Propriedades dos Logaritmos

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

As propriedades dos logaritmos são propriedades operatórias que simplificam os cálculos dos logaritmos, principalmente quando as bases não são iguais.

Definimos logaritmo como sendo o expoente que se deve elevar uma base, de modo que o resultado seja uma determinada potência. Isto é:

log_ab = x ⇔ a^x = b, com a e b positivos e a ≠ 1

Sendo,

a: base do logaritmo
b: logaritmando
c: logaritmo

Observação: quando não aparece a base de um logaritmo consideramos que seu valor é igual a 10.

Propriedades Operatórias

Logaritmo de um produto

Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números.

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Exemplo

Considerando log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, determine o valor do log 60.

Solução

Podemos escrever o número 60 como um produto de 2.3.10. Neste caso, podemos aplicar a propriedade para esse produto:

log 60 = log (2.3.10)

Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto:

log 60 = log 2 + log 3 + log 10

As bases são iguais a 10 e o log₁₀ 10 = 1. Substituindo esses valores, temos:

log 60 = 0,3 + 0,48 + 1 = 1,78

Logaritmo de um quociente

Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números.

$log com a subscrito parêntese esquerdo b sobre c parêntese direito igual a log com a subscrito b menos log com a subscrito c$

Exemplo

Considerando log 5 = 0,70, determine o valor do log 0,5.

Solução

Podemos escrever 0,5 como sendo 5 dividido por 10, neste caso, podemos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente.

$log espaço 0 vírgula 5 igual a log espaço parêntese esquerdo 5 sobre 10 parêntese direito log espaço 0 vírgula 5 igual a log espaço 5 espaço menos log espaço 10 log espaço 0 vírgula 5 igual a 0 vírgula 7 espaço menos espaço 1 log espaço 0 vírgula 5 espaço igual a menos 0 vírgula 3$

Logaritmo de uma potência

Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

$log com a subscrito b à potência de c igual a c. log com a subscrito b$

Podemos aplicar essa propriedade no logaritmo de uma raiz, pois, podemos escrever uma raiz na forma de expoente fracionário. Assim:

$log com a subscrito espaço x enésima raiz de b igual a log com a subscrito b à potência de 1 sobre x fim do exponencial igual a 1 sobre x log com a subscrito b$

Exemplo

Considerando log 3 = 0,48, determine o valor do log 81.

Solução

Podemos escrever o número 81 como sendo 3⁴. Neste caso, vamos aplicar a propriedade do logaritmo de uma potência, ou seja:

log 81 = log 3⁴
log 81 = 4 . log 3
log 81 = 4 . 0,48
log 81 = 1,92

Mudança de base

Para aplicar as propriedades anteriores é necessário que todos os logaritmos da expressão estejam na mesma base. Do caso contrário, será necessário transformar todos para uma mesma base.

A mudança de base também é muito útil quando precisamos usar a calculadora para encontrar o valor de um logaritmo que está em uma base diferente de 10 e de e (base neperiana).

A mudança de base é feita aplicando-se a seguinte relação:

$log com a subscrito b igual a numerador log com c subscrito b sobre denominador log com c subscrito a fim da fração$

Uma aplicação importante dessa propriedade é que o log_ab é igual ao inverso do log_ba, ou seja:

$log com a subscrito b igual a numerador 1 sobre denominador log com b subscrito a fim da fração$

Exemplo

Escreva o log₃ 7 na base 10.

Solução

Vamos aplicar a relação para mudar o logaritmo para a base 10:

$log com 3 subscrito 7 igual a numerador log espaço 7 sobre denominador log espaço 3 fim da fração$

Exercícios Resolvidos e Comentados

1) UFRGS - 2014

Atribuindo para log 2 o valor 0,3 , então os valores de log 0,2 e log 20 são, respectivamente,

a) - 0,7 e 3 .
b) - 0,7 e 1,3.
c) 0,3 e 1,3.
d) 0,7 e 2,3 .
e) 0,7 e 3 .

Ver Resposta

Podemos escrever 0,2 como 2 dividido por 10 e 20 como 2 multiplicado por 10. Assim, poderemos aplicar as propriedades dos logaritmos de um produto e de um quociente:

$log espaço 0 vírgula 2 espaço igual a espaço log espaço parêntese esquerdo 2 sobre 10 parêntese direito log espaço 0 vírgula 2 igual a log espaço 2 menos log espaço 10 log espaço 0 vírgula 2 igual a 0 vírgula 3 menos 1 log espaço 0 vírgula 2 igual a menos 0 vírgula 7 log espaço 20 igual a log espaço parêntese esquerdo 2.10 parêntese direito log espaço 20 igual a log espaço 2 mais log espaço 10 log espaço 20 igual a 0 vírgula 3 mais 1 log espaço 20 igual a 1 vírgula 3$

alternativa: b) - 0,7 e 1,3

2) UERJ - 2011

Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação.
Admita um filtro que deixe passar 4/5 da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros.

Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual a:

a) 9
b) 10
c) 11
d) 12

Ver Resposta

Como cada filtro deixa passa 4/5 de luz, então a quantidade de luz que n filtros deixará passar será dado por (4/5)ⁿ.

Como o objetivo é reduzir a quantidade de luz em menos de 10% (10/100) , podemos representar a situação pela inequação:

$abre parênteses 4 sobre 5 fecha parênteses à potência de n menor que 10 sobre 100$

Como a incógnita está no expoente, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados da inequação e aplicar as propriedades dos logaritmos:

$log espaço parêntese esquerdo 4 sobre 5 parêntese direito à potência de n menor que log espaço parêntese esquerdo 10 sobre 10 ao quadrado parêntese direito n. parêntese esquerdo log espaço 4 espaço menos espaço log espaço 5 parêntese direito espaço menor que espaço log espaço 10 espaço menos espaço 2. log espaço 10 V a m o s espaço s u b s t i t u i r espaço 4 espaço p o r espaço 2.2 espaço e espaço 5 espaço p o r espaço 10 sobre 2 n. espaço parêntese esquerdo log espaço 2.2 espaço menos espaço log espaço parêntese esquerdo 10 sobre 2 parêntese direito parêntese direito menor que 1 menos 2 n. parêntese esquerdo log espaço 2 mais log espaço 2 espaço menos log espaço 10 mais log espaço 2 parêntese direito menor que menos 1 n. espaço parêntese esquerdo 0 vírgula 301 mais 0 vírgula 301 menos 1 mais 0 vírgula 301 parêntese direito menor que menos 1 menos 0 vírgula 097. n menor que menos 1 espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo m u l t i p l i c a menos s e espaço p o r espaço menos 1 parêntese direito 0 vírgula 097. n maior que 1 n maior que numerador 1 sobre denominador 0 vírgula 097 fim da fração n maior que 10 vírgula 3$

Portanto, n deverá ser maior que 10,3.

Alternativa: c) 11

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.