Função Quadrática

Rosimar Gouveia

A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela seguinte expressão:

f(x) = ax2 + bx + c

Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Exemplo:

f(x) = 2x2 + 3x + 5,

sendo,

a = 2
b = 3
c = 5

Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da variável.

Como resolver uma função quadrática?

Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função quadrática:

Exemplo

Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax2 + bx + c, sendo:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos:

f (-1) = 8
a (-1)2 + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (equação I)

f (0) = 4
a . 02 + b . 0 + c = 4
c = 4 (equação II)

f (2) = 2
a . 22 + b . 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equação III)

Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4.

Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas (a e b):

(Equação I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b:

(Equação III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo:

(Equação I)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são:

a = 1
b = - 3
c = 4

Raízes da Função

As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau:

f(x) = ax2 +bx + c = 0

Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos mais utilizados é aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja:

Função Quadrática

Função Quadrática

Exemplo

Encontre os zeros da função f(x) = x2 – 5x + 6.

Solução:

Sendo
a = 1
b = – 5
c = 6

Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

x igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos 4 a c fim da raiz sobre denominador 2 a fim da fração igual a numerador 5 mais ou menos raiz quadrada de 25 menos 24 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração x com 1 subscrito igual a numerador 5 mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3 x com 2 subscrito igual a numerador 5 menos 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 4 sobre 2 igual a 2

Portanto, as raízes são 2 e 3.

Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: Δ = b2 – 4. ac, o qual é chamado de discriminante.

Assim,

  • Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
  • Se Δ , a função não terá uma raiz real;
  • Se Δ = 0, a função terá duas raízes reais e iguais (x1 = x2).

Gráfico da função quadrática

O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. Diferente das funções do 1º grau, onde conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas funções quadráticas são necessários conhecer vários pontos.

A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em no máximo dois pontos dependendo do valor do discriminante (Δ). Assim, temos:

  • Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos;
  • Se Δ
  • Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto.

Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola, que é o valor máximo ou mínimo da função. Este ponto é encontrado usando-se a seguinte fórmula:

x com v subscrito igual a numerador menos b sobre denominador 2 a fim da fração espaço espaço e espaço y com v subscrito igual a numerador menos incremento sobre denominador 4 a fim da fração

O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola estiver voltada para baixo e o valor mínimo quando estiver para cima.

É possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do coeficiente a. Se o coeficiente for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se for negativo ficará para baixo, ou seja:

Concavidade do gráfico da função quadrática

Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º grau, podemos analisar o valor do a, calcular os zeros da função, seu vértice e também o ponto em que a curva corta o eixo y, ou seja, quando x = 0.

A partir dos pares ordenados dados (x, y), podemos construir a parábola num plano cartesiano, por meio da ligação entre os pontos encontrados.

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (Vunesp-SP) Todos os possíveis valores de m que satisfazem a desigualdade 2x2 – 20x – 2m > 0, para todo x pertencente ao conjunto dos reais, são dados por:

a) m > 10
b) m > 25
c) m > 30
d) m e) m

Alternativa b) m > 25

2. (UE-CE) O gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx é uma parábola cujo vértice é o ponto (1, – 2). O número de elementos do conjunto x = {(– 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} que pertencem ao gráfico dessa função é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Alternativa b) 2

3. (Cefet-SP) Sabendo que as equações de um sistema são x . y = 50 e x + y = 15, os possíveis valores para x e y são:

a) {(5,15), (10,5)}
b) {(10,5), (10,5)}
c) {(5,10), (15,5)}
d) {(5,10), (5,10)}
e) {(5,10), (10,5)}

Alternativa e) {(5,10), (10,5)}

Leia também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.