Logaritmo

Rosimar Gouveia

Logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência ax seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e a≠1.

Desta forma, o logaritmo é a uma operação na qual queremos descobrir o expoente que uma dada base deve ter para resultar em uma certa potência.

Por esse motivo, para fazer operações com logaritmos é necessário conhecer as propriedades da potenciação.

Definição de logaritmo

Logaritmo

Lê-se logaritmo de b na base a, sendo a > 0 e a ≠ 1 e b > 0.

Quando a base de um logaritmo for omitida, significa que seu valor é igual a 10. Este tipo de logaritmo é chamado de logaritmo decimal.

Como calcular um logaritmo?

O logaritmo é um número e representa um dado expoente. Podemos calcular um logaritmo aplicando diretamente a sua definição.

Exemplo

Qual o valor do log3 81?

Solução

Neste exemplo, queremos descobrir qual expoente devemos elevar o 3 para que o resultado seja igual a 81. Usando a definição, temos:

log3 81 = x ⇔ 3x = 81

Para encontrar esse valor, podemos fatorar o número 81, conforme indicado abaixo:

Logaritmo exemplo

Substituindo o 81 por sua forma fatorada, na equação anterior, temos:

3x = 34

Como as bases são iguais, chegamos a conclusão que x = 4.

Consequência da definição dos logaritmos

  • O logaritmo de qualquer base, cujo logaritmando seja igual a 1, o resultado será igual a 0, ou seja, loga 1 = 0. Por exemplo, log9 1 = 0, pois 90 =1.
  • Quando o logaritmando é igual a base, o logaritmo será igual a 1, assim, loga a = 1. Por exemplo, log5 5 = 1, pois 51= 5
  • Quando o logaritmo de a na base a possui uma potência m, ele será igual ao expoente m, ou seja loga am = m, pois usando a definição am = am. Por exemplo, log3 35 = 5.
  • Quando dois logaritmos com a mesma base são iguais, os logaritmandos também serão iguais,ou seja, loga b = loga c ⇔ b = c.
  • A potência de base a e expoente loga b será igual a b, ou seja alogab = b.

Propriedades dos Logaritmos

  • Logaritmo de um produto: O logaritmo de um produto é igual a soma de seus logaritmos: Loga (b.c) = Loga b + loga c
  • Logaritmo de um quociente: O logaritmo de um quociente é igual a diferença dos logaritmos: Logacomeçar estilo tamanho matemático 14px abre parênteses b sobre c fecha parênteses fim do estilo = Loga b - Loga c
  • Logaritmo de uma potência: O logaritmo de uma potência é igual ao produto dessa potência pelo logaritmo: Loga bm = m . Loga b
  • Mudança de base: Podemos mudar a base de um logaritmo usando a seguinte relação: começar estilo tamanho matemático 14px log com b subscrito c igual a numerador log com a subscrito c sobre denominador log com a subscrito b fim da fração fim do estilo

Exemplos

1) Escreva os logaritmos abaixo na forma de um único logaritmo.

a) log3 8 + log3 10
b) log2 30 - log2 6
c) 4 log4 3

Solução

a) log3 8 + log3 10 = log3 8.10 = log3 80
b) log com 2 subscrito espaço 30 menos log com 2 subscrito espaço 6 igual a log com 2 subscrito espaço abre parênteses 30 sobre 6 fecha parênteses igual a log com 2 subscrito 5
c) 4 log4 3 = log4 34 = log4 81

2) Escreva o log8 6 usando logaritmo na base 2

Solução

log com 8 subscrito espaço 6 igual a numerador log com 2 subscrito espaço 6 sobre denominador log com 2 subscrito espaço 8 fim da fração igual a numerador log com 2 subscrito espaço 3 mais log com 2 subscrito 2 sobre denominador log com 2 subscrito 2 ao cubo fim da fração igual a numerador log com 2 subscrito 3 mais 1 sobre denominador 3 fim da fração

Cologaritmo

O chamado cologaritmo é um tipo especial de logaritmo expresso pela expressão:

cologa b = − loga b

Podemos ainda escrever que:

c o log com a subscrito espaço b igual a log com a subscrito espaço abre parênteses 1 sobre b fecha parênteses

Para saber mais, veja também:

Curiosidades sobre os logaritmos

  • O termo logaritmo vem do grego, onde “logos” significa razão e “arithmos” corresponde a número.
  • Os criadores dos Logaritmos foram John Napier (1550-1617), matemático escocês, e Henry Briggs (1531-1630), matemático inglês. Eles criaram esse método com o intuito de facilitarem os cálculos mais complexos que ficou conhecido como “logaritmos naturais” ou “logaritmos neperianos”, em alusão a um de seus criadores: John Napier.

Exercícios Resolvidos

1) Sabendo que o log espaço 2 assimptoticamente igual 0 vírgula 30 espaço e espaço log espaço 3 assimptoticamente igual 0 vírgula 48, calcule o valor do log9 64.

Os valores informados são relativos aos logaritmos decimais (base 10) e o logaritmo que queremos descobrir o valor está na base 9. Desta forma, começaremos a resolução mudando a base. Assim:

log com 9 subscrito 64 igual a numerador log espaço 64 sobre denominador log espaço 9 fim da fração

Fatorando os logaritmandos, temos:

numerador log espaço 2 à potência de 6 sobre denominador log espaço 3 ao quadrado fim da fração

Aplicando a propriedade do logaritmo de uma potência e substituindo os valores dos logaritmos decimais, encontramos:

numerador 6. log espaço 2 sobre denominador 2. log espaço 3 fim da fração igual a numerador 6.0 vírgula 30 sobre denominador 2.0 vírgula 48 fim da fração igual a numerador 1 vírgula 80 sobre denominador 0 vírgula 96 fim da fração igual a 1 vírgula 875

2) UFRGS - 2014

Atribuindo para log 2 o valor 0,3, então os valores de log 0,2 e log 20 são, respectivamente,

a) - 0,7 e 3 .
b) - 0,7 e 1,3.
c) 0,3 e 1,3.
d) 0,7 e 2,3.
e) 0,7 e 3.

Primeiro, vamos calcular o log 0,2. Podemos começar escrevendo:

log espaço 0 vírgula 2 igual a log espaço abre parênteses 2 sobre 10 fecha parênteses

Aplicando a propriedade do logaritmo de um quociente, temos:

log espaço abre parênteses 2 sobre 10 fecha parênteses igual a log espaço 2 espaço menos espaço log espaço 10

Substituindo os valores:

log espaço 2 espaço menos espaço log espaço 10 igual a 0 vírgula 3 menos 1 igual a menos 0 vírgula 7

Agora, vamos calcular o valor do log 20, para isso, vamos escrever 20 como o produto de 2.10 e aplicar a propriedade do logaritmo do produto. Assim:

log espaço 20 igual a log espaço 2.10 igual a log espaço 2 mais log espaço 10 igual a 0 vírgula 3 mais 1 igual a 1 vírgula 3

Alternativa: b) - 0,7 e 1,3

Para mais questões de logaritmo, veja Logaritmo - Exercícios.

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.