Função Modular


Função modular é a função (lei ou regra) que associa elementos de um conjunto em módulos.

O módulo é representado entre barras e seus números são sempre positivos, ou seja, mesmo que um módulo seja negativo seu número será positivo:

1) |x| é = x se x ≥ 0, ou seja, |0| = 0, |2| = 2

Exemplos:
4 + |5| = 4 + 5 = 9
|5| - 4 = 5 - 4 = 1

2) |-x| é = x se x < 0, ou seja, |-1| = 1, |-2| = 2

Exemplos:
|-2| . |-6| = -(-2) . -(-6) = 2. 6 = 12
|-8 + 6| = |-2| = 2

Gráfico

Ao representar um módulo negativo, o gráfico para na intersecção e volta a fazer o sentido ascendente.

Isso porque tudo o que fica abaixo tem valor negativo e os módulos negativos sempre tornam-se números positivos:

Gráfico indicando valores positivos e valores negativos

Exemplo:

x (domínio)y (contradomínio)
-2|-2| = 2
-1|-1| = 1
0|0| = 0
1|1| = 1
2|2| = 2

Gráfico Função Modular


Propriedades

  1. Todo x ∊ R, temos |x| = |-x|
  2. Todo x ∊ R, temos |x2| = |x|2= x2
  3. Todo x e y ∊ R, temos |x.y| = |x| . |y|
  4. Todo x e y ∊ R, temos |x + y| ≤ |x| + |y|

Repare que os números reais são o domínio de cada uma das funções acima.

Leia também:

Exercícios de Vestibular Resolvidos

1. (UNITAU) O domínio da função f(x) = √ [(1-|x-1|)/2] é:

a) 0 ≤ x ≤ 2.
b) x ≥ 2.
c) x ≤ 0.
d) x < 0.
e) x > 0.

Alternativa a: 0 ≤ x ≤ 2.

2. (UNITAU) Se x é uma solução de |2x - 1| < 5 - x, então:

a) 5 < x < 7.
b) 2 < x < 7.
c) - 5 < x < 7.
d) - 4 < x < 7.
e) - 4 < x < 2.

Alternativa e: - 4 < x < 2.

3. (Mackenzie) Se y = x - 2 + | x - 2| x | |, x ∊ R, então o menor valor que y pode assumir é:

a) - 2.
b) - 1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.

Alternativa a: - 2.

4. (UFG) Relativamente à função f, de R em R, dada por f(x)=|x|+|x-1|, é correto afirmar que

a) o gráfico de f é a reunião de duas semi-retas.
b) o conjunto imagem de f é o intervalo [1, + ∞].
c) f é crescente para todo x ∊ R.
d) f é decrescente para todo x ∊ R. e x ≥ 0.
e) o valor mínimo de f é 0.

Alternativa b: o conjunto imagem de f é o intervalo [1, + ∞].

5. (UFG) Seja R o conjunto dos números reais. Considere a função f:R→R, definida por f(x)=|1-|x||.

Assim,

( ) f(-4) = 5.
( ) o valor mínimo de f é zero.
( ) f é crescente para x no intervalo [0,1].
( ) a equação f(x) = 1 possui três soluções reais distintas.

F V F V