Identidades trigonométricas

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

As identidades trigonométricas são igualdades que envolvem funções trigonométricas aplicadas a um mesmo arco. Também conhecidas como relações trigonométricas, são utilizadas para simplificar expressões e definir novas funções.

Para que uma igualdade que envolva funções trigonométricas seja uma identidade, esta deve ser verificada para todos os valores do domínio das funções.

Sendo f(x) e g(x) duas funções trigonométricas, expressamos sua identidade por:

$começar estilo tamanho matemático 18px reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito idêntico reto g parêntese esquerdo reto x parêntese direito fim do estilo$

Esta identidade só é válida se f(x) = g(x), para todo x que pertença ao domínio das duas funções.

A partir das razões elementares da trigonometria: seno e cosseno, que relacionam lados e ângulos de triângulo retângulo, definimos outras identidades ou, relações trigonométricas.

Em um ciclo trigonométrico de raio igual a 1 e um determinado ângulo x, crescente no sentido anti-horário, determinam-se as seguintes identidades trigonométricas nos domínios especificados a seguir.

Relação fundamental da trigonometria

$começar estilo tamanho matemático 18px sen ao quadrado reto x espaço mais espaço cos ao quadrado reto x igual a 1 fim do estilo$

Esta relação é válida para todo x que pertença aos números reais.

$reto D igual a chaveta esquerda para tudo espaço x pertence reto números reais chaveta direita$

Tangente

$começar estilo tamanho matemático 18px tg espaço reto x igual a numerador sen espaço reto x sobre denominador cos espaço reto x fim da fração fim do estilo$

Válida para todo x que pertença aos números reais, exceto quando cos x = 0.

Desta forma, a tangente não é definida para os ângulos de 90° + k.180° ou, em radianos, $reto pi sobre 2 mais kπ$ , onde k é um número inteiro.

$reto D igual a chaveta esquerda para tudo x pertence reto números reais dividido por x não igual abre chaves reto pi sobre 2 espaço mais espaço kπ fecha chaves chaveta direita$

Cotangente

A cotangente é o inverso da tangente, definida como:

$começar estilo tamanho matemático 18px cotg espaço reto x igual a numerador cos espaço reto x sobre denominador sen espaço reto x fim da fração fim do estilo$

Válida para todo x que pertença aos números reais, exceto nos valores em que sen x = 0. Por isso, a cotangente é inválida para qualquer múltiplo de $reto pi$ .

$reto D igual a chaveta esquerda para tudo x pertence reto números reais dividido por x não igual k reto pi chaveta direita$
Onde k é um número inteiro.

Secante

A secante é o inverso do cosseno.

$começar estilo tamanho matemático 18px sec espaço reto x espaço igual a espaço numerador 1 sobre denominador cos espaço reto x fim da fração fim do estilo$

Válida para todo x que pertença aos números reais, exceto com cos x = 0.

Desta forma, a secante não é definida para os ângulos de 90° + k.180° ou, em radianos, $reto pi sobre 2 mais kπ$ , onde k é um número inteiro.

$reto D igual a espaço chaveta esquerda para tudo x pertence reto números reais dividido por x não igual abre chaves reto pi sobre 2 mais kπ fecha chaves chaveta direita$

Cossecante

A cossecante é o inverso do seno.

$começar estilo tamanho matemático 18px cossec espaço reto x espaço igual a espaço numerador 1 sobre denominador sen espaço reto x fim da fração fim do estilo$

Válida para todo x que pertença aos números reais exceto para sen x = 0.

$reto D igual a chaveta esquerda para tudo reto x pertence reto números reais dividido por reto x não igual kπ chaveta direita$

A partir das identidades já mencionadas é possível obter novas, que por serem dedutíveis das relações fundamentais, também são conhecidas como colorários.

Outras identidades trigonométricas: os colorários

Através de um encadeamento algébrico, é possível determinar as igualdades:

1) $bold italic c bold italic o bold italic t bold italic g negrito espaço bold italic x igual a espaço numerador 1 sobre denominador t g espaço x espaço fim da fração espaço igual a numerador 1 sobre denominador numerador s e n espaço x sobre denominador cos espaço x fim da fração fim da fração igual a numerador negrito c negrito o negrito s negrito espaço negrito x sobre denominador negrito s negrito e negrito n negrito espaço negrito x fim da fração$

2) $bold italic s bold italic e bold italic c à potência de negrito 2 negrito espaço bold italic x negrito espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço t g ao quadrado x espaço espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço numerador s e n ao quadrado x sobre denominador cos à potência de 2 espaço fim do exponencial x fim da fração espaço igual a espaço numerador s e n ao quadrado x mais cos ao quadrado x sobre denominador cos ao quadrado x fim da fração igual a numerador negrito 1 sobre denominador negrito c negrito o negrito s à potência de negrito 2 negrito x fim da fração$

3) $bold italic c bold italic o bold italic s bold italic s bold italic e bold italic c à potência de negrito 2 negrito espaço bold italic x igual a espaço 1 espaço mais espaço c o t g ao quadrado espaço x espaço igual a 1 espaço mais espaço numerador cos ao quadrado x sobre denominador s e n ao quadrado x fim da fração igual a numerador s e n ao quadrado x espaço mais espaço cos ao quadrado x sobre denominador s e n ao quadrado x fim da fração igual a numerador negrito 1 sobre denominador negrito s negrito e negrito n à potência de negrito 2 negrito x fim da fração$

4) $bold italic c bold italic o bold italic s à potência de negrito 2 negrito espaço bold italic x igual a numerador 1 sobre denominador s e c ao quadrado x fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador 1 espaço mais espaço t g ao quadrado espaço x fim da fração$

5) $bold italic s bold italic e bold italic n à potência de negrito 2 bold italic x igual a numerador 1 espaço sobre denominador cos s e c ao quadrado x fim da fração igual a numerador t g ao quadrado x espaço sobre denominador 1 espaço mais espaço t g ao quadrado espaço x fim da fração espaço$

Exercícios de identidades trigonométricas resolvidos

Exercício 1

Demonstre que $parêntese esquerdo c o t g ao quadrado x mais 1 parêntese direito parêntese esquerdo 1 menos cos ao quadrado x parêntese direito igual a 1 espaço$ para $x não igual k reto pi$ .

Ver Resposta

$abre parênteses numerador cos ao quadrado x sobre denominador s e n ao quadrado x fim da fração espaço mais espaço 1 fecha parênteses parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço cos ao quadrado x parêntese direito igual a 1 abre parênteses numerador cos ao quadrado x espaço mais s e n ao quadrado x sobre denominador s e n ao quadrado x fim da fração fecha parênteses s e n ao quadrado x igual a 1 abre parênteses numerador 1 sobre denominador s e n ao quadrado x fim da fração fecha parênteses s e n ao quadrado x igual a 1 numerador s e n ao quadrado x sobre denominador s e n ao quadrado x fim da fração igual a 1 1 igual a 1$

Exercício 2

Prove que $s e c espaço x espaço menos espaço cos espaço x espaço igual a espaço s e n espaço x espaço. espaço t g espaço x$ .

Ver Resposta

$numerador 1 sobre denominador cos espaço x fim da fração menos cos espaço x espaço igual a espaço s e n x espaço. espaço numerador s e n espaço x sobre denominador cos espaço x fim da fração numerador 1 menos espaço cos ao quadrado x sobre denominador cos espaço x fim da fração igual a numerador s e n ao quadrado espaço x sobre denominador cos espaço x fim da fração numerador s e n ao quadrado x sobre denominador cos espaço x fim da fração igual a numerador s e n ao quadrado espaço x sobre denominador cos espaço x fim da fração$

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.