Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto.
É usado para determinar a medida desconhecida de um lado, uma vez conhecidas as medidas dos outros dois lados.
O enunciado desse teorema é:
“A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.”
Em forma de equação, a fórmula do Teorema de Pitágoras é:
Sendo,
a: hipotenusa
b: cateto
c: cateto

Como usar o Teorema de Pitágoras
Veja a seguir exemplos do uso do teorema de Pitágoras para determinar uma medida desconhecida do triângulo.
Exemplo 1: como calcular a medida da hipotenusa?
Se um triângulo retângulo apresenta 3 cm e 4 cm como medidas dos catetos, qual a hipotenusa desse triângulo?
Portanto, a hipotenusa mede 5 cm.
Exemplo 2: como calcular a medida de um dos catetos?
Determine a medida de um cateto que faz parte de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é 20 cm e o outro cateto mede 16 cm.
Portanto, as medidas dos catetos do triângulo são 12 cm e 16 cm.
Exemplo 3: como comprovar se um triângulo é retângulo?
Um triângulo apresenta os lados com medidas 5 cm, 12 cm e 13 cm. Como saber se é um triângulo retângulo?
Para provar que um triângulo retângulo é verdadeiro as medidas dos seus lados devem obedecer ao Teorema de Pitágoras.
Como as medidas dadas satisfazem o teorema de Pitágoras, ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos, então podemos dizer que o triângulo é retângulo.
Exercícios comentados sobre o Teorema de Pitágoras
Questão 1
(PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Alternativa correta: b) 4.
Questão 2
(Enem)
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:
a) 1,9m
b) 2,1m
c) 2,0m
d) 1,8m
e) 2,2m
Questão 3
(UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa.”
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte
a) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”
b) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”
Triângulo Pitagórico
Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o triângulo é chamado de triângulo pitagórico.
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2.
O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3.
Observe que a área dos quadrados desenhados em cada lado do triângulo relacionam-se tal como o teorema de Pitágoras: a área do quadrado no lado maior corresponde à soma das áreas dos outros dois quadrados.
É interessante notar que, os múltiplos desses números também formam um terno pitagórico. Por exemplo, se multiplicarmos por 3 o trio 3, 4 e 5, obtemos os números 9, 12 e 15 que também formam um terno pitagórico.
Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade de outros ternos. Como exemplo, podemos citar:
- 5, 12 e 13
- 7, 24, 25
- 20, 21 e 29
- 12, 35 e 37
Veja mais sobre triângulo retângulo.
Quem foi Pitágoras?
Segundo a história Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego que fundou a Escola Pitagórica, localizada no sul da Itália. Também chamada de Sociedade Pitagórica, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música.
Embora as relações métricas do triângulo retângulo já fossem conhecidas pelos babilônicos, que viveram muito antes de Pitágoras, acredita-se que a primeira demonstração que esse teorema se aplicava a qualquer triângulo retângulo tenha sido feita por Pitágoras.
O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos, importantes e utilizados na matemática. Ele é imprescindível na resolução de problemas da geometria analítica, geometria plana, geometria espacial e trigonometria.
Além do teorema, outras importantes contribuições da Sociedade Pitagórica para a Matemática foram:
- Descoberta dos números irracionais;
- Propriedades dos números inteiros;
- MMC e MDC.
Demonstrações do Teorema de Pitágoras
Existem diversas formas de provar o teorema de Pitágoras. Por exemplo, o livro The Pythagorean Proposition, publicado em 1927, apresentava 230 formas de demonstrá-lo e outra edição, lançada em 1940, aumentou para 370 demonstrações.
Assista o vídeo a seguir e confira algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras.
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ASTH, Rafael. Teorema de Pitágoras. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/. Acesso em: