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A Esfera na Geometria Espacial

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos estudos de geometria espacial.

A esfera é um sólido geométrico de revolução formado pela rotação de um semicírculo em torno de seu eixo, que contém o diâmetro.

Ela é composta por uma superfície fechada e pelos pontos interiores, todos situados a uma distância igual ou menor que o raio em relação ao centro.

A Esfera na Geometria Espacial

Elementos da Esfera

Raio: segmento de reta que liga o centro a um ponto qualquer na superfície.
Diâmetro: Segmento de reta que passa pelo centro, ligando dois pontos na superfície.
Superfície Esférica: corresponde ao conjunto de pontos do espaço onde a distância do centro (O) é equivalente ao raio (R).
Fuso Esférico: é a parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semicircunferência em um ângulo em torno do eixo que contém o diâmetro.

Cunha Esférica: é um sólido, parte do volume da esfera obtido ao girar um semicírculo em torno do eixo que contém o diâmetro.

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Calota Esférica: corresponde a parte da esfera (semiesfera) cortada por um plano.

Fórmula da área da esfera

Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a fórmula:

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$começar estilo tamanho matemático 20px reto A igual a 4. reto pi. reto r ao quadrado fim do estilo$

Onde:

A é a área da esfera;
$pi$ (Pi) é aproximadamente, 3,1415;
r é o raio.

Exemplo de cálculo da área da esfera:

Calcule a área de uma bola de futebol que tem um raio de 11 centímetros.

Resolução:

Identificar os dados: Raio (r) = 11 cm.

Aplicar a fórmula:

$reto A espaço igual a espaço 4 reto pi reto r ² espaço reto A espaço igual a espaço 4 espaço. espaço 3 vírgula 14 espaço. espaço 11 ² espaço reto A espaço igual a espaço 4 espaço. espaço 3 vírgula 14 espaço. espaço 121$

Realizar os cálculos:

$reto A igual a 1519 vírgula 76 espaço cm ao quadrado$

Resposta:

A área da superfície da bola de futebol é aproximadamente 1519,76 centímetros quadrados.

Fórmula do volume da esfera

Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a fórmula:

$começar estilo tamanho matemático 20px reto V igual a numerador 4. reto pi. reto r ao cubo sobre denominador 3 fim da fração fim do estilo$

Onde:

V é o volume da esfera;
$pi$ (Pi) é aproximadamente, 3,1415;
r é o raio.

Exemplo de cálculo do volume da esfera:

Calcule o volume da mesma bola de futebol que tem um raio de 11 centímetros.

Resolução:

Identificar os dados:Raio (r) = 11 cm.

Aplicar a fórmula:

$reto V igual a 4 sobre 3 reto pi reto r ao cubo espaço espaço reto V igual a 4 sobre 3. espaço 3 vírgula 14 espaço. espaço 11 ao cubo espaço reto V quase igual 5572 vírgula 45 espaço cm ao cubo$

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Resposta:

O volume da bola de futebol é aproximadamente 5575,28 centímetros cúbicos.

Aprenda mais sobre volume da esfera.

Exercícios sobre a esfera

Exercício 1

Qual a área da esfera de raio √3 m?

Ver Resposta

Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a expressão:

$reto A igual a 4. reto pi. reto r ao quadrado reto A igual a espaço 4. reto pi. espaço parêntese esquerdo raiz quadrada de 3 parêntese direito ao quadrado espaço espaço reto A igual a espaço 4. reto pi. espaço 3 reto A igual a espaço 12 reto pi espaço reto m ao quadrado$

Logo, a área da esfera de raio √3 m, é de 12 п. Caso queira substituir п por um valor aproximado, teremos:

$reto A espaço igual a espaço 12 espaço. espaço 3 vírgula 1415 espaço igual a espaço 37 vírgula 698 espaço reto m ao quadrado reto A espaço aproximadamente igual espaço 37 vírgula 70 espaço reto m ao quadrado$

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Exercício 2

Qual o volume da esfera de raio 3 cm?

Ver Resposta

Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a expressão:

$reto V espaço igual a espaço numerador 4 espaço. reto pi espaço. espaço reto r ao cubo espaço sobre denominador 3 fim da fração reto V espaço igual a espaço numerador 4 espaço. reto pi espaço. espaço 3 ao cubo espaço sobre denominador 3 fim da fração reto V espaço igual a numerador 4 espaço. reto pi espaço. espaço 27 espaço sobre denominador 3 fim da fração espaço reto V espaço igual a 36 reto pi espaço reto m ao quadrado$

Substituindo $pi$ por um valor aproximado:

$reto V espaço igual a espaço 36 espaço. espaço 3 vírgula 1415 espaço igual a 113 vírgula 094 espaço reto m ao cubo espaço reto V espaço aproximadamente igual 113 vírgula 09 espaço reto m ao cubo$

Para praticar mais: Exercícios sobre volume da esfera (com gabarito resolvido)

Para saber mais, leia também:

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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