Fórmula de Bhaskara

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física

A “Fórmula de Bhaskara” é considerada uma das mais importantes da matemática.

Ela é usada para resolver as equações de segundo grau, sendo expressa da seguinte maneira:

começar estilo tamanho matemático 18px bold italic x negrito igual a numerador negrito menos negrito b negrito mais ou menos raiz quadrada de negrito b à potência de negrito 2 negrito menos negrito 4 negrito. negrito a negrito. negrito c fim da raiz sobre denominador negrito 2 negrito. negrito a fim da fração fim do estilo

Onde,

x: é uma variável chamada de incógnita
a: coeficiente quadrático
b: coeficiente linear
c: coeficiente constante

Equações de Segundo Grau

As equações do segundo grau são chamadas de "equações quadráticas", uma vez que determinam os valores de uma equação polinomial de grau dois.

Elas são representadas pela expressão:

começar estilo tamanho matemático 18px negrito ax à potência de negrito 2 negrito mais negrito bx negrito mais negrito c negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito 0 fim do estilo

Nesse caso, a, b e c são números reais e a ≠ 0, por exemplo:

2x2 + 3x + 5 = 0

Onde,

a = 2
b = 3
c = 5

Observe que se o coeficiente a for igual a zero, o que temos é uma equação do primeiro grau:

ax + b = 0

Leia mais em:

Função Quadrática
Soma e Produto

Exemplos

Para compreender melhor os coeficientes (a, b, c) da equação de segundo grau, confira abaixo alguns exemplos

  • x2 - 1 = 0 ⇒ a = 1; b = 0; c = - 1
  • - x2 + 2x = 0 ⇒ a = - 1; b = 2; c = 0
  • - 4x2 = 0 ⇒ a = - 4; b = 0; c = 0
  • 2x2 + 3x + 5 = 0 ⇒ a = 2; b = 3; c = 5
  • 3x2 - 4x + 1 = 0 ⇒ a = 3; b = - 4; c = 1

Discriminante da Equação

A expressão dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara é chamada de discriminante da equação e é representada pela letra grega delta (Δ), ou seja:

começar estilo tamanho matemático 18px negrito incremento negrito igual a negrito b à potência de negrito 2 negrito menos negrito 4 negrito. negrito a negrito. negrito c fim do estilo

Normalmente essa expressão é calculada separadamente, pois, de acordo com o valor encontrado, podemos saber antecipadamente o número de raízes da equação e se pertencem ao conjunto dos números reais.

Note que a, b e c são as constantes da equação e o valor de Delta (Δ) pode ocorrer de três maneiras:

  • Se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas.
  • Se o valor de Δ for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará uma raiz real.
  • Se o valor de Δ for menor que zero (Δ<0), a equação não possui raízes reais.

Assim, substituindo a expressão do discriminante por delta, a fórmula de Bhaskara ficará:

começar estilo tamanho matemático 18px negrito x negrito igual a numerador negrito menos negrito b negrito mais ou menos raiz quadrada de negrito incremento sobre denominador negrito 2 negrito. negrito a fim da fração fim do estilo

Exemplo

Quantas e quais são as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0?

Solução

O primeiro passo para resolver uma equação usando a fórmula de Bhaskara é identificar os coeficientes da equação. Desta forma, os coeficientes na equação são: a = + 1, b = - 5 e c = + 6.

Para saber o número de raízes, precisamos calcular o valor do delta, assim temos:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.6 incremento igual a 25 menos 24 incremento igual a 1

Como delta é maior que zero parêntese esquerdo incremento maior que 0 parêntese direito, então a equação terá duas raízes reais e distintas. Vamos agora aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor das raízes.

x com 1 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2 a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito mais raiz quadrada de 1 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 5 mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 3 x com 2 subscrito igual a numerador menos b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2 a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito menos raiz quadrada de 1 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 5 menos 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 2

Assim, as duas raízes da equação são 2 e 3.

Classificações das Equações de Segundo Grau

As equações do 2º grau podem ser de dois tipos:

  • Completas: quando os coeficientes a, b e c, são diferentes de zero.
  • Incompletas: quando o coeficiente a é diferente de zero (a ≠ 0) e b, ou c, ou ambos são iguais a zero.

A fórmula de Bhaskara é mais utilizada nas equações de segundo grau completas. Nas incompletas também pode ser usada, entretanto, existem métodos mais simples para resolvê-las.

Curiosidade

A fórmula de Bhaskara recebe esse nome uma vez que faz homenagem ao matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria ou Bhakara II (1114-1185). Ele é considerado um dos mais importantes matemáticos do século XII.

Caiu no Vestibular!

(PUC- Campinas) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:

a) a2 - 2b
b) a2 + 2b
c) a2 – 2b2
d) a2 + 2b2
e) a2 – b2

incremento igual a a ao quadrado menos 4 b v igual a numerador menos a mais raiz quadrada de a ao quadrado menos 4 b fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração w igual a numerador menos a menos raiz quadrada de a ao quadrado menos 4 b fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração v ao quadrado mais w ao quadrado igual a numerador a ao quadrado mais parêntese esquerdo 2 a raiz quadrada de a ao quadrado menos 4 b fim da raiz parêntese direito mais a ao quadrado menos 4 b sobre denominador 4 fim da fração mais numerador a ao quadrado menos parêntese esquerdo 2 a raiz quadrada de a ao quadrado menos 4 b fim da raiz parêntese direito mais a ao quadrado menos 4 b sobre denominador 4 fim da fração v ao quadrado mais w ao quadrado igual a numerador 4 a ao quadrado menos 8 b sobre denominador 4 fim da fração igual a a ao quadrado menos 2 b

Alternativa a: a2 - 2b

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.