Geometria Espacial

A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões.

De modo geral, a Geometria Espacial pode ser definida como o estudo da geometria no espaço.

Assim, tal qual a Geometria Plana, ela está pautada nos conceitos basilares e intuitivos que chamamos “conceitos primitivos” os quais possuem origem na Grécia Antiga e na Mesopotâmia (cerca de 1000 anos a.C.).

Pitágoras e Platão associavam o estudo da Geometria Espacial ao estudo da Metafísica e da religião; contudo, foi Euclides a se consagrar com sua obra “Elementos”, onde sintetizou os conhecimentos acerca do tema até os seus dias.

Entretanto, os estudos de Geometria Espacial permaneceram estanques até o fim da Idade Média, quando Leonardo Fibonacci (1170-1240) escreve a “Practica Geometriae”.

Séculos depois, Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria” (stereo: volume/metria: medida) o cálculo de volume, em 1615.

Para saber mais sobre a geometria leia: Geometria Plana.

Características da Geometria Espacial

A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e ocupam lugar no espaço. Por sua vez, esses objetos são conhecidos como "sólidos geométricos" ou "figuras geométricas espaciais". Conheça melhor alguns deles:

Dessa forma, a geometria espacial é capaz de determinar, por meio de cálculos matemáticos, o volume destes mesmos objetos, ou seja, o espaço ocupado por eles.

Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é determinado por alguns conceitos básicos, a saber:

  • Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma vez que todos sejam, em última análise, formados por inúmeros pontos. Por sua vez, os pontos são infinitos e não possuem dimensão mensurável (adimensional). Portanto, sua única propriedade garantida é sua localização.
  • Reta: composta por pontos, é infinita nos dois lados e determina a distância mais curta entre dois pontos determinados.
  • Linha: possui algumas semelhanças com a reta, pois é igualmente infinita para cada lado, contudo, têm a propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma.
  • Plano: é outra estrutura infinita que se estende em todas as direções.

Figuras Geométricas Espaciais

Segue abaixo algumas das figuras geométricas espaciais mais conhecidas:

Cubo

Geometria Espacial

O cubo é um hexaedro regular composto de 6 faces quadrangulares, 12 arestas e 8 vértices sendo:

Área lateral: 4a2
Área total: 6a​2
Volume: a.a.a = a3

Dodecaedro

Geometria Espacial

O Dodecaedro é um poliedro regular composto de 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices sendo:

Área Total: 3√25+10√5a2
Volume: 1/4 (15+7√5) a3

Tetraedro

Geometria Espacial

O Tetraedro é um poliedro regular composto de 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices sendo:

Área total: 4a2√3/4
Volume: 1/3 Ab.h

Octaedro

Geometria Espacial

O Octaedro é um poliedro regular de 8 faces formada por triângulos equiláteros, 12 arestas e 6 vértices sendo:

Área total: 2a2√3
Volume: 1/3 a3√2

Icosaedro

Geometria Espacial

O Icosaedro é um poliedro convexo composto de 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 vértices sendo:

Área total: 5√3a2
Volume: 5/12 (3+√5) a3

Prisma

Geometria Espacial

O Prisma é um poliedro composto de duas faces paralelas que formam a base, que por sua vez, podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal.

Além das faces o prima é composto de altura, lados, vértices e arestas unidos por paralelogramos. De acordo com sua inclinação, os prismas podem ser retos, aqueles em que a aresta e a base fazem um ângulo de 90º ou os oblíquos compostos de ângulos diferentes de 90º.

Área da Face: a.h
Área Lateral: 6.a.h
Área da base: 3.a3√3/2
Volume: Ab.h

Onde:
Ab: Área da base
h: altura

Veja também o artigo: Volume do Prisma.

Pirâmide

Geometria Espacial

A pirâmide é um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo), um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares.

Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. Quanto à sua inclinação podem ser classificadas em retas (ângulo de 90º) ou oblíquas (ângulos diferentes de 90º).

Área total: Al + Ab
Volume: 1/3 Ab.h

Onde:

Al: Área lateral
Ab: Área da base
h: altura

Curiosidades

  • A palavra "geometria" vem do grego e corresponde a união dos termos "geo" de terra e "metria" de medida, que significa "medir terra."
  • Os cálculos mais comuns em Geometria espacial são para determinar o comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas.
  • Outras figuras geométricas espaciais: cilindro, cone, esfera.
  • Os "Sólidos Platônicos" são poliedros convexos conhecidos desde a antiguidade clássica. Os cinco "sólidos platônicos" são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.