Função Afim


A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax + b, sendo a e b números reais. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são exemplos de funções afim.

Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante.

Gráfico de uma Função do 1º grau

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.

Exemplo

Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3.

Solução

Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na equação e calcular o valor correspondente para a f (x).

Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses valores na função, temos:

f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7

Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo:

Gráfico da função afim

No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta bastam dois pontos.

Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da função corta o eixo Ox e Oy respectivamente.

Coeficiente Linear e Angular

Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado de coeficiente angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta corta o eixo Oy. Pois sendo x = 0, temos:

y = a.0 + b ⇒ y = b

Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será chamada de constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox.

Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:

Gráfico da função constante

Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O gráfico da função f (x) = x (função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0).

Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois ângulos iguais, conforme indicado na imagem abaixo:

Gráfico da função identidade

Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é chamada de função linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares.

O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0).

Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x:

Gráfico da Função Linear

Função Crescente e Decrescente

Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será também cada vez maior.

Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será cada vez menor.

Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu coeficiente angular.

Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao contrário, se a for negativo, a função será decrescente.

Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é decrescente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo:

Função Crescente e decrescente

Para saber mais, leia também:

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

Em uma determinada cidade, a tarifa cobrada pelos taxistas corresponde a uma parcela fixa chamada de bandeirada e uma parcela referente aos quilômetros rodados. Sabendo que uma pessoa pretende fazer uma viagem de 7 km em que o preço da bandeirada é igual a R$ 4,50 e o custo por quilômetro rodado é igual a R$ 2,75, determine:

a) uma fórmula que expresse o valor da tarifa cobrada em função dos quilômetros rodados para essa cidade.
b) quanto irá pagar a pessoa referida no enunciado.

a) De acordo com os dados, temos que b = 4,5, pois a bandeirada não depende da quantidade de quilômetros percorridos.

Cada quilômetro rodado deverá ser multiplicado por 2,75. Sendo assim, esse valor será igual a taxa de variação, ou seja, a = 2,75.

Considerando p (x) o preço da tarifa, podemos escrever a seguinte fórmula para expressar esse valor:

p (x) = 2,75 x + 4,5

b) Agora que já definimos a função, para calcular o valor da tarifa basta substituir 7 km no lugar do x.

p (7) = 2,75 . 7 + 4,5 = 19,25 + 4,5 = 23,75

Portanto, a pessoa deverá pagar R$ 23,75 por uma viagem de 7 km.

Exercício 2

O dono de uma loja de moda praia teve uma despesa de R$ 950,00 na compra de um novo modelo de biquíni. Ele pretende vender cada peça deste biquíni por R$ 50,00. A partir de quantas peças vendidas ele passará a ter lucro?

Considerando x a quantidade de peças vendidas, o lucro do comerciante será dado pela seguinte função:

f (x) = 50.x - 950

Ao calcularmos f (x) = 0, iremos descobrir a quantidade de peças necessárias para que o comerciante não tenha nem lucro, nem prejuízo.

50.x - 950 = 0
50.x = 950
x = 950 / 50
x = 19

Assim, se vender acima de 19 peças terá lucro, se vender menos que 19 peças terá prejuízo.

Quer fazer mais exercícios de função afim? Então não deixe de acessar Exercícios de Função Afim.