Vértice da Parábola

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

O vértice da parábola corresponde ao ponto em que o gráfico de uma função do 2º grau muda de sentido. A função do segundo grau, também chamada de quadrática, é a função do tipo f(x) = ax² + bx + c.

Usando um plano cartesiano, podemos traçar o gráfico de uma função quadrática considerando os pontos de coordenadas (x,y) que pertencem a função.

Na imagem abaixo, temos o gráfico da função f(x) = x² - 2x - 1 e o ponto que representa seu vértice.

Vértice da parábola

Coordenadas do Vértice

As coordenadas do vértice de uma função quadrática, dada por f(x) = ax² + bx +c, podem ser encontradas através das seguintes fórmulas:

$x com v subscrito igual a numerador menos b sobre denominador 2 a fim da fração$

$y com v subscrito igual a numerador menos incremento sobre denominador 4 a fim da fração$

Sendo Δ = b² - 4.a.c

Exemplo

Encontre as coordenadas do vértice da função f(x) = - x² + 4x - 2.

Solução

Para encontrar as coordenadas do vértice, aplicaremos as fórmulas acima. Para isso, vamos calcular o valor do Δ, considerando a = - 1, b = 4 e c = - 2. Assim temos:

Δ = 4² - 4 . (- 1). (- 2) = 16 - 8 = 8

Substituindo os valores, encontramos:

$x com v subscrito igual a numerador menos espaço 4 sobre denominador 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a numerador menos espaço 4 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a 2 y com v subscrito igual a numerador menos espaço 8 sobre denominador 4. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a numerador menos espaço 8 sobre denominador menos espaço 4 fim da fração igual a 2$

Portanto, o ponto do vértice tem coordenadas V (2, 2), conforme indicado na imagem abaixo:

Valor máximo e mínimo

De acordo com o sinal do coeficiente a da função do segundo grau, a parábola poderá apresentar sua concavidade voltada para cima ou para baixo.

Quando o coeficiente a for negativo, a concavidade da parábola estará para baixo. Neste caso, o vértice será o máximo valor atingido pela função.

Para funções com coeficiente a positivo, a concavidade estará voltada para cima e o vértice representará o mínimo valor da função.

Imagem da função

Como o vértice representa o ponto máximo ou mínimo da função do 2º grau, ele é usado para definir o conjunto imagem desta função, ou seja, os valores de y que pertencem a função.

Desta forma, existem duas possibilidades para o conjunto imagem da função quadrática:

Para a > 0 o conjunto imagem será: $I m igual a abre chaves y pertence reto números reais dividido por y maior que ou igual a inclinado y com v subscrito fecha chaves$
Para a < 0 o conjunto imagem será: $I m igual a abre chaves y pertence reto números reais dividido por y menor ou igual a y com v subscrito fecha chaves$

Por exemplo, para definir a imagem da função f(x) = x² + 2 x - 3, devemos encontrar o valor do y do vértice da função. Aplicando a fórmula, descobrimos que o valor do y_v é - 4.

Como o coeficiente a da função é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima, Então, este ponto será o valor mínimo da função, conforme indicado na imagem abaixo:

Portanto, todos os valores assumidos pela função serão maiores que - 4. Assim, f(x) = x² + 2x - 3 terá conjunto imagem dado por:

$I m igual a abre chaves y pertence reto números reais dividido por y maior ou igual a menos 4 fecha chaves$

Questões Resolvidas

1) Enem - 2015

Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = - h² + 22 h - 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.

Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como

a) muito baixa.
b) baixa.
c) média.
d) alta.
e) muito alta.

Ver Resposta

A função T(h) = - h² + 22 h - 85 possui coeficiente a < 0, portanto, sua concavidade está voltada para baixo e seu vértice representa o maior valor assumido pela função, ou seja, a maior temperatura no interior da estufa.

Como o problema nos informa que o número de bactérias é o maior possível quando a temperatura máxima, então esse valor será igual ao y do vértice. Assim:

$y com v subscrito igual a numerador menos incremento sobre denominador 4. a fim da fração y com v subscrito igual a numerador menos espaço abre colchetes 22 ao quadrado menos 4. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 85 parêntese direito fecha colchetes sobre denominador 4. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração y com v subscrito igual a numerador menos abre colchetes 484 menos 340 fecha colchetes sobre denominador menos 4 fim da fração y com v subscrito igual a numerador menos 144 sobre denominador menos 4 fim da fração igual a 36 º C$

Identificamos na tabela que esse valor corresponde a temperatura alta.

Alternativa: d) alta.

2) UERJ - 2016

Observe a função f, definida por: f (x) = x² - 2kx + 29, para x ∈ IR. Se f (x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.

Assim, o valor positivo do parâmetro k é:

a) 5
b) 6
c) 10
d) 15

Ver Resposta

A função f (x) = x² - 2kx + 29 possui coeficiente a > 0, logo seu valor mínimo corresponde ao vértice da função, ou seja, y_v = 4.

Considerando essa informação, podemos aplicar na fórmula do y_v. Assim, temos:

$y com v subscrito igual a numerador menos incremento sobre denominador 4 a fim da fração 4 igual a numerador menos abre colchetes parêntese esquerdo menos 2 k parêntese direito ao quadrado menos 4.1.29 fecha colchetes sobre denominador 4.1 fim da fração 16 igual a menos 2 k ao quadrado mais 116 2 k ao quadrado igual a 116 menos 16 k ao quadrado igual a 100 sobre 2 k igual a mais ou menos raiz quadrada de 25 k igual a mais ou menos 5$

Como a questão pede o valor positivo de k, então iremos desprezar o -5.

Alternativa: a) 5

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.