Teorema de Pitágoras - Exercícios


O teorema de Pitágoras indica que, em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Este teorema é um dos mais utilizados na Matemática e com frequência aparecem questões sobre ele ou que seja necessário para a resolução do problema.

Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse importante conteúdo.

Questões de Concurso Resolvidas

1) Cefet/MG - 2016

Uma pipa, cuja figura é mostrada a seguir, foi construída no formato do quadrilátero ABCD, sendo pilha A B com barra acima idêntico B C em moldura superior fecha moldura e A D em moldura superior fecha moldura idêntico C D em moldura superior fecha moldura. A vareta B D em moldura superior fecha moldura da pipa intercepta a vareta A C em moldura superior fecha moldura em seu ponto médio E, formando um ângulo reto. Na construção dessa pipa, as medidas de B C em moldura superior fecha moldura espaço e espaço B E em moldura superior fecha moldura usadas são, respectivamente, 25 cm e 20 cm, e a medida de A C em moldura superior fecha moldura equivale a 2 sobre 5 da medida de B D em moldura superior fecha moldura.

Questão Cefet-MG 2016 Pitágoras

Nessas condições, a medida de D E em moldura superior fecha moldura, em cm, é igual a
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Observando a figura da questão, percebemos que o segmento DE, o qual queremos encontrar, é igual ao segmento BD subtraindo-se o segmento BE.

Desta forma, como sabemos que o segmento BE é igual a 20 cm, então precisamos encontrar o valor do segmento BD.

Note que o problema nos oferece a seguinte informação:

pilha A C com barra acima igual a 2 sobre 5. pilha B D com barra acima

Então, para encontrar a medida de BD, precisamos conhecer o valor do segmento AC.

Como o ponto E divide o segmento em duas partes iguais (ponto médio), então pilha A C com barra acima igual a 2. pilha C E com barra acima. Portanto, o primeiro passo é encontrar a medida do segmento CE.

Para encontrar a medida de CE, identificamos que o triângulo BCE é retângulo, que BC é a hipotenusa e BE e CE são os catetos, conforme imagem abaixo:

Questão Cefet mg 2016 Teorema de Pitágoras

Iremos então, aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida do cateto.

252 = 202+x2
625 = 400 + x2
x2 = 625 - 400
x2 = 225
x = √225
x = 15 cm

Para encontrar o cateto, poderíamos ainda ter observado que o triângulo é pitagórico, ou seja, a medida dos seus lados são números múltiplos das medidas do triângulo 3, 4, 5.

Assim, ao multiplicarmos 4 por 5 temos o valor do cateto (20) e se multiplicarmos 5 por 5 temos a hipotenusa (25). Logo, o outro cateto só poderia ser 15 (5 . 3).

Agora que já encontramos o valor de CE, podemos encontrar as demais medidas:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2.15 = 30 cm

C E igual a 2 sobre 5 B D seta dupla para a direita 30 igual a 2 sobre 5. B D seta dupla para a direita B D igual a 150 sobre 2 igual a 75 espaço c m D E igual a B D menos B E seta dupla para a direita D E igual a 75 menos 20 seta dupla para a direita D E igual a 55 espaço c m

Alternativa: c) 55

2) IFRS - 2017

Considere um triângulo equilátero de lado 5√3 ܿ݉. Qual é a altura e a área deste triângulo, respectivamente?

a parêntese direito espaço 15 vírgula 2 espaço c m espaço e espaço 75 sobre 4 c m ao quadrado b parêntese direito espaço numerador 6 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração espaço c m espaço e espaço numerador 75 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração espaço c m ao quadrado c parêntese direito espaço 3 raiz quadrada de 5 espaço c m espaço e espaço 18 vírgula 75 raiz quadrada de 3 espaço c m ao quadrado d parêntese direito espaço 15 sobre 2 espaço c m espaço e espaço 37 vírgula 5 raiz quadrada de 3 c m ao quadrado e parêntese direito espaço 7 vírgula 5 espaço c m espaço e espaço numerador 75 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração c m ao quadrado

Primeiro, vamos desenhar o triângulo equilátero e traçar a altura, conforme imagem abaixo:

Questão IFRS 2017 Teorema de Pitágoras

Note que a altura divide a base em dois segmentos de mesma medida, pois o triângulo é equilátero. Observe ainda que o triângulo ACD da figura é um triângulo retângulo.

Desta forma, para encontrar a medida da altura, usaremos o teorema de Pitágoras:

parêntese esquerdo 5 raiz quadrada de 3 parêntese direito ao quadrado igual a h ao quadrado mais parêntese esquerdo numerador 5 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração parêntese direito ao quadrado h ao quadrado igual a 25.3 menos parêntese esquerdo numerador 25.3 sobre denominador 4 fim da fração parêntese direito h ao quadrado igual a 75 menos parêntese esquerdo 75 sobre 4 parêntese direito h ao quadrado igual a numerador 300 menos 75 sobre denominador 4 fim da fração h ao quadrado igual a 225 sobre 4 h igual a raiz quadrada de 225 sobre 4 fim da raiz h igual a 15 sobre 2 igual a 7 vírgula 5 espaço c m

Conhecendo a medida da altura, podemos encontrar a área através da fórmula:

A com incremento subscrito igual a 1 meio. b. h A com incremento subscrito igual a 1 meio.15 sobre 2.5 raiz quadrada de 3 A com incremento subscrito igual a numerador 75 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração espaço c m ao quadrado

Alternativa: e) 7,5 cm e 75√3/4 cm2

3) IFRS - 2016

Na figura abaixo, o valor de x e y, respectivamente, é

Questão Ifrs 2016 Teorema de Pitágoras

a parêntese direito espaço 4 raiz quadrada de 2 espaço e espaço raiz quadrada de 97 b parêntese direito espaço 2 raiz quadrada de 2 espaço e espaço 97 c parêntese direito espaço 2 raiz quadrada de 2 espaço e espaço 2 raiz quadrada de 27 d parêntese direito espaço 4 raiz quadrada de 2 espaço e espaço 2 raiz quadrada de 27 e parêntese direito espaço 4 raiz quadrada de 2 espaço e espaço 97

Para encontrar o valor do x, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo que possui catetos iguais a 4 cm.

x2 = 42 + 42
x2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

Para encontrar o valor de y, também usaremos o teorema de Pitágoras, agora considerando que um cateto mede 4 cm e o outro 9 cm (4 + 5 = 9).

y2 = 42 + 92
y2 = 16 + 81
y = √97 cm

Alternativa: a) 4√2 e √97

4) Aprendiz de Marinheiro - 2017

Observe a figura a seguir.

Questão Aprendiz de Marinheiro 2017 Teorema de Pitágoras

Na figura acima, tem-se um triângulo isósceles ACD, no qual o segmento AB mede 3 cm, o lado desigual AD mede 10√2 cm e os segmentos AC e CD são perpendiculares. Sendo assim, é correto afirmar que o segmento BD mede:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm

Considerando as informações apresentadas no problema, construímos a figura abaixo:

Questão Aprendiz de Marinheiro  2017 Teorema de Pitágoras

De acordo com a figura, identificamos que para encontrar o valor de x, será necessário encontrar a medida do lado que chamamos de a.

Como o triângulo ACD é retângulo, aplicaremos o teorema de Pitágoras para encontrar o valor do cateto a.

parêntese esquerdo 10 raiz quadrada de 2 parêntese direito ao quadrado igual a a ao quadrado mais a ao quadrado 100.2 igual a 2. a ao quadrado a ao quadrado igual a numerador 100. riscado diagonal para cima sobre 2 espaço fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 2 espaço fim do riscado fim da fração a igual a raiz quadrada de 100 a igual a 10 espaço c m

Agora que já conhecemos o valor do a, podemos encontrar o valor do x, considerando para isso o triângulo retângulo BCD.

Note que o cateto BC é igual a medida do cateto menos 3 cm, ou seja, 10 - 3 = 7 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras para esse triângulo, temos:

x ao quadrado igual a 10 ao quadrado mais 7 ao quadrado x ao quadrado igual a 100 mais 49 x igual a raiz quadrada de 149 c m

Alternativa: d) √149 cm

5) IFRJ - 2013

O pátio de esportes do Campus Arrozal de um Instituto Federal é retangular, com 100 m de comprimento e 50 m de largura, representado pelo retângulo ABCD desta figura.

Questão IFRJ 2013 Teorema de Pitágoras

Alberto e Bruno são dois alunos, que estão praticando esportes no pátio. Alberto caminha do ponto A ao ponto C pela diagonal do retângulo e volta ao ponto de partida pelo mesmo caminho. Bruno parte do ponto B, dá uma volta completa no pátio, andando pelas linhas laterais, e volta ao ponto de partida. Assim, considerando √5 = 2,24 , afirma-se que Bruno andou mais que Alberto

a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.

A diagonal do retângulo o divide em dois triângulos retângulos, sendo a hipotenusa igual a diagonal e os catetos iguais aos lados do retângulo.

Desta forma, para calcular a medida da diagonal, vamos aplicar o teorema de Pitágoras:

d ao quadrado igual a 100 ao quadrado mais 50 ao quadrado d ao quadrado igual a 10 espaço 000 mais 2 espaço 500 d ao quadrado igual a 12 espaço 500 d igual a raiz quadrada de 2 ao quadrado.5 à potência de 4.5 fim da raiz d igual a 2.5 ao quadrado raiz quadrada de 5 d igual a 50 raiz quadrada de 5 S u b s t i t u i n d o espaço raiz quadrada de 5 igual a 2 vírgula 24 vírgula espaço t e m o s dois pontos d igual a 50.2 vírgula 24 igual a 112 m

Considerando que Alberto foi e voltou, então ele percorreu 224 m.

Já Bruno percorreu uma distância igual ao perímetro do retângulo, ou seja:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Portanto, Bruno andou 76 m a mais que Alberto (300 - 112 = 76 m).

Alternativa: c) 76 m

6) Enem - 2017

Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão fixados os doces.

Questão Enem 2017 Teorema de Pitágoras

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a

a parêntese direito espaço 5 menos numerador raiz quadrada de 91 sobre denominador 2 fim da fração b parêntese direito espaço 10 menos raiz quadrada de 91 c parêntese direito espaço 1 d parêntese direito espaço 4 e parêntese direito espaço 5

Observando a figura apresentada na questão, identificamos que a altura h pode ser encontrada diminuindo-se a medida do segmento OA da medida do raio da esfera (R).

O raio da esfera (R) é igual a metade do seu diâmetro, que neste caso é igual a 5 cm (10 : 2 = 5).

Portanto, precisamos encontrar o valor do segmento OA. Para isso, iremos considerar o triângulo OAB representado na figura abaixo e aplicar o teorema de Pitágoras.

Questão ENEM  2017 Teorema de Pitágoras

52 = 32 + x2
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm

Poderíamos também encontrar o valor de x diretamente, observando que se trata do triângulo pitagórico 3,4 e 5.

Assim, o valor de h será igual a:

h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm

Alternativa: c) 1

7) Enem - 2016 (2ª aplicação)

A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a figura 2.

Questão Enem 2016 Teorema de Pitágoras

Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?

a parêntese direito espaço 1 b parêntese direito espaço numerador 2 raiz quadrada de 10 sobre denominador 5 fim da fração c parêntese direito espaço numerador raiz quadrada de 10 sobre denominador 2 fim da fração d parêntese direito espaço 2 e parêntese direito espaço raiz quadrada de 10

Para calcular o valor da distância d entre os pontos A e B, vamos construir uma figura unindo os centros das duas esferas, conforme mostrado abaixo:

Questão Enem 2016 teorema de Pitágoras

Note que a figura pontilhada em azul tem a forma de um trapézio. Vamos dividir esse trapézio, conforme figura abaixo:

Questão Enem 2016 teorema de Pitágoras

Ao dividir o trapézio, obtemos um retângulo e um triângulo retângulo. A hipotenusa do triângulo é igual a soma do raio da bocha com o raio do bolim, ou seja, 5 + 2 = 7 cm.

A medida de um dos catetos é igual a d e a medida do outro cateto é igual a medida do segmento CA, que é o raio da bocha, menos o raio do bolim (5 - 2 = 3).

Desta forma, podemos encontrar a medida de d, aplicando o teorema de Pitágoras a esse triângulo, ou seja:

72 = 32 - d2
d2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Portanto, a razão entre a distância d e o bolim será dada por:

d sobre r com b o l i m subscrito fim do subscrito igual a numerador 2 raiz quadrada de 10 sobre denominador 2 fim da fração igual a raiz quadrada de 10

Alternativa: e) √10

8) Enem - 2014

Diariamente, uma residência consome 20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo?

a) Retirar 16 células.
b) Retirar 40 células.
c) Acrescentar 5 células.
d) Acrescentar 20 células.
e) Acrescentar 40 células.

Primeiro, será necessário descobrir qual é a produção de energia de cada célula. Para isso, precisamos descobrir a medida da diagonal do retângulo.

A diagonal é igual a hipotenusa do triângulo de catetos iguais a 8 cm e 6 cm. Iremos então, calcular a diagonal aplicando o teorema de Pitágoras.

Entretanto, observamos que o triângulo em questão é pitagórico, sendo múltiplo do triângulo 3,4 e 5.

Desta forma, a medida da hipotenusa será igual a 10 cm, pois os lados do triângulo pitagórico 3,4 e 5 estão multiplicados por 2.

Agora que já conhecemos a medida da diagonal, podemos calcular a energia produzida pelas 100 células, ou seja:

E = 24 . 10 . 100 = 24 000 Wh

Como a energia consumida é igual a 20 160 Wh, teremos que reduzir o número de células. Para encontrar esse número iremos fazer:

24 000 - 20 160 = 3 840 Wh

Dividindo esse valor pela energia produzida por uma célula, encontramos o número que deverá ser reduzido, ou seja:

3 840 : 240 = 16 células

Alternativa: a) Retirar 16 células.

Para saber mais, veja também: