Função modular: entenda o que é e como calcular (com exemplos)

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Função modular é a função (lei ou regra) que associa elementos de um conjunto em módulos.

O módulo é representado entre barras e retorna sempre um número positivo. A função modular é usada para calcular a distância entre um número e zero, ignorando o sinal.

Também chamada de função módulo ou função valor absoluto, é expressa como:

começar estilo tamanho matemático 20px reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a linha vertical reto x linha vertical espaço fim do estilo

Se reto x maior que ou igual a inclinado 0, a função retorna o valor x.

Exemplo

marca reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a espaço linha vertical 5 linha vertical espaço igual a espaço 5 vírgula espaço p o i s espaço 5 espaço maior ou igual a 0 ponto e vírgula espaço

Se reto x menor que 0, a função retorna o valor - x.

Exemplo

marca reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a espaço linha vertical menos 5 linha vertical espaço igual a espaço menos parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito igual a 5 vírgula espaço p o i s espaço x menor que 0. espaço

Embora esta seja a forma mais simples da função modular, ela pode ser combinada com outras operações, por exemplo:

marca g parêntese esquerdo x parêntese direito igual a linha vertical x mais 8 linha vertical marca h parêntese esquerdo x parêntese direito igual a linha vertical x linha vertical mais 2 marca i parêntese esquerdo x parêntese direito igual a linha vertical x ao quadrado menos 4 linha vertical

Esta função, associa elementos do domínio reto números reais ao contradomínio reto números reais. Isto significa que a função aceita qualquer valor do conjunto dos números reais e retorna, também, valores do conjunto dos números reais. Matematicamente escrevemos: f dois pontos reto números reais seta para a direita reto números reais.

Como esboçar o gráfico de uma função modular

O gráfico de uma função é a representação de seus pares ordenados (x, y) em um plano cartesiano. Para esboçá-lo, vamos analisar por partes.

Gráfico da função f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a linha vertical x linha vertical.

Fazendo uma tabela para alguns valores:

x (domínio) f(x) ou y (contradomínio) (x, y)
-2 |-2| = 2 (-2, 2)
-1 |-1| = 1 (-1, 1)
0 |0| = 0 (0, 0)
1 |1| = 1 (1, 1)
2 |2| = 2 (2, 2)

Ao colocarmos estes valores no plano cartesiano, obtemos:

Gráfico Função Modular

A função modular possui duas seções, uma descendente f(-x) = - x para x < 0 e, uma ascendente f(x) = x para x maior que ou igual a inclinado0.

Ao representar um módulo negativo, o gráfico para na intersecção e volta a fazer o sentido ascendente.

Isso porque tudo o que fica abaixo tem valor negativo e os módulos negativos sempre se tornam números positivos.

Propriedades dos módulos

Existem algumas propriedades (algumas regras) que ajudam e simplificam cálculos. Aqui estão:

  1. Todo x ∊ R, temos |x| = |-x|
  2. Todo x ∊ R, temos |x2| = |x|2= x2
  3. Todo x e y ∊ R, temos |x.y| = |x| . |y|
  4. Todo x e y ∊ R, temos |x + y| ≤ |x| + |y|

Repare que os números reais são o domínio de cada uma das funções acima.

Leia também sobre o que é função?

Exercícios sobre função modular

Exercício 1

(UNITAU) O domínio da função f(x) = √ [(1-|x-1|)/2] é:

a) 0 ≤ x ≤ 2.
b) x ≥ 2.
c) x ≤ 0.
d) x < 0.
e) x > 0.

Alternativa a: 0 ≤ x ≤ 2.

O domínio são todos os valores possíveis de x.

Como a expressão é o radicando de uma raiz quadrada, ela não pode ser negativa, pois não há raiz quadrada de número negativo. Ou seja, deve ser maior ou igual a 0.

numerador 1 menos linha vertical reto x menos 1 linha vertical sobre denominador 2 fim da fração maior ou igual a 0

Temos:

numerador 1 menos linha vertical reto x menos 1 linha vertical sobre denominador 2 fim da fração maior ou igual a 0 1 menos linha vertical reto x menos 1 linha vertical maior ou igual a 0 1 maior ou igual a linha vertical reto x menos 1 linha vertical

Há duas possibilidades:

1 maior ou igual a parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito espaço ou espaço 1 maior ou igual a menos parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito

Resolvendo cada uma:

1 maior ou igual a parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito espaço 1 maior ou igual a reto x menos 1 1 mais 1 maior ou igual a reto x 2 maior ou igual a reto x

Ou

1 maior ou igual a menos parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito 1 maior ou igual a menos reto x mais 1 reto x maior ou igual a 1 menos 1 reto x maior ou igual a 0

Deste modo, x deve ser um número:

negrito 0 negrito menor ou igual a negrito x negrito menor ou igual a negrito 2

Exercício 2

(UFG) Relativamente à função f, de R em R, dada por f(x)=|x|+|x-1|, é correto afirmar que

a) o gráfico de f é a reunião de duas semirretas.
b) o conjunto imagem de f é o intervalo [1, + ∞].
c) f é crescente para todo x ∊ R.
d) f é decrescente para todo x ∊ R. e x ≥ 0.
e) o valor mínimo de f é 0.

Alternativa b: o conjunto imagem de f é o intervalo [1, + ∞].

A imagem são os valores correspondentes no eixo y para cada x da função.

Para x maior ou igual a 1:

f parêntese esquerdo x maior ou igual a 1 parêntese direito igual a x mais x menos 1 igual a 2 x menos 1

Com qualquer valor de x maior ou igual a 1 a imagem é f parêntese esquerdo x parêntese direito maior ou igual a 1.

Com qualquer valor de x maior que zero e menor que 1, parêntese esquerdo 0 menor que x menor que 1 parêntese direito.

f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a x menos x mais 1 igual a 1

Com qualquer valor de x < 0.a imagem é maior que 1.

f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a menos x menos x mais 1 igual a 1 f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a menos 2 x mais 1

Exercício 3

(UFG) Seja R o conjunto dos números reais. Considere a função f:R→R, definida por f(x)=|1-|x||.

Assim,

( ) f(-4) = 5.
( ) o valor mínimo de f é zero.
( ) f é crescente para x no intervalo [0,1].
( ) a equação f(x) = 1 possui três soluções reais distintas.

Resposta: F V F V

Primeira opção FALSA

reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a linha vertical 1 menos linha vertical reto x linha vertical linha vertical reto f parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito igual a linha vertical 1 menos linha vertical menos 4 linha vertical linha vertical reto f parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito igual a linha vertical 1 menos 4 linha vertical igual a linha vertical menos 3 linha vertical igual a 3

Segunda opção

Para x < 0:

f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a linha vertical 1 menos linha vertical x linha vertical linha vertical f parêntese esquerdo x menor que 0 parêntese direito igual a linha vertical 1 menos parêntese esquerdo menos x parêntese direito linha vertical espaço igual a linha vertical 1 mais x linha vertical espaço

O menor valor da função ocorre com x = -1.

f parêntese esquerdo x menor que 0 parêntese direito igual a linha vertical 1 menos parêntese esquerdo menos x parêntese direito linha vertical espaço igual a linha vertical 1 mais x linha vertical espaço f parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a linha vertical 1 menos 1 linha vertical igual a 0 espaço

Terceira opção FALSA

f é crescente para x no intervalo [0,1].

Basta testar os valores para x = 0 e x = 1.

Para x = 0:

f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a linha vertical 1 menos linha vertical x linha vertical linha vertical f parêntese esquerdo 0 parêntese direito igual a linha vertical 1 menos 0 linha vertical igual a 1

Para x = 1:

f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a linha vertical 1 menos linha vertical x linha vertical linha vertical f parêntese esquerdo 1 parêntese direito igual a linha vertical 1 menos 1 linha vertical igual a 0

Quarta opção VERDADEIRA.

A equação f(x) = 1 possui três soluções reais distintas.

Se |x| > 0

linha vertical 1 menos x linha vertical igual a 1

A partir daqui temos duas possibilidades:

linha vertical 1 menos x linha vertical maior ou igual a 0 espaço o u espaço linha vertical 1 menos x linha vertical menor que 0

Para linha vertical 1 menos x linha vertical maior ou igual a 0

1 menos x igual a 1 1 menos 1 igual a x 0 igual a x

Para linha vertical 1 menos x linha vertical menor que 0

menos parêntese esquerdo 1 menos x parêntese direito igual a 1 menos 1 mais x igual a 1 x igual a 1 mais 1 x igual a 2

Se |x| < 0

linha vertical 1 menos parêntese esquerdo menos x parêntese direito linha vertical igual a 1 linha vertical 1 mais x linha vertical igual a 1

Temos mais duas possibilidades:

linha vertical 1 mais x linha vertical maior ou igual a 0 espaço o u espaço linha vertical 1 mais x linha vertical menor que 0

Para linha vertical 1 mais x linha vertical maior ou igual a 0

1 mais x igual a 1 x igual a 1 menos 1 x igual a 0

Para linha vertical 1 mais x linha vertical menor que 0

menos parêntese esquerdo 1 mais x parêntese direito igual a 1 menos 1 menos x igual a 1 menos 1 menos 1 igual a x menos 2 igual a x

Para linha vertical 1 mais x linha vertical maior ou igual a 0

1 mais x igual a 1 x igual a 1 menos 1 x igual a 0

As raízes são {-2, 0, 2}

Pratique com exercícios de função modular.

Conheça outros tipos de funções:

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.