Fórmula de Bhaskara

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

A “Fórmula de Bhaskara” é considerada uma das mais importantes da matemática.

Ela é usada para resolver as equações de segundo grau, ou seja, determinar os valores reais da incógnita que tornam verdadeira a igualdade. Para isso, são usados os valores dos coeficientes a, b e c.

A Fórmula de Bhaskara é expressa da seguinte maneira:

$começar estilo tamanho matemático 18px bold italic x negrito igual a numerador negrito menos negrito b negrito mais ou menos raiz quadrada de negrito b à potência de negrito 2 negrito menos negrito 4 negrito. negrito a negrito. negrito c fim da raiz sobre denominador negrito 2 negrito. negrito a fim da fração fim do estilo$

Onde,

x: é uma variável chamada de incógnita
a: coeficiente quadrático
b: coeficiente linear
c: coeficiente constante

Discriminante da Equação

A expressão dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara é chamada discriminante da equação e é representada pela letra grega delta (Δ), ou seja:

$Error converting from MathML to accessible text.$

Normalmente essa expressão é calculada separadamente, pois conforme o valor encontrado, podemos saber antecipadamente o número de raízes da equação e se pertencem ao conjunto dos números reais.

Note que a, b e c são as constantes da equação e o valor de Delta (Δ) pode ocorrer de três maneiras:

Se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas.

Se o valor de Δ for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará uma raiz real.

Se o valor de Δ for menor que zero (Δ<0), a equação não possui raízes reais.

Assim, substituindo a expressão do discriminante por delta, a fórmula de Bhaskara ficará:

$Error converting from MathML to accessible text.$

Exemplo
Quantas e quais são as raízes da equação $reto x ao quadrado espaço menos espaço 5 reto x espaço mais espaço 6 espaço igual a espaço 0$ ?

Solução

O primeiro passo para resolver uma equação usando a fórmula de Bhaskara é identificar os coeficientes da equação. Desta forma, os coeficientes na equação são: a = + 1, b = - 5 e c = + 6.

Para saber o número de raízes, precisamos calcular o valor do delta, assim temos:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.6 incremento igual a 25 menos 24 incremento igual a 1$

Como delta é maior que zero $parêntese esquerdo incremento maior que 0 parêntese direito$ , então a equação terá duas raízes reais e distintas. Vamos agora aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor das raízes.

Lembre-se que uma raiz quadrada tem duas respostas, uma positiva e uma negativa, por isso, repetimos o cálculo com a fórmula de Bhaskara, utilizando o valor positivo e negativo.

$x com 1 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2 a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito mais raiz quadrada de 1 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 5 mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 3 x com 2 subscrito igual a numerador menos b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2 a fim da fração igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito menos raiz quadrada de 1 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador 5 menos 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 2$

Assim, as duas raízes da equação são 2 e 3.

Equações de Segundo Grau

As equações do segundo grau são chamadas "equações quadráticas”, dado que determinam os valores de uma equação polinomial de grau dois. São as equações onde o maior expoente é 2.

Elas são representadas pela expressão:

$começar estilo tamanho matemático 18px negrito ax à potência de negrito 2 negrito mais negrito bx negrito mais negrito c negrito espaço negrito igual a negrito espaço negrito 0 fim do estilo$

Nesse caso, a, b e c são números reais e a ≠ 0, por exemplo:

2x²+ 3x + 5 = 0

Onde,

a = 2
b = 3
c = 5

Observe que se o coeficiente a for igual a zero, o que temos é uma equação do primeiro grau:

bx + c = 0

Exemplos

Para compreender melhor os coeficientes (a, b, c) da equação de segundo grau, confira abaixo alguns exemplos:

x²- 1 = 0 ⇒ a = 1; b = 0; c = - 1

- x²+ 2x = 0 ⇒ a = - 1; b = 2; c = 0

- 4x² = 0 ⇒ a = - 4; b = 0; c = 0

2x²+ 3x + 5 = 0 ⇒ a = 2; b = 3; c = 5

3x²- 4x + 1 = 0 ⇒ a = 3; b = - 4; c = 1

Classificações das Equações de Segundo Grau

As equações do 2º grau podem ser de dois tipos:

Completas: quando os coeficientes a, b e c, são diferentes de zero.
Incompletas: quando o coeficiente a é diferente de zero (a ≠ 0) e b, ou c, ou ambos são iguais a zero.

A fórmula de Bhaskara é mais utilizada nas equações de segundo grau completas. Nas incompletas também pode ser usada, entretanto, existem métodos mais simples para resolvê-las.

Função do segundo grau e fórmula de Bhaskara

As funções do segundo grau são determinadas por polinômios do segundo grau.

$reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a espaço ax ao quadrado espaço mais espaço bx espaço mais espaço reto c$

Esta função tem o domínio real (eixo x) e sua imagem está determinada no intervalo que vai do vértice ao infinito, [vértice, infinito).

O gráfico da função do segundo grau é uma parábola e pode ter concavidade para cima (se o coeficiente a, que multiplica o termo x² é positivo, ou para baixo quando a é negativo.

Os pontos de intersecção entre a curva da função e o eixo x são as raízes determinadas pela fórmula de Bhaskara.

Exemplo
Esboce em um plano cartesiano a curva da função do 2° grau:

$reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a menos reto x ao quadrado mais espaço reto x espaço mais espaço 6$

Resolução:
Como o parâmetro a que multiplica o termo x² é negativo, no caso a = -1, a parábola é aberta para baixo, possui concavidade para baixo.

Para conhecer os pontos onde a curva corta o eixo x, temos que determinar as raízes da equação do segundo grau. Para isso, igualamos a função à 0.

Determinando as raízes

$menos reto x ao quadrado mais espaço reto x espaço mais espaço 6 igual a 0$

Os coeficientes são:

a = -1
b = 1
c = 6

Discriminante:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 1 ao quadrado menos 4. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito.6 incremento igual a 1 espaço mais espaço 24 incremento igual a 25$

Utilizando a fórmula de Bhaskara e considerando os valores positivos e negativos da raiz quadrada:

$x com 1 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2 a fim da fração igual a numerador menos 1 mais raiz quadrada de 25 sobre denominador 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a numerador menos 1 espaço mais espaço 5 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a menos 2 x com 2 subscrito igual a numerador menos b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2 a fim da fração igual a numerador menos 1 menos raiz quadrada de 25 sobre denominador 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a numerador menos 1 menos 5 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a 3$

As raízes da equação são -2 e 3, dessa forma, a curva cortará o eixo x nestes pontos.

Plotando o gráfico da função temos:

Curiosidade

A fórmula de Bhaskara recebe esse nome uma vez que faz homenagem ao matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria ou Bhakara II (1114-1185). Ele é considerado um dos mais importantes matemáticos do século XII.

Exercício de Fórmula de Bhaskara

(PUC- Campinas) Se v e w são as raízes da equação x² + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v² + w² é igual a:

a) a² - 2b
b) a² + 2b
c) a² – 2b²
d) a² + 2b²
e) a² – b2

Ver Resposta

Determinando o discriminante:

$incremento igual a a ao quadrado menos 4.1. b incremento igual a a ao quadrado menos 4 b$

Determinando as raízes:

$v igual a numerador menos a mais raiz quadrada de a ao quadrado menos 4 b fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração w igual a numerador menos a menos raiz quadrada de a ao quadrado menos 4 b fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração$

Calculando v² + w² :

$v ao quadrado mais w ao quadrado igual a numerador a ao quadrado mais parêntese esquerdo 2 a raiz quadrada de a ao quadrado menos 4 b fim da raiz parêntese direito mais a ao quadrado menos 4 b sobre denominador 4 fim da fração mais numerador a ao quadrado menos parêntese esquerdo 2 a raiz quadrada de a ao quadrado menos 4 b fim da raiz parêntese direito mais a ao quadrado menos 4 b sobre denominador 4 fim da fração v ao quadrado mais w ao quadrado igual a numerador 4 a ao quadrado menos 8 b sobre denominador 4 fim da fração igual a a ao quadrado menos 2 b$

Alternativa a: a² - 2b

Pratique mais exercícios sobre fórmula de Bhaskara.