e C3 : 6 - 4 = 2
  • Intersecção C1 e C2 : 10 - 4 = 6
  • Apenas C1: 50 - 12 = 38
  • Apenas C2: 45 - 11 = 34
  • Apenas C3: 40 - 7 = 33

Para encontrar o número de páginas, basta somar todos esses valores, ou seja:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

Alternativa c: 118

2) Enem - 2017

Neste modelo de termômetro, os filetes registram as temperaturas mínima e máxima do dia anterior e os filetes na cor cinza registram a temperatura ambiente atual, ou seja, no momento da leitura do termômetro.

Questão 170 do Enem 2017

Por isso ele tem duas colunas. Na da esquerda, os números estão em ordem crescente, de cima para baixo, de -30 ºC até 50 ºC. Na coluna da direita, os números estão ordenados de forma crescente, de baixo para cima, de -30 ºC até 50 ºC.

A leitura é feita da seguinte maneira:

  • a temperatura mínima é indicada pelo nível inferior do filete preto na coluna da esquerda.
  • a temperatura máxima é indicada pelo nível inferior do filete preto na coluna da direita.
  • a temperatura atual é indicada pelo nível superior nos filetes cinzas nas duas colunas.

Qual é a temperatura máxima mais aproximada registrada nesse termômetro?

a) 5 ºC
b) 7 ºC
c) 13 ºC
d) 15 ºC
e) 19 ºC

Para resolver a questão, basta fazer a leitura da escala da coluna da direita do filete preto, que representa o registro da temperatura máxima.

Alternativa e: 19 ºC

3) Enem - 2017

O resultado de uma pesquisa eleitoral, sobre a preferência dos eleitores em relação a dois candidatos, foi representado por meio do Gráfico 1.

Questão 178 Enem 2017 gráfico 1

Ao ser divulgado esse resultado em jornal, o Gráfico 1 foi cortado durante a diagramação, como mostra o Gráfico 2.

Questão 178 Enem 2017 gráfico 2

Apesar de os valores apresentados estarem corretos e a largura das colunas ser a mesma, muitos leitores criticaram o formato do Gráfico 2 impresso no jornal, alegando que houve prejuízo visual para o candidato B. A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna A nos gráficos 1 e 2 é:

a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35

Para resolver a questão, primeiro precisamos encontrar a razão entre a altura da coluna B pela coluna A nos dois gráficos. Essas razões são encontradas contando quantas divisões tem em cada coluna.

Note que no gráfico 1 a coluna A está dividida em 7 "pedaços" iguais, já a coluna B em 3. No gráfico 2 a coluna A está dividida em 5 "pedaços" iguais e a coluna B em apenas 1.

Portanto, as frações que representam as razões da altura da coluna B pela coluna A pode ser indicada por

G r á f i c o espaço 1 dois pontos espaço 3 sobre 7 espaço espaço espaço espaço G r á f i c o espaço 2 dois pontos 1 quinto

Agora basta resolver a subtração entre essas duas frações, Assim, temos:

3 sobre 7 menos 1 quinto igual a numerador 15 menos 7 sobre denominador 35 fim da fração igual a 8 sobre 35

Alternativa e: 8/35

Para saber mais, leia também: