A função afim ou função polinomial do 1º grau, representa qualquer função do tipo f (x) = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0.
Este tipo de função pode ser aplicada em diversas situações do cotidiano, nas mais variadas áreas. Portanto, saber resolver problemas que envolvem este tipo de cálculo é fundamental.
Questão 1
Um atleta ao ser submetido a um determinado treino específico apresenta, ao longo do tempo, ganho de massa muscular. A função P(t) = P0 + 0,19 t, expressa o peso do atleta em função do tempo ao realizar esse treinamento, sendo P0 o seu peso inicial e t o tempo em dias.
Considere um atleta que antes do treinamento apresentava 55 kg e que necessita chegar ao peso de 60 kg, em um mês. Fazendo unicamente esse treinamento, será possível alcançar o resultado esperado?
Resposta correta: Sim.
Substituindo o tempo indicado na função, podemos encontrar o peso do atleta ao final de um mês de treinamento e comparar com o peso que se deseja alcançar.
Vamos então substituir na função o peso inicial (P0) por 55 e o tempo por 30, pois seu valor deve ser dado em dias:
Assim, o atleta terá ao final de 30 dias, 60,7 kg. Portanto, usando o treinamento será possível sim atingir a meta.
Questão 2
Uma certa indústria produz peças de automóveis. Para produzir essas peças a empresa possui um custo mensal fixo de R$ 9 100,00 e custos variáveis com matéria prima e demais despesas associadas à produção. O valor dos custos variáveis é de R$ 0,30 por cada peça produzida.
Sabendo que o preço de venda de cada peça é de R$ 1,60, determine o número necessário de peças que a indústria deverá produzir por mês para não ter prejuízo.
Resposta correta: pelo menos 7 000 peças por mês.
Para resolver esse problema, vamos considerar como x o número de peças produzidas. Podemos ainda, definir uma função custo de produção Cp(x), que é a soma dos custos fixos e dos custos variáveis.
Essa função é definida por:
Cp (x) = 9 100 + 0,3x
Vamos também estabelecer a função faturamento F(x), que depende do número de peças produzidas.
F(x) = 1,6x
Podemos representar essas duas funções traçando os seus gráficos, conforme mostrado abaixo
Observando este gráfico, notamos que existe um ponto de intersecção (ponto P) entre as duas retas. Esse ponto representa o número de peças em que o faturamento é exatamente igual ao custo de produção.
Portanto, para determinar quanto que a empresa precisa produzir para não ter prejuízo, precisamos conhecer esse valor.
Para tal, basta igualar as duas funções definidas:
Assim, será necessário que sejam produzidos pelo menos 7 000 peças por mês, para que a empresa não tenha prejuízo.
Questão 3
Uma empresa de telefonia oferece dois tipos de planos:
Plano Plus: 3,5 GB de internet, mais ligações ilimitadas para telefones fixos e celulares.
Plano Econômico: 3,5 GB de internet, mais 50 min de ligações para telefones fixos e celulares.
O plano Plus custa por mês R$ 65,90, já o plano Econômico custa R$ 10,80, sendo que é cobrado R$ 1,90 por minuto quando o cliente exceder os 50 min incluídos no plano.
Considerando esses dois planos, usando quantos minutos de ligações por mês, o plano Plus passa a ser mais econômico?
a) 30 min
b) 50 min
c) 60 min
d) 70 min
e) 80 min
Alternativa correta e) 80 min.
O custo mensal do plano Econômico, quando o cliente excede os minutos incluídos no plano, pode ser indicado pela função f(x), sendo x os minutos excedentes. Assim, a função será:
f(x) = 10,8 + 1,9x
Então, para sabermos a partir de quantos minutos mensais vale adquirir o plano Plus, vamos igualar essa função ao valor deste plano:
Como é dado uma franquia de 50 min, então para quem gasta por mês 79 min (50+29) os dois planos possuem o mesmo valor. Portanto, usando 80 min, o plano Plus passa a ser mais econômico.
Questão 4
(UERJ - 2014) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x.
Determine o tempo x0, em horas, indicado no gráfico.
Resposta correta: 30 horas.
Como o gráfico das duas funções são retas, as funções são afins. Logo, as funções podem ser escritas na forma f(x) = ax +b.
O coeficiente a de uma função afim representa a taxa de variação e o coeficiente b o ponto em que o gráfico corta o eixo y.
Assim, para o reservatório A, o coeficiente a vale -10, visto que está perdendo água e o valor de b é720. Para o reservatório B, o coeficiente a é igual a 12, pois este reservatório está recebendo água e o valor de b é 60.
Portanto, as retas que representam as funções no gráfico serão:
Reservatório A : y = -10 x + 720
Reservatório B: y = 12 x +60
O valor de x0 será a intersecção das duas retas. Portanto, basta igualar as duas equações para encontrar o seu valor:
Logo, o valor de x0 é igual a 30 horas.
Questão 5
(Enem - 2016) Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo.
Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora?
a) 1 000
b) 1 250
c) 1 500
d) 2 000
e) 2 500
Alternativa correta: c) 1 500.
A vazão da bomba é igual a taxa de variação da função, ou seja, seu coeficiente angular. Note que na primeira hora, com apenas uma bomba ligada, a taxa de variação era:
Assim, a primeira bomba esvazia a cisterna com um vazão de 1000 l/h.
Ao ligar a segunda bomba, o coeficiente angular muda, e seu valor será:
Ou seja, as duas bombas ligadas juntas, possuem uma vazão de 2500 l/h.
Para encontrar a vazão da segunda bomba, basta diminuir do valor encontrado a vazão da primeira bomba, então:
2500 - 1000= 1500 l/h
Portanto, a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora é 1500 l/h.
Questão 6
(Cefet - MG - 2015) Um motorista de táxi cobra, para cada corrida, uma taxa fixa de R$ 5,00 e mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é função da quantidade total (x) de quilômetros percorridos e calculado por meio da função R(x) = ax + b, em que a é o preço cobrado por quilômetro e b, a soma de todas as taxas fixas recebidas no dia. Se, em um dia, o taxista realizou 10 corridas e arrecadou R$ 410,00, então a média de quilômetros rodados por corrida, foi de
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
Alternativa correta: c) 18.
Primeiro precisamos escrever a função R(x), e para isso, precisamos identificar os seus coeficientes. O coeficiente a é igual ao valor cobrado pelo quilômetro rodado, ou seja a=2.
Já o coeficiente b é igual a taxa fixa (R$5,00) multiplicada pelo número de corridas, que neste caso, é igual a 10; logo, b será igual a 50 (10.5).
Assim, R(x) = 2x + 50.
Para calcular os quilômetros rodados, temos que encontrar o valor do x. Como R(x) = 410 (total arrecadado no dia), basta substituir esse valor na função:
Portanto, o taxista rodou ao final do dia 180 km. Para encontrar a média, basta dividir 180 por 10 (nº de corridas), encontrando então que a média de quilômetros rodados por corrida foi de 18 km.
Questão 7
(Enem - 2012) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
QO = – 20 + 4P
QD = 46 – 2P
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
a) 5
b) 11
c) 13
d) 23
e) 33
Alternativa correta: b) 11.
O valor do preço de equilíbrio é encontrado igualando-se as duas equações dadas. Assim, temos:
Questão 8
(Unicamp - 2016) Considere a função afim f(x) = ax + b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) = 2, podemos afirmar que f(f(3) + f(5)) é igual a
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
Alternativa correta: d) 2.
Sendo a f(4) = 2 e f(4) = 4a + b, então 4a + b = 2. Considerando ainda que f(3) = 3a + b e f(5) = 5a +b, a função da soma das funções será:
Portanto, sabendo que f(4) = 2, podemos afirmar que f(f(3) + f(5)) é igual a 2.
