Função Quadrática


A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela seguinte expressão:

f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Exemplo: f(x) = 4x2 + 6x + 10,

sendo,

a = 2
b = 3
c = 5

Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2.

Como Resolver a Função Quadrática?

Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução de função quadrática:

Exemplo:

Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax2 + bx + c, sendo:

f (–1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos:

f (–1) = 8
a (–1)2 + b (–1) + c = 8
a – b + c = 8 (equação I)

f (0) = 4
a . 02 + b . 0 + c = 4
c = 4 (equação II)

f (2) = 2
a . 22 + b . 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equação III)

Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4. Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas (a e b):

(Equação I)

a – b + 4 = 8
a – b = 4
a = b + 4

Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b:

(Equação III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = – 2
4 (b + a) + 2b = – 2
4b + 16 + 2b = – 2
6b = – 18
b = – 3

Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo:

(Equação I)
a – b + c = 8
a – (– 3) + 4 = 8
a = – 3 + 4
a = 1

Sendo assim, os valores das incógnitas da função quadrática dada são:

a = 1
b = – 3
c = 4

Gráficos

Os gráficos das funções polinomiais são representados por curvas, chamadas de parábolas.

Dependendo do valor de a na expressão y = ax2 + bx + c, a parábola pode ser:

  • a > 0: a parábola apresenta uma concavidade voltada para cima.
  • a < 0: a parábola apresenta uma concavidade voltada para baixo.

Função Quadrática

Sendo assim, o valor de a vai definir a concavidade da parábola.

A partir dos pares ordenados dados (x; y), podemos construir a parábola num plano cartesiano, por meio da ligação entre os pontos encontrados.

Obs: os gráficos de funções de 1º grau são representados por retas e não parábolas.

Leia também:

Zero da Função

O chamado zero da função ou raiz da função, faz referência aos valores de x tais que f(x) = 0.

As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau igualada a zero:

ax2 +bx + c = 0

Nesse caso, ela é dada pela Fórmula de Bhaskara.

Função Quadrática

Função Quadrática

Exemplo: Encontre os zeros da função:

f(x) = x2 – 5x + 6
a = 1
b = – 5
c = 6

Função Quadrática

x = 3 e x = 2

Portanto, as raízes são 2 e 3.

Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: Δ = b2 – 4. ac, o qual é chamado de discriminantes.

Assim,

  • Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
  • Se Δ < 0, a função não terá uma raiz real;
  • Se Δ = 0, a função terá somente uma raiz real, ou ainda, uma raiz dupla (x1 = x2).

Para saber mais, veja também:

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (Vunesp-SP) Todos os possíveis valores de m que satisfazem a desigualdade 2x2 – 20x – 2m > 0, para todo x pertencente ao conjunto dos reais, são dados por:

a) m > 10
b) m > 25
c) m > 30
d) m < 5
e) m < 30

Alternativa b

2. (UE-CE) O gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx é uma parábola cujo vértice é o ponto (1, – 2). O número de elementos do conjunto x = {(– 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} que pertencem ao gráfico dessa função é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Alternativa b

3. (Cefet-SP) Sabendo que as equações de um sistema são x . y = 50 e x + y = 15, os possíveis valores para x e y são:

a) {(5,15), (10,5)}
b) {(10,5), (10,5)}
c) {(5,10), (15,5)}
d) {(5,10), (5,10)}
e) {(5,10), (10,5)}

Alternativa e