Função Injetora

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A função injetora, também chamada injetiva, é um tipo de função que relaciona cada elemento do domínio a correspondentes distintos no contradomínio.

Assim, dada uma função f (f: A → B), todos os elementos do domínio A têm como imagem elementos distintos no contradomío B. Desta forma, não há dois elementos distintos de A com a mesma imagem em B.

Função Injetora

Exemplo

$f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço x espaço mais espaço 9 espaço espaço d e f i n i d a espaço e m espaço f dois pontos reto números reais seta para a direita reto números reais$

A função é injetora, pois para diferentes x, haverão diferentes y.

Além da função injetora, temos:

Função Sobrejetora: todo elemento do contradomínio B de uma função sobrejetora, é imagem de pelo menos um elemento do domínio A. Em outras palavras, não "sobram" elementos no contradomínio. Isso significa que a imagem e o contradominio são iguais.

Função Bijetora: é uma função injetora e sobrejetora, onde todos os elementos do domínio, são transformados em elementos distintos no contradomínio.

Exemplo

Dada funções: f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 3, 5, 7, 9} definida pela lei f(x) = 2x + 1. No diagrama temos:

Observe que todos os elementos do domínio A possuem correspondentes distintos em B.

Gráfico de uma função injetora

Os gráficos das funções injetoras podem ser cortados por retas horizontais em apenas um ponto. Ainda que se tracem infinitas retas horizontais, paralelas ao eixo x, cada uma destas retas irá interceptar o gráfico em apenas um ponto.

Isto se deve ao fato de que para cada x do domínio só há um y no contradomínio.

Exercícios de função injetora com gabarito

Exercício 1

(Unifesp) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: “a valores distintos de x correspondem valores distintos de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora?

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Resposta correta: e)

Nas letras A e B para diferentes x, temos a mesma imagem y, desta forma não são injetoras.

Nas letras C e D o gráfico é cortado em mais de um ponto, não se tratando de injetoras.

Na letra E para cada x há um y diferente, sendo assim injetora.

Exercício 2

(IME-RJ) Considera os conjuntos A = {(1,2), (1,3), (2,3)} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, e seja a função f: A → B tal que f (x,y) = x + y.

É possível afirmar que f é uma função:

a) injetora.
b) sobrejetora.
c) bijetora.
d) par.
e) ímpar.

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Resposta correta: a) injetora.

Sendo a lei de formação da função: f(x, y) = x + y, para cada elemento de A, temos:

f(1, 2) = 1 + 2 = 3
f(1, 3) = 1 + 3 = 4
f(2, 3) = 2 + 3 = 5

Assim, cada elemento distinto em A, leva a uma imagem distinta em B. Sendo injetora.

Não pode ser sobrejetora pois o contradomínio não é igual a imagem. "Sobram" os pontos 1 e 2 em B.

Para ser bijetora, deve ser injetora e sobrejetora. Como não é sobrejetora, logo, não é bijetora.

Não há paridade na função, pois:

a função par deveria ser f(-x, -y) = f(x, y)
a função ímpar deveria ser f(-x, -y) = -f(x, y)

Exercício 3

(UFPE) Seja A um conjunto com 3 elementos e B um conjunto com 5 elementos. Quantas funções injetoras de A em B existem?

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Podemos resolver essa questão através de um tipo de análise combinatória, chamada de arranjo:

A (5,3) = 5!/(5-3)! = 5.4.3.2!/2!
A (5,3) = 5.4.3 = 60

Resposta: 60

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.