Uma equação de segundo grau é toda a equação na forma ax2 + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0. Para resolver uma equação deste tipo, pode-se utilizar diferentes métodos.
Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios abaixo para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de testar seus conhecimentos com as questões resolvidas de concursos.
Exercícios Comentados
Exercício 1
A idade da minha mãe multiplicada pela minha idade é igual a 525. Se quando eu nasci minha mãe tinha 20 anos, quantos anos eu tenho?
Solução
Considerando a minha idade igual a x, podemos então considerar que a idade da minha mãe é igual a x + 20. Como sabemos o valor do produto das nossas idades, então:
x . (x + 20) = 525
Aplicando a propriedades distributiva da multiplicação:
x2 + 20 x - 525 = 0
Chegamos então em uma equação do 2º grau completa, com a = 1, b = 20 e c = - 525.
Para calcular as raízes da equação, ou seja, os valores de x em que a equação é igual a zero, vamos usar a fórmula de Bhaskara.
Primeiro, devemos calcular o valor do ∆:
Para calcular as raízes, usamos:
Substituindo os valores na fórmula acima, iremos encontrar as raízes da equação, assim:
Como a minha idade não pode ser negativa, desprezamos o valor -35. Assim, o resultado é 15 anos.
Exercício 2
Uma praça, representada da figura abaixo, apresenta um formato retangular e sua área é igual a 1 350 m2. Sabendo que sua largura corresponde a 3/2 da sua altura, determine as dimensões da praça.
Solução
Considerando que sua altura é igual a x, a largura será então igual a 3/2x. A área de um retângulo é calculada multiplicando-se sua base pelo valor da altura. Neste caso, temos:
Chegamos a uma equação incompleta do 2º grau, com a = 3/2, b = 0 e c = - 1350, podemos calcular esse tipo de equação, isolando o x e calculando o valor da raiz quadrada.
Como o valor do x representa a medida da altura, iremos desconsiderar o - 30. Assim, a altura do retângulo é igual a 30 m. Para calcular a largura, vamos multiplicar esse valor por 3/2:
Portanto, a largura da praça é igual a 45 m e sua altura é igual a 30 m.
Exercício 3
Para que x = 1 seja raiz da equação 2ax2 + (2a2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, os valores de a deverão ser:
a) 3 e 2
b) - 1 e 1
c) 2 e - 3
d) 0 e 2
e) - 3 e - 2
Solução
Para encontrar o valor do a, primeiro vamos substituir o x por 1. Desta forma, a equação ficará assim:
2.a.12 + (2a2 - a - 4) . 1 - 2 - a2 = 0
2a + 2a2 - a - 4 - 2 - a2 = 0
a2 + a - 6 = 0
Agora, devemos calcular a raiz da equação completa da 2º grau, para isso vamos usar a fórmula de Bhaskara.
Portanto, a alternativa correta é a letra c.
Questões de Concursos
1) Epcar - 2017
Considere, em ℝ, a equação (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 na variável x, em que m é um número real diferente de - 2.
Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).
( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
( ) Na equação, se ∆ >0 , então m só poderá assumir valores positivos.
A sequência correta é
a) V – V – V
b) F – V – F
c) F – F – V
d) V – F – F
Vamos analisar cada uma das afirmações:
Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio
Como a equação é do segundo grau em ℝ, não terá solução quando o delta for menor que zero. Calculando esse valor, temos:
Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.
Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
A equação terá raízes reais iguais quando Δ=0, ou seja:
- 4m + 8 =0
m=2
Portanto, a afirmação é falsa, pois existe apenas um valor de m em que as raízes são reais e iguais.
Na equação, se ∆ >0 , então m só poderá assumir valores positivos.
Para Δ>0, temos:
Como existem no conjunto dos números reais infinitos números negativos menores que 2, a afirmação também é falsa.
Alternativa d: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017
Laura tem de resolver uma equação do 2º grau no “para casa”, mas percebe que, ao copiar do quadro para o caderno, esqueceu-se de copiar o coeficiente de x. Para resolver a equação, registrou-a da seguinte maneira: 4x2 + ax + 9 = 0. Como ela sabia que a equação tinha uma única solução, e esta era positiva, conseguiu determinar o valor de a, que é
a) – 13
b) – 12
c) 12
d) 13
Quando uma equação do 2º grau apresenta uma única solução o delta, da fórmula de Bhaskara, é igual a zero. Assim, para encontrar o valor de a, basta calcular o delta, igualando o seu valor a zero.
Sendo assim, se a = 12 ou a = - 12 a equação terá apenas uma raiz. Contudo, ainda precisamos verificar qual dos valores de a o resultado será uma raiz positiva.
Para isso, vamos encontrar a raiz, para os valores de a.
Portanto, para a = -12 a equação terá apenas uma raiz e positiva.
Alternativa b: -12
3) Enem - 2016
Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:
y = 9 - x2, sendo x e y medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Para resolver essa questão, precisamos encontrar as medidas da base e da altura da entrada do túnel, pois o problema nos informa que a área da parte frontal é igual a 2/3 da área do retângulo com essas dimensões.
Esses valores serão encontrados a partir da equação do 2º grau dada. A parábola desta equação tem a concavidade virada para baixo, pois o coeficiente a é negativo. Abaixo, temos o esboço desta parábola.
Pelo gráfico, podemos perceber que a medida da base do túnel será encontrada calculando as raízes da equação. Já sua altura, será igual a medida do vértice.
Para calcular as raízes, observamos que a equação 9 - x2 é incompleta, sendo assim, podemos encontrar suas raízes igualando a equação a zero e isolando o x:
Logo, a medida da base do túnel será igual a 6 m, ou seja, a distância entre as duas raízes (-3 e 3).
Observando o gráfico, vemos que o ponto do vértice corresponde ao valor no eixo y que o x é igual a zero, então temos:
Agora que conhecemos as medidas da base do túnel e da altura, podemos calcular a sua área:
Alternativa c: 36
4) Cefet - RJ - 2014
Para qual valor de "a" a equação (x - 2).(2ax - 3) + (x - 2).(- ax + 1) = 0 tem duas raízes e iguais?
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
Para que uma equação do 2º grau tenha duas raízes iguais, é necessário que Δ=0, ou seja, b2-4ac=0. Antes de calcular o delta, precisamos escrever a equação na forma ax2 + bx + c = 0.
Podemos começar aplicando a propriedade distributiva. Entretanto, notamos que (x - 2 ) se repete nos dois termos, então vamos colocá-lo em evidência:
( x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0
Agora, distribuindo o produto, temos:
ax2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Calculando o Δ e igualando a zero, encontramos:
Portanto, quando a = 1, a equação terá duas raízes iguais.
Alternativa c: 1
Para saber mais, veja também:
- Equação do Segundo Grau
- Equação do Primeiro Grau
- Função Quadrática
- Função Linear
- Exercícios de Função Afim