Teorema de Pitágoras

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto.

É usado para determinar a medida desconhecida de um lado, uma vez conhecidas as medidas dos outros dois lados.

O enunciado desse teorema é:

“A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.”

Em forma de equação, a fórmula do Teorema de Pitágoras é:

Sendo,

a: hipotenusa
b: cateto
c: cateto

Como usar o Teorema de Pitágoras

Veja a seguir exemplos do uso do teorema de Pitágoras para determinar uma medida desconhecida do triângulo.

Exemplo 1: como calcular a medida da hipotenusa?

Se um triângulo retângulo apresenta 3 cm e 4 cm como medidas dos catetos, qual a hipotenusa desse triângulo?

Portanto, a hipotenusa mede 5 cm.

Exemplo 2: como calcular a medida de um dos catetos?

Determine a medida de um cateto que faz parte de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é 20 cm e o outro cateto mede 16 cm.

Portanto, as medidas dos catetos do triângulo são 12 cm e 16 cm.

Exemplo 3: como comprovar se um triângulo é retângulo?

Um triângulo apresenta os lados com medidas 5 cm, 12 cm e 13 cm. Como saber se é um triângulo retângulo?

Para provar que um triângulo retângulo é verdadeiro as medidas dos seus lados devem obedecer ao Teorema de Pitágoras.

Como as medidas dadas satisfazem o teorema de Pitágoras, ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos, então podemos dizer que o triângulo é retângulo.

Exercícios comentados sobre o Teorema de Pitágoras

Questão 1

(PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Alternativa correta: b) 4.

Questão 2

(Enem)

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,9m
b) 2,1m
c) 2,0m
d) 1,8m
e) 2,2m

Questão 3

(UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:

Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa.”

(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)

A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte

a) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”
b) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”

Triângulo Pitagórico

Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o triângulo é chamado de triângulo pitagórico.

Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a² = b² + c².

O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3.

Observe que a área dos quadrados desenhados em cada lado do triângulo relacionam-se tal como o teorema de Pitágoras: a área do quadrado no lado maior corresponde à soma das áreas dos outros dois quadrados.

É interessante notar que, os múltiplos desses números também formam um terno pitagórico. Por exemplo, se multiplicarmos por 3 o trio 3, 4 e 5, obtemos os números 9, 12 e 15 que também formam um terno pitagórico.

Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade de outros ternos. Como exemplo, podemos citar:

• 5, 12 e 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 e 29
• 12, 35 e 37

Veja mais sobre triângulo retângulo.

Quem foi Pitágoras?

Segundo a história Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego que fundou a Escola Pitagórica, localizada no sul da Itália. Também chamada de Sociedade Pitagórica, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música.

Embora as relações métricas do triângulo retângulo já fossem conhecidas pelos babilônicos, que viveram muito antes de Pitágoras, acredita-se que a primeira demonstração que esse teorema se aplicava a qualquer triângulo retângulo tenha sido feita por Pitágoras.

O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos, importantes e utilizados na matemática. Ele é imprescindível na resolução de problemas da geometria analítica, geometria plana, geometria espacial e trigonometria.

Além do teorema, outras importantes contribuições da Sociedade Pitagórica para a Matemática foram:

• Descoberta dos números irracionais;
• Propriedades dos números inteiros;
• MMC e MDC.

Demonstrações do Teorema de Pitágoras

Existem diversas formas de provar o teorema de Pitágoras. Por exemplo, o livro The Pythagorean Proposition, publicado em 1927, apresentava 230 formas de demonstrá-lo e outra edição, lançada em 1940, aumentou para 370 demonstrações.

Assista o vídeo a seguir e confira algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras.

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.