Exercícios de Conjuntos Numéricos

Rosimar Gouveia

Os conjuntos numéricos incluem os seguintes conjuntos: Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ), Irracionais (I), Reais (ℝ) e Complexos (ℂ).

O conjunto dos número naturais é formado pelos números que usamos nas contagens.

ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}

Para ser possível resolver toda subtração, como por exemplo 7 - 10, foi estendido o conjunto dos naturais, surgindo então, o conjunto dos inteiros.

ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Para incluir as divisões não exatas, foi adicionado o conjunto dos racionais, que abrange todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros.

ℚ = {x = a/b, com a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠ 0}

Contudo, existiam ainda operações que resultavam em números que não podiam ser escritos na forma de fração. Por exemplo a √ 2. Esse tipo de número é chamado de irracional.

A união dos racionais com os irracionais é chamado de conjunto dos números reais, ou seja ℝ = ℚ ∪ I.

Finalmente, o conjunto dos reais foi também estendido, para incluir as raízes do tipo √-n. Esse conjunto é chamado de conjunto dos números complexos.

Agora que já fizemos uma revisão deste assunto, é hora de aproveitar os exercícios comentados e questões do Enem para verificar os seus conhecimentos sobre este importante assunto da Matemática.

Questão 1

Nos conjuntos (A e B) no quadro abaixo, qual alternativa representa uma relação de inclusão?

Relações entre dois conjuntos (A e B)

Alternativa correta: a)

A alternativa "a" é a única em que um conjunto está incluído em outro. O conjunto A inclui o conjunto B ou o Conjunto B está incluído em A.

Logo, quais afirmações estão corretas?

I - A C B
II - B C A
III - A Ɔ B
IV - B Ɔ A

a) I e II.
b) I e III.
c) I e IV.
d) II e III.
e) II e IV

Alternativa correta: d) II e III.

I - Errada - A não está contido em B (A Ȼ B).
II - Correta - B está contido em A (B C A).
III - Correta - A contém B (B Ɔ A).
IV - Errada - B não contém A (B ⊅ A).

Questão 2

Temos o conjunto A = {1, 2, 4, 8 e 16} e o conjunto B = {2, 4, 6, 8 e 10}. De acordo com a alternativas, onde estão localizados os elementos 2, 4 e 8?

opção de localização de elementos em um conjunto

Alternativa correta: c).

Os elementos 2, 4 e 8 são comuns aos dois conjuntos. Por isso, estão localizados no subconjunto A ∩ B (A intersecção com B).

Questão 3

Dados os conjuntos A, B e C, qual imagem representa A U (B ∩ C)?

Três conjuntos com hachuras de acordo com as alternativas.

Alternativa correta: d)

Alternativa correta

A única alternativa que satisfaz a condição inicial de B ∩ C (por conta dos parenteses) e, posteriormente, a união com A.

Questão 4

Qual a proposição abaixo é verdadeira?

a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais tem 1 elemento.
c) O número 1,83333... é um número racional.
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

Alternativa correta: c) O número 1,83333... é um número racional.

Vamos analisar cada uma das afirmações:

a) Falsa. Realmente todo número inteiro é racional, pois pode ser escrito na forma de fração. Por exemplo, o número - 7, que é inteiro pode ser escrito, na forma de fração, como -7/1. Contudo, nem todo número real é inteiro, por exemplo 1/2 não é um número inteiro.

b) Falsa. O conjunto dos números racionais não possui nenhum número em comum com os irracionais, pois um número real ou é racional ou é irracional. Portanto, a intersecção é um conjunto vazio.

c) Verdadeira. O número 1,83333... é um dízima periódica, pois o algarismo 3 se repete infinitamente. Esse número pode ser escrito na forma de fração como 11/6, portanto é um número racional.

d) Falsa. Por exemplo, 7 dividido por 3 é igual a 2,33333..., que é uma dízima periódica, logo não é um número inteiro.

Questão 5

O valor da expressão abaixo, quando a = 6 e b = 9, é:

numerador b sobre denominador cúbica raiz de b menos a ao quadrado fim da raiz fim da fração

a) um número natural ímpar
b) um número que pertence ao conjunto dos números irracionais
c) não é um número real
d) um número inteiro cujo módulo é maior que 2

Alternativa correta:d) um número inteiro cujo módulo é maior que 2

Primeiro vamos substituir as letras pelos valores indicados e resolver a expressão:

numerador 9 sobre denominador cúbica raiz de 9 menos 6 ao quadrado fim da raiz fim da fração igual a numerador 9 sobre denominador cúbica raiz de 9 menos 36 fim da raiz fim da fração

Note que (- 6)2 é diferente de - 62, a primeira operação pode ser feita como: (-6)2 = (- 6) . (- 6) = 36. Já sem os parênteses, apenas o 6 está elevado ao quadrado, ou seja - 62 = - (6.6) = -36.

Continuando a resolução, temos:

numerador 9 sobre denominador cúbica raiz de menos 27 fim da raiz fim da fração igual a numerador 9 sobre denominador menos 3 fim da fração igual a menos 3

Observe que, como o índice da raiz é um número ímpar (raiz cúbica), existe raiz de número negativo no conjunto dos números reais. Se o índice da raiz fosse um número par, o resultado seria um número complexo.

Agora, vamos analisar cada uma das opções apresentadas:

A opção a está errada, pois a resposta é um número negativo que não faz parte do conjunto dos números naturais.

O número - 3 não é um decimal não periódico infinito, portanto, não é um irracional, logo a letra b também não é a solução correta.

A letra c também está errada, pois o número - 3 é um número pertencente ao conjunto dos números reais.

A opção correta só pode ser a letra d e realmente o resultado da expressão é um número inteiro e o módulo de -3 é 3 que é maior que 2.

Questão 6

Uma pesquisa foi realizada para conhecer o hábito de compra dos consumidores em relação a três produtos. A pesquisa obteve os seguintes resultados:

  • 40% compram o produto A.
  • 25% compram o produto B.
  • 33% compram o produto C.
  • 20% compram os produtos A e B.
  • 5% compram os produtos B e C.
  • 19% compram os produtos A e C.
  • 2% compram os três produtos.

Com base nesses resultados, responda:

a) Qual a porcentagem de entrevistados que não compram nenhum desses produtos?
b) Qual a porcentagem de entrevistados que compram o produto A e B e não compram o produto C?
c) Qual a porcentagem de entrevistados que compram pelo menos um dos produtos?

Respostas:
a) 44% dos entrevistados não consome nenhum dos três produtos.
b) 18% das pessoas que consomem os dois produtos (A e B) não consomem o produto C.
c) 56% dos entrevistados consomem pelo menos um dos produtos.

Para resolver esse problema, vamos fazer um diagrama para melhor visualizar a situação.

Devemos começar sempre pela intersecção dos três conjuntos. Depois vamos incluir o valor da intersecção de dois conjuntos, e por fim, a porcentagem de pessoas que só compram uma única marca de produto.

Percebe-se que no valor da porcentagem dos que consomem dois produtos, também está incluído a porcentagem das pessoas que consomem os três produtos.

Por isso, no diagrama indicamos a porcentagem de quem consome apenas dois produtos. Para tal, devemos subtrair a porcentagem de quem consome os três produtos da que consome dois.

Por exemplo, a porcentagem indicada que consome o produto A e o produto B é de 20%, entretanto neste valor está contabilizado os 2% relativos a quem consome os três produtos.

Fazendo a subtração destes valores, ou seja 20% - 2% = 18%, encontramos a porcentagem de consumidores que compram os produtos A e B apenas.

Considerando esses cálculos, o diagrama para a situação descrita ficará conforme a figura abaixo:

diagrama de venn com a porcentagem relativa à questão

Com base neste diagrama, podemos agora passar a responder as perguntas propostas.

a) A porcentagem de quem não compra nenhum produto é igual ao todo, ou seja 100% tirando que consome algum produto. Assim, devemos fazer o seguinte cálculo:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

Logo, 44% dos entrevistados não consome nenhum dos três produtos.

b) A porcentagem dos consumidores que compram o produto A e B e não compram o produto C é encontrada fazendo a subtração:

20 - 2 = 18%

Portanto, 18% das pessoas que consomem os dois produtos (A e B) não consomem o produto C.

c) Para encontrar a porcentagem das pessoas que consomem pelo menos um dos produtos, basta somar todos os valores que constam no diagrama. Assim, temos:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

Desta forma, 56% dos entrevistados consomem pelo menos um dos produtos.

Questão 7

(Enem/2004) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:

a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110

Alternativa correta: c)118

Podemos resolver essa questão construindo um diagrama. Para isso, vamos começar com as páginas que são comuns dos três catálogos, ou seja, 4 páginas.

A partir daí, indicaremos os valores, subtraindo os que já foram contabilizados. Assim, o diagrama ficará conforme indicado abaixo:

Diagrama questão do enem 2004wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Os valores foram encontrados fazendo os seguintes cálculos:

  • Intersecção C1, C2 e C3 : 4
  • Intersecção C2, C3: 5 - 4 = 1
  • Intersecção C1 e C3 : 6 - 4 = 2
  • Intersecção C1 e C2 : 10 - 4 = 6
  • Apenas C1: 50 - 12 = 38
  • Apenas C2: 45 - 11 = 34
  • Apenas C3: 40 - 7 = 33

Para encontrar o número de páginas, basta somar todos esses valores, ou seja:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

Questão 8

(Enem/2017) Neste modelo de termômetro, os filetes registram as temperaturas mínima e máxima do dia anterior e os filetes na cor cinza registram a temperatura ambiente atual, ou seja, no momento da leitura do termômetro.

Questão 170 do Enem 2017wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Por isso ele tem duas colunas. Na da esquerda, os números estão em ordem crescente, de cima para baixo, de -30 ºC até 50 ºC. Na coluna da direita, os números estão ordenados de forma crescente, de baixo para cima, de -30 ºC até 50 ºC.

A leitura é feita da seguinte maneira:

  • a temperatura mínima é indicada pelo nível inferior do filete preto na coluna da esquerda.
  • a temperatura máxima é indicada pelo nível inferior do filete preto na coluna da direita.
  • a temperatura atual é indicada pelo nível superior nos filetes cinzas nas duas colunas.

Qual é a temperatura máxima mais aproximada registrada nesse termômetro?

a) 5 ºC
b) 7 ºC
c) 13 ºC
d) 15 ºC
e) 19 ºC

Alternativa correta: e) 19 ºC

Para resolver a questão, basta fazer a leitura da escala da coluna da direita do filete preto, que representa o registro da temperatura máxima.

Questão 9

(Enem /2017) O resultado de uma pesquisa eleitoral, sobre a preferência dos eleitores em relação a dois candidatos, foi representado por meio do Gráfico 1.

Questão 178 Enem 2017 gráfico 1wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Ao ser divulgado esse resultado em jornal, o Gráfico 1 foi cortado durante a diagramação, como mostra o Gráfico 2.

Questão 178 Enem 2017 gráfico 2wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Apesar de os valores apresentados estarem corretos e a largura das colunas ser a mesma, muitos leitores criticaram o formato do Gráfico 2 impresso no jornal, alegando que houve prejuízo visual para o candidato B. A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna A nos gráficos 1 e 2 é:

a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35

Alternativa correta: e) 8/35

Para resolver a questão, primeiro precisamos encontrar a razão entre a altura da coluna B pela coluna A nos dois gráficos. Essas razões são encontradas contando quantas divisões tem em cada coluna.

Note que no gráfico 1 a coluna A está dividida em 7 "pedaços" iguais, já a coluna B em 3. No gráfico 2 a coluna A está dividida em 5 "pedaços" iguais e a coluna B em apenas 1.

Portanto, as frações que representam as razões da altura da coluna B pela coluna A pode ser indicada por

G r á f i c o espaço 1 dois pontos espaço 3 sobre 7 espaço espaço espaço espaço G r á f i c o espaço 2 dois pontos 1 quinto

Agora basta resolver a subtração entre essas duas frações, Assim, temos:

3 sobre 7 menos 1 quinto igual a numerador 15 menos 7 sobre denominador 35 fim da fração igual a 8 sobre 35

Questão 10

(Enem/2018) Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma de um triângulo, exatamente como mostra a imagem.

plano cartesiano com um triângulo do projeto de logotipo da questão (Enem 2018)wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário escrever algebricamente o conjunto que representa os pontos desse gráfico.

Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x ; y) ∈ x , tais que
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20

Alternativa correta: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10

Note que a figura expressa na questão, tanto no eixo y como no x, compreende os números naturais ( x ) entre 0 e 10. Temos que: 0 ≤ y ≤ 10 e 0 ≤ x ≤ 10.

Assim: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) e x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10). Entretanto, a figura representada é um triângulo. Para satisfazer essa condição, nos pares ordenados y não poderá ser maior que x.

Veja que os valores de y são limitados pela igualdade com os valores de x, formando a hipotenusa desse triângulo retângulo: (0;0), (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5)...(10;10).

Resolução da questão: plano cartesiano com triângulowAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Desse modo, temos que: y ≤ x.

Logo, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.

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Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.