Teorema de Tales - Exercícios

Rosimar Gouveia

O teorema de Tales indica que quando um feixe de retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, formam segmentos proporcionais.

Uma importante aplicação do teorema de Tales é em semelhança de triângulos, empregado em muitas situações do cotidiano.

Aproveite a lista de exercícios resolvidos e comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse importante teorema da geometria.

Questões de Concurso Resolvidas

1) Cefet/MG - 2017

A figura a seguir é um esquema representativo de um eclipse lunar em que a Lua, a Terra e o Sol estão representados pelas circunferências de centros C1, C2 e C3, respectivamente, que se encontram alinhados. Considera-se que a distância entre os centros da Terra e do Sol é 400 vezes maior que a distância entre os centros da Terra e da Lua e que a distância do ponto T na superfície da Terra ao ponto S na superfície do Sol, como representados na figura, é de 150 milhões de quilômetros.

Questão cefet/mg 2017 teorema de tales

Sabendo-se que os segmentos de reta começar estilo tamanho matemático 14px C com 1 subscrito L em moldura superior fecha moldura vírgula espaço C com 2 subscrito T em moldura superior fecha moldura vírgula espaço C com 3 subscrito S em moldura superior fecha moldura fim do estilo são paralelos, a distância do ponto L, representado na superfície da Lua, ao ponto T, na superfície da Terra, é igual a

a) 375.000 Km.
b) 400.000 Km.
c) 37.500.000 Km.
d) 40.000.000 Km.

A situação pode ser representada conforme a figura abaixo:

Questão  cefet-mg 2017 Teorema de Tales

Como os segmentos de reta tamanho 14px C com tamanho 14px 1 subscrito tamanho 14px L em moldura superior fecha moldura tamanho 14px vírgula tamanho 14px espaço tamanho 14px C com tamanho 14px 2 subscrito tamanho 14px T em moldura superior fecha moldura tamanho 14px vírgula tamanho 14px espaço tamanho 14px C com tamanho 14px 3 subscrito tamanho 14px S em moldura superior fecha moldura são paralelos, pelo teorema de Tales temos a seguinte proporção:

Alternativa: a) 375.000 Km.

2) Epcar - 2018

Observe a figura a seguir:

Questão Epcar 2018 Teorema de Tales

Nela, as retas a, b, c e d são paralelas e são interceptadas pelas retas transversais r, s e t.

Assim, as medidas dos segmentos, em cm, são:

A B em moldura superior fecha moldura igual a y espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço B C em moldura superior fecha moldura igual a 9 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço C D em moldura superior fecha moldura igual a 10 D E em moldura superior fecha moldura igual a 4 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço F G em moldura superior fecha moldura igual a z espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço G H em moldura superior fecha moldura igual a m H D em moldura superior fecha moldura igual a 5 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço D I em moldura superior fecha moldura igual a 2 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço M N em moldura superior fecha moldura igual a 16 B N em moldura superior fecha moldura igual a 6 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço B P em moldura superior fecha moldura igual a x espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço

A soma começar estilo tamanho matemático 14px AB em moldura superior mais F H em moldura superior fecha moldura fim do estilo , em cm, é dada por um número divisível por

a) 3
b) 4
c) 7
d) 11

Observando a imagem, identificamos que:

A B em moldura superior fecha moldura mais F H em moldura superior fecha moldura igual a y mais z mais m

Para encontrar esses valores, vamos separar na figura os segmentos proporcionais e aplicar o teorema de Tales.

Iniciaremos calculando o valor de y. Para tal, assinalamos os valores conhecidos, conforme indicado abaixo:

Questão Epcar 2018 teorema de tales

Observando a figura, notamos que:

B M em moldura superior fecha moldura igual a M N em moldura superior fecha moldura menos B N em moldura superior fecha moldura B M em moldura superior fecha moldura igual a 16 menos 6 igual a 10 espaço c m

Aplicando o teorema de Tales:

y sobre 9 igual a 10 sobre 6 y igual a numerador 9.10 sobre denominador 6 fim da fração igual a 15 espaço c m

Para encontrar o valor de m, vamos utilizar a seguinte proporção:

Questão Epcar 2018 teorema de tales

5 sobre 10 igual a m sobre 9 m igual a numerador 9.5 sobre denominador 10 fim da fração m igual a 9 sobre 2 c m

Agora que conhecemos o valor do m, podemos encontrar o valor de z usando a seguinte proporção:

Questão Epcar 2018 teorema de tales

6 sobre 10 igual a numerador começar estilo mostrar 9 sobre 2 fim do estilo sobre denominador z fim da fração z igual a numerador começar estilo mostrar 90 sobre 2 fim do estilo sobre denominador 6 fim da fração z igual a 45 sobre 6 seta dupla para a direita z igual a 15 sobre 2

Somando os valores encontrados, temos:

y mais m mais z igual a 15 mais 9 sobre 2 mais 15 sobre 2 y mais m mais z igual a numerador 30 mais 9 mais 15 sobre denominador 2 fim da fração y mais m mais z igual a 54 sobre 2 y mais m mais z igual a 27

27 é um número divisível por 3, pois 3.9 = 27.

Alternativa: a) 3

3) Cefet/MG - 2014

Considere a figura em que r itálico paralelo s itálico paralelo t

Questão Cefet-MG 2014 Teorema de Tales

O valor de x é

a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.

Para encontrar o valor do x, iremos aplicar o teorema de Tales. O cálculo será feito utilizando a seguinte proporção:

numerador x sobre denominador x mais 6 fim da fração igual a numerador x mais 2 sobre denominador 2 x mais 7 fim da fração parêntese esquerdo 2 x mais 7 parêntese direito. x igual a parêntese esquerdo x mais 2 parêntese direito. parêntese esquerdo x mais 6 parêntese direito 2 x ao quadrado mais 7 x igual a x ao quadrado mais 6 x mais 2 x mais 12 2 x ao quadrado menos x ao quadrado mais 7 x menos 8 x menos 12 igual a 0 x ao quadrado menos x menos 12 igual a 0 incremento igual a 1 menos 4. parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito.1 incremento igual a 1 mais 48 incremento igual a 49 x com 1 subscrito igual a numerador 1 mais 7 sobre denominador 2 fim da fração igual a 4 x com 2 subscrito igual a numerador 1 menos 7 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 3 espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo d e s p r e z a m o s espaço e s t e espaço v a l o r vírgula espaço p o r espaço s e r espaço u m a espaço m e d i d a espaço d e espaço s e g m e n t o parêntese direito

Alternativa: b) 4

4) Colégio Pedro II - 2012

Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura.

Questão Colégio Pedro II Teorema de Tales

Considere que

  • os pontos A, B, C e D estão alinhados;
  • os pontos H, G, F e E estão alinhados;
  • os segmentos A H em moldura superior fecha moldura vírgula espaço B G em moldura superior fecha moldura vírgula espaço C F em moldura superior fecha moldura espaço e espaço D E em moldura superior fecha moldurasão, dois a dois, paralelos entre si;
  • AB = 500 m, BC = 600 m, CD = 700 m e HE = 1980 m.

Nessas condições, a medida do segmento G F em moldura superior fecha moldura é, em metros,

a) 665.
b) 660.
c) 655.
d) 650.
e) 645.

Os segmentos indicados são dois a dois paralelos entre si, então, pelo teorema de Tales, sabemos que formam um proporção.

Como o valor informado foi do segmento H E em moldura superior fecha moldura, que é a soma dos segmentos H G em moldura superior fecha moldura vírgula espaço G F em moldura superior fecha moldura espaço e espaço F E em moldura superior fecha moldura, utilizaremos também a soma dos segmentos A B em moldura superior fecha moldura vírgula espaço B C em moldura superior fecha moldura espaço e espaço C D (500 + 600 + 700 = 1800 m).

Assim, temos a seguinte proporção:

1800 sobre 1980 igual a numerador 600 sobre denominador G F fim da fração G F igual a numerador 1980.600 sobre denominador 1800 fim da fração G F igual a 660 espaço m

Alternativa: b) 660

5) Enem - 2009

A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é

a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.

Podemos representar a situação proposta no problema conforme a figura abaixo:

Questão Enem 2009 teorema de tales

Note que as duas alturas indicadas formam um ângulo de 90º com o solo, desta forma, essas duas retas são paralelas.

Considerando o solo e a rampa duas retas transversais a essas retas paralelas, podemos aplicar o teorema de Tales.

Para isso, usaremos a seguinte proporção:

numerador 3 vírgula 2 sobre denominador 0 vírgula 8 fim da fração igual a numerador y sobre denominador 2 vírgula 2 fim da fração 0 vírgula 8 y igual a 3 vírgula 2.2 vírgula 2 0 vírgula 8 y igual a 7 vírgula 04 y igual a numerador 7 vírgula 08 sobre denominador 0 vírgula 8 fim da fração y igual a 8 vírgula 8 espaço m

Como queremos descobrir quanto ainda falta para a pessoa caminhar, devemos fazer:

x = 8,8 - 3,2
x = 5,6 m

Alternativa: d) 5,6 metros

6) PUC/Campinas - 2007

Na figura a seguir, as retas r, s e t são paralelas entre si

Questão puc-campinas 2007 teorema de tales

Se AC = x, BC = 8, DE = 15, EF = x - 10, GI = y e HI = 10, então x + y é um número

a) maior que 47
b) entre 41 e 46
c) menor que 43
d) quadrado perfeito
e) cubo perfeito

Primeiro, vamos encontrar o valor do x usando os seguintes segmentos:

Questão puc-campinas 2007 teorema de tales

Pela figura, identificamos que o segmento AB é igual a x - 8, desta forma, aplicando o teorema de Tales, temos a seguinte proporção:

numerador parêntese esquerdo x menos 8 parêntese direito sobre denominador 8 fim da fração igual a numerador 15 sobre denominador parêntese esquerdo x menos 10 parêntese direito fim da fração parêntese esquerdo x menos 8 parêntese direito. parêntese esquerdo x menos 10 parêntese direito igual a 15.8 x ao quadrado menos 10 x menos 8 x mais 80 igual a 120 x ao quadrado menos 18 x menos 40 igual a 0 incremento igual a 324 mais 160 incremento igual a 484 x com 1 subscrito igual a numerador 18 mais 22 sobre denominador 2 fim da fração igual a 40 sobre 2 igual a 20 x com 2 subscrito igual a numerador 18 menos 22 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2

Como o valor do x representa a medida de um segmento, vamos desconsiderar o valor negativo.

Podemos agora calcular o valor do y. Substituindo o valor encontrado para x, temos a seguinte figura:

Questão puc-campinas 2007 teorema de tales

20 sobre 8 igual a y sobre 10 200 sobre 8 igual a y y igual a 25

Assim, a soma de x e y será igual a:

x + y = 20 + 25 = 45

Portanto, a resposta é um número entre 43 e 46.

Alternativa: b) entre 41 e 46

7) Cefet/PR - 2006

O jardineiro Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas à base.

Questão cefet-PR 2006 Teorema de Tales

Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente:

a) 30 cm e 50 cm.
b) 28 cm e 56 cm.
c) 50 cm e 30 cm.
d) 56 cm e 28 cm.
e) 40 cm e 20 cm.

Sendo todas as divisões paralelas, os segmentos formados são proporcionais, então, usaremos as seguintes proporções:

x sobre 20 igual a 35 sobre 25 x igual a numerador 35.20 sobre denominador 25 fim da fração x igual a 28 espaço c m  y sobre 40 igual a 35 sobre 25 y igual a numerador 35.40 sobre denominador 25 fim da fração y igual a 56 espaço c m

Alternativa: b) 28 cm e 56 cm.

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.