Equação do 2º Grau - Exercícios

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física

Uma equação de segundo grau é toda a equação na forma ax2 + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0. Para resolver uma equação deste tipo, pode-se utilizar diferentes métodos.

Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios abaixo para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de testar seus conhecimentos com as questões resolvidas de concursos.

Exercícios Comentados

Exercício 1

A idade da minha mãe multiplicada pela minha idade é igual a 525. Se quando eu nasci minha mãe tinha 20 anos, quantos anos eu tenho?

Solução

Considerando a minha idade igual a x, podemos então considerar que a idade da minha mãe é igual a x + 20. Como sabemos o valor do produto das nossas idades, então:

x . (x + 20) = 525

Aplicando a propriedades distributiva da multiplicação:

x2 + 20 x - 525 = 0

Chegamos então em uma equação do 2º grau completa, com a = 1, b = 20 e c = - 525.

Para calcular as raízes da equação, ou seja, os valores de x em que a equação é igual a zero, vamos usar a fórmula de Bhaskara.

Primeiro, devemos calcular o valor do ∆:

delta maiúsculo espaço igual a espaço b ao quadrado espaço menos espaço 4. a. c delta maiúsculo espaço igual a espaço parêntese esquerdo 20 parêntese direito ao quadrado espaço menos espaço 4.1. parêntese esquerdo menos espaço 525 parêntese direito delta maiúsculo espaço igual a espaço 400 espaço mais espaço 2100 espaço igual a espaço 2500

Para calcular as raízes, usamos:

x igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2 a fim da fração

Substituindo os valores na fórmula acima, iremos encontrar as raízes da equação, assim:

x com 1 subscrito igual a numerador menos 20 mais raiz quadrada de 2500 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 20 mais 50 sobre denominador 2 fim da fração igual a 30 sobre 2 igual a 15 x com 2 subscrito igual a numerador menos 20 menos raiz quadrada de 2500 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 20 menos 50 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 70 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 35

Como a minha idade não pode ser negativa, desprezamos o valor -35. Assim, o resultado é 15 anos.

Exercício 2

Uma praça, representada da figura abaixo, apresenta um formato retangular e sua área é igual a 1 350 m2. Sabendo que sua largura corresponde a 3/2 da sua altura, determine as dimensões da praça.

Exercício 2 de equação do 2º grau

Solução

Considerando que sua altura é igual a x, a largura será então igual a 3/2x. A área de um retângulo é calculada multiplicando-se sua base pelo valor da altura. Neste caso, temos:

3 sobre 2 x. x espaço igual a espaço 1350 3 sobre 2 x ao quadrado igual a 1350 3 sobre 2 x ao quadrado menos 1350 igual a 0

Chegamos a uma equação incompleta do 2º grau, com a = 3/2, b = 0 e c = - 1350, podemos calcular esse tipo de equação, isolando o x e calculando o valor da raiz quadrada.

x ao quadrado igual a numerador 1350.2 sobre denominador 3 fim da fração igual a 900 x igual a mais ou menos raiz quadrada de 900 igual a mais ou menos 30

Como o valor do x representa a medida da altura, iremos desconsiderar o - 30. Assim, a altura do retângulo é igual a 30 m. Para calcular a largura, vamos multiplicar esse valor por 3/2:

3 sobre 2.30 igual a 45

Portanto, a largura da praça é igual a 45 m e sua altura é igual a 30 m.

Exercício 3

Para que x = 1 seja raiz da equação 2ax2 + (2a2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, os valores de a deverão ser:

a) 3 e 2
b) - 1 e 1
c) 2 e - 3
d) 0 e 2
e) - 3 e - 2

Solução

Para encontrar o valor do a, primeiro vamos substituir o x por 1. Desta forma, a equação ficará assim:

2.a.12 + (2a2 - a - 4) . 1 - 2 - a2 = 0
2a + 2a2 - a - 4 - 2 - a2 = 0
a2 + a - 6 = 0

Agora, devemos calcular a raiz da equação completa da 2º grau, para isso vamos usar a fórmula de Bhaskara.

incremento espaço igual a espaço 1 ao quadrado espaço menos espaço 4.1. parêntese esquerdo menos espaço 6 parêntese direito incremento espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 24 espaço igual a espaço 25 a com 1 subscrito igual a numerador menos 1 mais raiz quadrada de 25 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 1 mais 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a 2 a com 2 subscrito igual a numerador menos 1 menos raiz quadrada de 25 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 1 menos 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 3

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

Questões de Concursos

1) Epcar - 2017

Considere, em ℝ, a equação (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 na variável x, em que m é um número real diferente de - 2.

Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
( ) Na equação, se ∆ >0 , então m só poderá assumir valores positivos.

A sequência correta é

a) V – V – V
b) F – V – F
c) F – F – V
d) V – F – F

Vamos analisar cada uma das afirmações:

Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio

Como a equação é do segundo grau em ℝ, não terá solução quando o delta for menor que zero. Calculando esse valor, temos:

delta maiúsculo espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 2 m parêntese direito ao quadrado espaço menos espaço 4. parêntese esquerdo m espaço mais espaço 2 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo m espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço P a r a espaço delta maiúsculo espaço menor que espaço 0 vírgula espaço f i c a r á dois pontos espaço 4 m ao quadrado espaço menos espaço 4 parêntese esquerdo m ao quadrado menos espaço m espaço mais espaço 2 m espaço menos espaço 2 parêntese direito espaço menor que espaço 0 espaço 4 m ao quadrado espaço menos espaço 4 m ao quadrado espaço mais espaço 4 m espaço menos espaço 8 m espaço mais espaço 8 espaço menor que espaço 0 menos espaço 4 m espaço mais espaço 8 espaço menor que espaço 0 espaço parêntese esquerdo m u l t i p l i c a n d o espaço p o r espaço menos 1 parêntese direito espaço 4 m espaço maior que espaço 8 espaço m espaço maior que espaço 2

Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.

Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.

A equação terá raízes reais iguais quando Δ=0, ou seja:

- 4m + 8 =0
m=2

Portanto, a afirmação é falsa, pois existe apenas um valor de m em que as raízes são reais e iguais.

Na equação, se ∆ >0 , então m só poderá assumir valores positivos.

Para Δ>0, temos:

menos 4 m mais 8 maior que 0 espaço 4 m menor que 8 espaço parêntese esquerdo m u l t i p l i c a n d o espaço p o r espaço menos 1 parêntese direito espaço m menor que 2

Como existem no conjunto dos números reais infinitos números negativos menores que 2, a afirmação também é falsa.

Alternativa d: V-F-F

2) Coltec - UFMG - 2017

Laura tem de resolver uma equação do 2º grau no “para casa”, mas percebe que, ao copiar do quadro para o caderno, esqueceu-se de copiar o coeficiente de x. Para resolver a equação, registrou-a da seguinte maneira: 4x2 + ax + 9 = 0. Como ela sabia que a equação tinha uma única solução, e esta era positiva, conseguiu determinar o valor de a, que é

a) – 13
b) – 12
c) 12
d) 13

Quando uma equação do 2º grau apresenta uma única solução o delta, da fórmula de Bhaskara, é igual a zero. Assim, para encontrar o valor de a, basta calcular o delta, igualando o seu valor a zero.

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a a ao quadrado menos 4.4.9 a ao quadrado menos 144 igual a 0 a ao quadrado igual a 144 a igual a mais ou menos raiz quadrada de 144 igual a mais ou menos 12

Sendo assim, se a = 12 ou a = - 12 a equação terá apenas uma raiz. Contudo, ainda precisamos verificar qual dos valores de a o resultado será uma raiz positiva.

Para isso, vamos encontrar a raiz, para os valores de a.

S e n d o espaço a espaço igual a espaço 12 dois pontos espaço x com 1 subscrito igual a numerador menos 12 sobre denominador 2.4 fim da fração igual a menos 3 sobre 2 S e n d o espaço a igual a menos 12 x com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito sobre denominador 2.4 fim da fração igual a 3 sobre 2

Portanto, para a = -12 a equação terá apenas uma raiz e positiva.

Alternativa b: -12

3) Enem - 2016

Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:
y = 9 - x2, sendo x e y medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54

Para resolver essa questão, precisamos encontrar as medidas da base e da altura da entrada do túnel, pois o problema nos informa que a área da parte frontal é igual a 2/3 da área do retângulo com essas dimensões.

Esses valores serão encontrados a partir da equação do 2º grau dada. A parábola desta equação tem a concavidade virada para baixo, pois o coeficiente a é negativo. Abaixo, temos o esboço desta parábola.

Questão Enem 2016 equação do 2º grau

Pelo gráfico, podemos perceber que a medida da base do túnel será encontrada calculando as raízes da equação. Já sua altura, será igual a medida do vértice.

Para calcular as raízes, observamos que a equação 9 - x2 é incompleta, sendo assim, podemos encontrar suas raízes igualando a equação a zero e isolando o x:

9 menos x ao quadrado igual a 0 seta dupla para a direita x ao quadrado igual a 9 seta dupla para a direita x igual a raiz quadrada de 9 seta dupla para a direita x igual a mais ou menos 3

Logo, a medida da base do túnel será igual a 6 m, ou seja, a distância entre as duas raízes (-3 e 3).

Observando o gráfico, vemos que o ponto do vértice corresponde ao valor no eixo y que o x é igual a zero, então temos:

y igual a 9 menos 0 seta dupla para a direita y igual a 9

Agora que conhecemos as medidas da base do túnel e da altura, podemos calcular a sua área:

Á r e a espaço d o espaço t ú n e l espaço igual a espaço 2 sobre 3. espaço Á r e a espaço d o espaço r e t â n g u l o Á r e a espaço d o espaço t ú n e l espaço igual a 2 sobre 3. espaço 9.6 igual a 36 espaço m ao quadrado

Alternativa c: 36

4) Cefet - RJ - 2014

Para qual valor de "a" a equação (x - 2).(2ax - 3) + (x - 2).(- ax + 1) = 0 tem duas raízes e iguais?

a) -1
b) 0
c) 1
d) 2

Para que uma equação do 2º grau tenha duas raízes iguais, é necessário que Δ=0, ou seja, b2-4ac=0. Antes de calcular o delta, precisamos escrever a equação na forma ax2 + bx + c = 0.

Podemos começar aplicando a propriedade distributiva. Entretanto, notamos que (x - 2 ) se repete nos dois termos, então vamos colocá-lo em evidência:

( x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0

Agora, distribuindo o produto, temos:

ax2 - 2x - 2ax + 4 = 0

Calculando o Δ e igualando a zero, encontramos:

parêntese esquerdo menos 2 a menos 2 parêntese direito ao quadrado menos 4. a.4 igual a 0 4 a ao quadrado mais 8 a mais 4 menos 16 a igual a 0 4 a ao quadrado menos 8 a mais 4 igual a 0 a ao quadrado menos 2 a mais 1 igual a 0 incremento igual a 4 menos 4.1.1 igual a 0 a igual a 2 sobre 2 igual a 1

Portanto, quando a = 1, a equação terá duas raízes iguais.

Alternativa c: 1

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.