Teorema de Pitágoras

Rosimar Gouveia

O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto.

O enunciado desse teorema é:

"A soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa."

Fórmula do teorema de Pitágoras

Segundo o enunciado do Teorema de Pitágoras, a fórmula é representada da seguinte maneira:

a2 = b2 + c2

Sendo,

a: hipotenusa
b: cateto
c: cateto

Triângulo Retângulo

A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e o lado oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados são os catetos. O ângulo formado por esses dois lados tem medida igual a 90º (ângulo reto).

Identificamos ainda os catetos, de acordo com um ângulo de referência. Ou seja, o cateto poderá ser chamado de cateto adjacente ou cateto oposto.

Quando o cateto está junto ao ângulo de referência, é chamado de adjacente, por outro lado, se está contrário a este ângulo, é chamado de oposto.

Hipotenusa e cateto oposto

Veja a seguir três exemplos de aplicações do teorema de Pitágoras para as relações métricas de um triângulo retângulo.

Exemplo 1: calcular a medida da hipotenusa

Se um triângulo retângulo apresenta 3 cm e 4 cm como medidas dos catetos, qual a hipotenusa desse triângulo?

reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais reto c ao quadrado reto a ao quadrado espaço igual a espaço 4 ao quadrado espaço mais espaço 3 ao quadrado reto a ao quadrado espaço igual a 16 espaço mais espaço 9 reto a ao quadrado espaço igual a 25 reto a espaço igual a espaço raiz quadrada de 25 reto a espaço igual a espaço 5

Portanto, os lados do triângulo retângulo são 3 cm, 4 cm e 5 cm.

Exemplo 2: calcular a medida de um dos catetos

Determine a medida de um cateto que faz parte de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é 20 cm e o outro cateto mede 16 cm.

reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais reto c ao quadrado espaço seta dupla para a direita reto b ao quadrado espaço igual a espaço reto a ao quadrado espaço menos espaço reto c ao quadrado reto b ao quadrado espaço igual a espaço 20 ao quadrado espaço menos espaço 16 ao quadrado reto b ao quadrado espaço igual a espaço 400 espaço menos espaço 256 reto b ao quadrado espaço igual a 144 reto b espaço igual a espaço raiz quadrada de 144 reto b espaço igual a espaço 12

Portanto, as medidas dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm.

Exemplo 3: comprovar se um triângulo é retângulo

Um triângulo apresenta os lados com medidas 5 cm, 12 cm e 13 cm. Como saber se é um triângulo retângulo?

Para provar que um triângulo retângulo é verdadeiro as medidas dos seus lados devem obedecer ao Teorema de Pitágoras.

reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais espaço reto c ao quadrado 13 ao quadrado espaço igual a espaço 12 ao quadrado espaço mais espaço 5 ao quadrado 169 espaço igual a espaço 144 espaço mais espaço 25 169 espaço igual a 169

Como as medidas dadas satisfazem o teorema de Pitágoras, ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos, então podemos dizer que o triângulo é retângulo.

Leia também: Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Triângulo Pitagórico

Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o triângulo é chamado de triângulo pitagórico.

Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2.

O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3.

Triângulo pitagórico

Observe que a área dos quadrados desenhados em cada lado do triângulo relacionam-se tal como o teorema de Pitágoras: a área do quadrado no lado maior corresponde à soma das áreas dos outros dois quadrados.

É interessante notar que, os múltiplos desses números também formam um terno pitagórico. Por exemplo, se multiplicarmos por 3 o trio 3, 4 e 5, obtemos os números 9, 12 e 15 que também formam um terno pitagórico.

Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade de outros ternos. Como exemplo, podemos citar:

  • 5, 12 e 13
  • 7, 24, 25
  • 20, 21 e 29
  • 12, 35 e 37

Leia também: Trigonometria no Triângulo Retângulo

Quem foi Pitágoras?

Segundo a história Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego que fundou a Escola Pitagórica, localizada no sul da Itália. Também chamada de Sociedade Pitagórica, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música.

Embora as relações métricas do triângulo retângulo já fossem conhecidas pelos babilônicos, que viveram muito antes de Pitágoras, acredita-se que a primeira demonstração que esse teorema se aplicava a qualquer triângulo retângulo tenha sido feita por Pitágoras.

O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos, importantes e utilizados na matemática. Ele é imprescindível na resolução de problemas da geometria analítica, geometria plana, geometria espacial e trigonometria.

Além do teorema, outras importantes contribuições da Sociedade Pitagórica para a Matemática foram:

  • Descoberta dos números irracionais;
  • Propriedades dos números inteiros;
  • MMC e MDC.

Leia também: Fórmulas de Matemática

Demonstrações do Teorema de Pitágoras

Existem diversas formas de provar o teorema de Pitágoras. Por exemplo, o livro The Pythagorean Proposition, publicado em 1927, apresentava 230 formas de demonstrá-lo e uma outra edição, lançada em 1940, aumentou para 370 demonstrações.

Assista o vídeo a seguir e confira algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras.

Exercícios comentados sobre o Teorema de Pitágoras

Questão 1

(PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Alternativa correta: b) 4.

Pela informação do enunciado, sabemos que a2 + b2 + c2 = 32. Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras temos que a2 = b2 + c2 .

Substituindo o valor de b2+c2 por a2 na primeira expressão, encontramos:

a2 + a2 =32 ⇒ 2 . a2 = 32 ⇒ a2 = 32/2 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = √16
a= 4

Para mais questões, veja: Teorema de Pitágoras - Exercícios

Questão 2

(Enem)

exercício Enem

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,9m
b) 2,1m
c) 2,0m
d) 1,8m
e) 2,2m

Alternativa correta: b) 2,1m.

O comprimento total do corrimão será igual a soma dos dois trechos de comprimento igual a 30 cm com o trecho que não conhecemos a medida.

Observamos pela figura, que o trecho desconhecido representa a hipotenusa de um triângulo retângulo, cuja medida de um dos cateto é igual a 90 cm.

Para encontrar a medida do outro cateto, devemos somar o comprimento dos 5 degraus. Sendo assim, temos que b = 5 . 24 = 120 cm.

Para calcular a hipotenusa, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para esse triângulo.

a2 = 902 + 1202 ⇒ a2 = 8100 + 14 400 ⇒ a2 = 22 500 ⇒ a = √22 500 = 150 cm

Note que poderíamos ter usado a ideia dos ternos pitagóricos para calcular a hipotenusa, visto que os catetos (90 e 120) são múltiplos do terno 3, 4 e 5 (multiplicando todos os termos por 30).

Desta forma, a medida total do corrimão será:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

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Questão 3

(UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:

Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa
.”

(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)

A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte

a) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”
b) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”

Alternativa d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”

Saiba mais sobre o tema:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.