Funções Trigonométricas

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.

As principais funções trigonométricas são:

  • Função Seno
  • Função Cosseno
  • Função Tangente

No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência.

Círculo trigonométrico

Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos

Funções Periódicas

As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.

O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.

Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que

f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A

O menor valor positivo de p é chamado de período de f.

Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.

Função Seno

A função seno é uma função periódica e seu período é . Ela é expressa por:

f(x) = sen x

No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.

Função seno - sinal

Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.

O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.

Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x < 1.

Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).

O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:

função seno

Gráfico da função seno

Leia também: Lei dos Senos.

Função Cosseno

A função cosseno é uma função periódica e seu período é . Ela é expressa por:

f(x) = cos x

No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.

Sinal da função cosseno

Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.

O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.

Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1.

Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).

O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:

função cossenoGráfico da função cosseno

Leia também: Lei dos Cossenos.

Função Tangente

A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:

f(x) = tg x

No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positiva quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.

Sinal função tangente

Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.

O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.

Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.

Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(x).

O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:

função tangente

Gráfico da função tangente

Leia mais sobre o tema:

Exercícios de funções trigonométricas

Exercício 1

(UFAM) O menor valor não negativo côngruo ao arco de numerador 21 pi sobre denominador 5 fim da fração rad é igual a:

a) π/5 rad
b) 7 π/5 rad
c) π rad
d) 9 π/5 rad
e) 2 π rad

Resposta correta: a) π/5 rad

Arcos côngruos são os que possuem a mesma localização no círculo trigonométrico, em que o maior em módulo, está adiantado ou atrasado um determinado número de voltas completas (360° ou 2 pi).

Por exemplo, 30° e 390° são côngruos pois, 30° + 360° = 390°. O mesmo exemplo em radianos fica: pi sobre 6 mais 2 pi igual a numerador 13 pi sobre denominador 6 fim da fração.

Dentre todos os côngruos de numerador 21 pi sobre denominador 5 fim da fração, queremos o menor que seja positivo. Subtraindo volta por volta, encontramos este valor.

Subtraindo a primeira volta (2 pi).

numerador 21 pi sobre denominador 5 fim da fração menos 2 pi igual a numerador 21 pi sobre denominador 5 fim da fração menos numerador 5.2 pi sobre denominador 5 fim da fração igual a numerador 21 pi sobre denominador 5 fim da fração menos numerador 10 pi sobre denominador 5 fim da fração igual a numerador negrito 11 negrito pi sobre denominador negrito 5 fim da fração

Subtraindo a segunda volta.

numerador 11 pi sobre denominador 5 fim da fração menos 2 pi igual a numerador 11 pi sobre denominador 5 fim da fração menos numerador 10 pi sobre denominador 5 fim da fração igual a negrito pi sobre negrito 5

Se subtrairmos a terceira volta, teremos:

pi sobre 5 menos 2 pi igual a pi sobre 5 menos numerador 5.2 pi sobre denominador 5 fim da fração igual a numerador menos 9 pi sobre denominador 5 fim da fração

Neste caso, o valor já será negativo. Desta forma, concluímos que o menor valor côngruo ao arco de numerador 21 pi sobre denominador 5 fim da fração que seja positivo é pi sobre 5.

Exercício 2

(Cefet-PR) A função real f(x) = a + b . sen cx tem imagem igual a [-7, 9] e seu período é π/2 rad. Assim, a + b + c vale:

a) 13
b) 9
c) 8
d) – 4
e) 10

Resposta correta: a) 13

Em funções trigonométricas do tipo f(x) = a + bsen cx + d, os termos a, b, c e d alteram características nas funções seno e cosseno.

O termo a translada a função para cima com a > 0 e para baixo se a < 0.

O termo b aumenta ou diminui a amplitude vertical. Se b > 1 amplia e, se b < 1 comprime.

O termo c "distende", amplia o período se c < 1 e amplia se c > 1.

De -7 a 9 temos que:

9 - (-7) = 16

Portando, a amplitude, que é a distância entre o eixo de simetria da função e o topo é 8. Assim b = 8.

Como o limite superior é 9, a = 1, pois 8 + 1 = 9.

O período se relaciona com c por:

p igual a numerador 2 pi sobre denominador abre barra vertical c fecha barra vertical fim da fração

Substituindo c e calculando para p, temos:

c igual a numerador 2 pi sobre denominador p fim da fração igual a numerador 2 pi sobre denominador começar estilo mostrar pi sobre 2 fim do estilo fim da fração igual a 2 pi espaço. espaço 2 sobre pi igual a 4

Somando os três valores:

a + b + c = 1 + 8 + 4 = 13.

Exercício 3

(UFPI) O período da função f(x) = 5 + sen (3x – 2) é:

a) 3π
b) 2π/3
c) 3π – 2
d) π/3 – 2
e) π/5

Resposta correta: b) 2π/3

O período da função é determinado por:

p igual a numerador 2 pi sobre denominador abre barra vertical c fecha barra vertical fim da fração

Onde c é o termo que multiplica x, no caso, x = 3.

Portanto:

p igual a numerador 2 pi sobre denominador 3 fim da fração

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.