Função Logarítmica

Rosimar Gouveia

A função logarítmica de base a é definida como f (x) = loga x, com a real, positivo e a ≠ 1. A função inversa da função logarítmica é a função exponencial.

O logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja:

Definição de logarítmo

Exemplos

  • f (x) = log3 x
  • g (x) = log com 1 terço subscrito fim do subscrito x
  • h (x) = log10 x = log x

Domínio da função logarítmica

O domínio de uma função representa os valores de x onde a função é definida. No caso da função logarítmica, devemos levar em consideração as condições de existência do logaritmo.

Portanto, o logaritmando deve ser positivo e a base também deve ser positiva e diferente de 1.

Exemplo

Determine o domínio da função f (x) = log2 (x + 3).

Solução

Para encontrar o domínio, devemos considerar que (x + 3) > 0, pela condição de existência do logaritmo. Resolvendo essa inequação, temos:

x + 3 > 0 ⇒ x > - 3

Assim, o domínio da função pode ser representado por:

D igual a abre chaves x pertence reto números reais dividido por x maior que menos 3 fecha chaves

Gráfico da função logarítmica

De uma forma geral, o gráfico da função y = loga x está localizado no I e IV quadrantes, pois a função só é definida para x > 0.

Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de abscissa igual a 1, pois y = loga1 = 0, para qualquer valor de a.

Abaixo, apresentamos o esboço do gráfico da função logarítmica.

Gráfico da função logarítmica

Função crescente e decrescente

Uma função logarítmica será crescente quando a base a for maior que 1, ou seja, x1 2 ⇔ loga x1a x2. Por exemplo, a função f (x) = log2 x é uma função crescente, pois a base é igual a 2.

Para verificar que essa função é crescente, atribuímos valores para x na função e calculamos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.

Tabela função logarítmica

Observando a tabela, notamos que quando o valor de x aumenta, a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função.

gráfico da função logarítmica de base 2

Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1 são decrescentes, ou seja, x1 2 ⇔ loga x1 > loga x2. Por exemplo, começar estilo tamanho matemático 14px f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a log com 1 meio subscrito fim do subscrito x fim do estilo é uma função decrescente, pois a base é igual a começar estilo tamanho matemático 14px 1 meio fim do estilo.

Calculamos a imagem de alguns valores de x desta função e o resultado encontra-se na tabela abaixo:

Gráfico função logarítmica decrescente

Notamos que, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função começar estilo tamanho matemático 14px f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a log com 1 meio subscrito fim do subscrito x fim do estilo é uma função decrescente.

Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto menor o valor de x, mais perto do zero a curva logarítmica fica, sem contudo, cortar o eixo y.

Gráfico função logarítmica decrescente

Função Exponencial

A inversa da função logarítmica é a função exponencial. A função exponencial é definida como f(x) = ax, com a real positivo e diferente de 1.

Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.

Desta maneira, conhecendo o gráfico da função logarítmica de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função exponencial.

Gráfico da função exponencial junto com a logarítmica

No gráfico acima, observamos que enquanto a função logarítmica cresce lentamente, a função exponencial cresce rapidamente.

Exercícios Resolvidos

1) PUC/SP - 2018

As funções começar estilo tamanho matemático 14px f abre parênteses x fecha parênteses igual a 3 sobre 2 mais log com 10 subscrito abre parênteses x menos 1 fecha parênteses espaço e espaço g parêntese esquerdo x parêntese direito igual a k.2 à potência de abre parênteses menos x mais 1 fecha parênteses fim do exponencial fim do estilo, com k um número real, se intersectam no ponto começar estilo tamanho matemático 14px P igual a abre parênteses 2 vírgula 3 sobre 2 fecha parênteses fim do estilo . O valor de g(f(11)) é

começar estilo tamanho matemático 14px a parêntese direito espaço numerador 3 raiz quadrada de 2 sobre denominador 4 fim da fração b parêntese direito numerador 3 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração c parêntese direito numerador 2 raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração d parêntese direito numerador 4 raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 fim da fração fim do estilo

Como as funções f(x) e g(x) se interceptam no ponto (2, começar estilo tamanho matemático 14px 3 sobre 2 fim do estilo), então para encontrar o valor da constante k, podemos substituir esses valores na função g(x). Assim, temos:

g parêntese esquerdo 2 parêntese direito igual a k.2 à potência de abre parênteses menos 2 mais 1 fecha parênteses fim do exponencial igual a 3 sobre 2 k.2 à potência de menos 1 fim do exponencial igual a 3 sobre 2 k.1 meio igual a 3 sobre 2 k igual a numerador 3.2 sobre denominador 2 fim da fração igual a 3

Agora, vamos encontrar o valor da f(11), para isso iremos substituir o valor da x na função:

f parêntese esquerdo 11 parêntese direito igual a 3 sobre 2 mais log com 10 subscrito abre parênteses x menos 1 fecha parênteses f parêntese esquerdo 11 parêntese direito igual a 3 sobre 2 mais log com 10 subscrito parêntese esquerdo 11 menos 1 parêntese direito f parêntese esquerdo 11 parêntese direito igual a 3 sobre 2 mais log com 10 subscrito 10 f parêntese esquerdo 11 parêntese direito igual a 3 sobre 2 mais 1 igual a 5 sobre 2

Para encontrar o valor da função composta g(f(11)), basta substituir o valor encontrado da f(11) no x da função g(x). Assim, temos:

g parêntese esquerdo f parêntese esquerdo 11 parêntese direito parêntese direito igual a 3.2 à potência de parêntese esquerdo menos 5 sobre 2 mais 1 parêntese direito fim do exponencial g parêntese esquerdo f parêntese esquerdo 11 parêntese direito parêntese direito igual a 3.2 à potência de parêntese esquerdo menos 3 sobre 2 parêntese direito fim do exponencial g parêntese esquerdo f parêntese esquerdo 11 parêntese direito parêntese direito igual a 3 sobre 2 à potência de começar estilo mostrar 3 sobre 2 fim do estilo fim do exponencial igual a numerador 3 sobre denominador raiz quadrada de 2 ao cubo fim da raiz fim da fração igual a numerador 3 sobre denominador 2 raiz quadrada de 2 fim da fração. numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador 3 raiz quadrada de 2 sobre denominador 4 fim da fração

Alternativa: a parêntese direito espaço numerador 3 raiz quadrada de 2 sobre denominador 4 fim da fração

2) Enem - 2011

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e Mo se relacionam pela fórmula:

M com w subscrito igual a menos 10 vírgula 7 mais 2 sobre 3 log com 10 subscrito parêntese esquerdo M com o subscrito parêntese direito

Onde Mo é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3.

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico Mo do terremoto de Kobe (em dina.cm)

a) 10- 5,10
b) 10- 0,73
c) 1012,00
d) 1021,65
e) 1027,00

Substituindo o valor da magnitude Mw na fórmula, temos:

7 vírgula 3 igual a menos 10 vírgula 7 mais 2 sobre 3 log com 10 subscrito espaço M com o subscrito 7 vírgula 3 mais 10 vírgula 7 igual a 2 sobre 3 log com 10 subscrito espaço M com o subscrito 18.3 sobre 2 igual a log com 10 subscrito espaço M com o subscrito log com 10 subscrito espaço M com o subscrito igual a 27 U s a n d o espaço a espaço d e f i n i ç ã o espaço d e espaço log a r i t m o dois pontos M com o subscrito igual a 10 à potência de 27 espaço d i n a. c m

Alternativa: e) 1027,00

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.