Teorema de Pitágoras


O Teorema de Pitágoras está relacionado com o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto.

O enunciado desse teorema é: "a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa."

Fórmula

Segundo o enunciado do Teorema de Pitágoras, a fórmula é representada da seguinte maneira:

a2 = b2 + c2

Sendo,

a: hipotenusa
b: cateto
c: cateto

Triângulo Retângulo

A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e o lado oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados são os catetos. O ângulo formado por esses dois lados tem medida igual a 90º (ângulo reto).

Identificamos ainda os catetos, de acordo com um ângulo de referência. Ou seja, o cateto poderá ser chamado de cateto adjacente ou cateto oposto.

Quando o cateto está junto ao ângulo de referência, é chamado de adjacente, por outro lado, se está contrário a este ângulo, é chamado de oposto.

Hipotenusa e cateto oposto

Triângulo Pitagórico

Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o triângulo é chamado de triângulo pitagórico.

Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2.

O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3.

É interessante notar que, os múltiplos desses números também formam um terno pitagórico. Por exemplo, se multiplicarmos por 3 o trio 3, 4 e 5, obtemos os números 9, 12 e 15 que também formam um terno pitagórico.

Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade de outros ternos. Como exemplo, podemos citar:

  • 5, 12 e 13
  • 7, 24, 25
  • 20, 21 e 29
  • 12, 35 e 37

História

O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos, importantes e utilizados na matemática. Ele é imprescindível na resolução de problemas da geometria analítica, geometria plana, geometria espacial e trigonometria.

Pitágoras de Samos, (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego, que fundou a Escola Pitagórica. Também chamada de Sociedade Pitagórica, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música.

Acredita-se que a primeira demonstração do teorema tenha sido feita pelos integrantes dessa escola, os chamados Pitagóricos, por isso o nome dado a esse teorema.

Vídeo

Veja no vídeo abaixo, algumas demostrações do Teorema de Pitágoras.

Questões de Vestibular Resolvidas

1. (PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Pela informação do enunciado, sabemos que a2 + b2 + c2 = 32. Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras temos que a2 = b2 + c2 .

Substituindo o valor de b2+c2 por a2 na primeira expressão, encontramos:

a2 + a2 =32 ⇒ 2 . a2 = 32 ⇒ a2 = 32/2 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = √16
a= 4

Alternativa: b) 4

2. (Enem)

exercício Enem

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,9m
b) 2,1m
c) 2,0m
d) 1,8m
e) 2,2m

O comprimento total do corrimão será igual a soma dos dois trechos de comprimento igual a 30 cm com o trecho que não conhecemos a medida.

Observamos pela figura, que o trecho desconhecido representa a hipotenusa de um triângulo retângulo, cuja medida de um dos cateto é igual a 90 cm.

Para encontrar a medida do outro cateto, devemos somar o comprimento dos 5 degraus. Sendo assim, temos que b = 5 . 24 = 120 cm.

Para calcular a hipotenusa, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para esse triângulo.

a2 = 902 + 1202 ⇒ a2 = 8100 + 14 400 ⇒ a2 = 22 500 ⇒ a = √22 500 = 150 cm

Note que poderíamos ter usado a ideia dos ternos pitagóricos para calcular a hipotenusa, visto que os catetos (90 e 120) são múltiplos do terno 3, 4 e 5 (multiplicando todos os termos por 30).

Desta forma, a medida total do corrimão será:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Alternativa b) 2,1m

3. (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:

Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa
.”

(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)

A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte

a) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”
b) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”

Alternativa d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”

Saiba mais sobre o tema:

Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.