Semelhança de Triângulos


Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente congruentes (mesma medida) e os lados correspondentes proporcionais. Usamos o símbolo ~ para indicar que dois triângulos são semelhantes.

Para saber quais são os lados proporcionais, primeiro devemos identificar os ângulos de mesma medida. Os lados homólogos (correspondentes) serão os lados opostos a esses ângulos.

Razão de Proporcionalidade

Como nos triângulos semelhantes os lados homólogos são proporcionais, o resultado da divisão desses lados será um valor constante. Esse valor é chamado de razão de proporcionalidade.

Considere os triângulos ABC e EFG semelhantes, representados na figura abaixo:

Triângulos semelhantes

Os lados a e e, b e g, c e f são homólogos, sendo assim, temos as seguintes proporções:

a sobre e igual a b sobre g igual a c sobre f igual a k

Onde k é a razão de proporcionalidade.

Leia também sobre Razão e Proporção.

Casos de Semelhança

Para identificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar alguns elementos.

1º Caso: Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois do outro. Critério AA (Ângulo, Ângulo).

2º Caso: Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um são proporcionais aos três lados do outro. Critério LLL (Lado, Lado, Lado).

3º Caso: Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. Critério LAL (Lado, Ângulo, Lado).

Teorema Fundamental da semelhança

Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, forma um triângulo que é semelhante ao primeiro.

Na figura abaixo, representamos o triângulo ABC e a reta r paralela ao lado pilha B C com barra acima.

Semelhança de triângulos

Observando a figura, notamos que os ângulos pilha B espaço com conjunção lógica acima e espaço D com conjunção lógica sobrescrito espaçosão congruentes, assim como os ângulos C com conjunção lógica sobrescrito espaço e espaço E com conjunção lógica sobrescrito, pois a reta r é paralela ao lado B C em moldura superior fecha moldura. Assim, pelo critério AA, os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

Leia também sobre Teorema de Tales.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Os triângulos que possuem um ângulo igual a 90º são chamados de triângulos retângulos. O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

No triângulo representado abaixo, o lado a é a hipotenusa e b e c são os catetos.

Semelhança de triângulos

Ao traçar a altura relativa à hipotenusa, dividimos o triângulo retângulo em dois outros triângulos retângulos. Conforme figura abaixo:

Semelhança de triângulos

Observando os medidas dos ângulos desses três triângulos, percebemos que eles são semelhantes, ou seja:

A B C semelhante A B H semelhante A H C.

Usando as proporções entre os lados, determinamos as seguintes relações:

relações métricas

Essas relações são muito importantes e são chamadas de relações métricas no triângulo retângulo.

Para saber mais sobre triângulos, leia também:

Congruência de Triângulos

Triângulos semelhantes não são triângulos iguais. Os triângulos são considerados congruentes (iguais) quando coincidem ao serem sobrepostos.

Casos de congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes quando for verificado um dos seguintes casos:

1º caso: Os três lados são respectivamente congruentes.

2º caso: Dois lados congruentes (mesma medida) e o ângulo formado por eles também congruente.

3º caso: dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente.

Exercícios

1) Dados os triângulos abaixo, responda:

Semelhança de Triângulos

a) Eles são semelhantes? Justifique a resposta.
b) Qual é o ângulo que não aparece nas figuras?

a) São semelhantes porque têm dois ângulos iguais.

b) A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º. Logo:

72º + 35º = 107º
180º - 107º = 73º
Resposta: O ângulo é 73º

2) Enem-2013

O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Semelhança de Triângulos

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 √6 m

Alternativa c: 2,4 m