Relações Métricas no Triângulo Retângulo


As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).

Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:

Elementos de um triângulo retângulo

Sendo:

a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa

Semelhança e relações métricas

Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:


Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (incremento A B C semelhante incremento H B A), temos as seguintes proporções:

a sobre c igual a b sobre h espaço seta dupla para a direita a. h igual a b. c

a sobre c igual a c sobre m seta dupla para a direita c ao quadrado igual a a. m

Usando que incremento A B C semelhante incremento H A C encontramos a proporção:

a sobre b igual a b sobre n seta dupla para a direita b ao quadrado igual a a. n

Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:

h sobre n igual a m sobre h seta dupla para a direita h ao quadrado igual a m. n

Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:

a igual a m mais n

Teorema de Pitágoras

A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente.

Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo:

b ao quadrado espaço mais espaço c ao quadrado igual a a. n espaço mais a. m b ao quadrado espaço mais espaço c ao quadrado igual a a. espaço parêntese esquerdo n espaço mais m parêntese direito

Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:

a ao quadrado igual a b ao quadrado mais c ao quadrado

Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:

A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Exemplos

1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:

Exemplo relações métricas

Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y.
Usando a relação: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12

Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n, assim:
x2 = 12 . 3 = 36
x igual a raiz quadrada de 36 espaço fim da raiz igual a 6

2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.

Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n
12 ao quadrado igual a 9. n espaço seta dupla para a direita 144 igual a 9. n n igual a 144 sobre 9 igual a 16

Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2 = a . m
b ao quadrado igual a 25.16 igual a 400 b igual a raiz quadrada de 400 igual a 20

c ao quadrado igual a 25.9 igual a 225 c igual a raiz quadrada de 225 igual a 15

Fórmulas

Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo.

Tabela Relações Métricas

Para saber mais, leia também:

Exercícios Resolvidos

1) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. Nessas condições, determine:

a) a medida da altura relativa à hipotenusa
b) a área do triângulo

a)
a ao quadrado igual a b ao quadrado mais c ao quadrado 10 ao quadrado igual a 8 ao quadrado mais c ao quadrado 100 igual a 64 mais c ao quadrado raiz quadrada de 100 menos 64 fim da raiz igual a c raiz quadrada de 36 igual a c c igual a 6 espaço c m

a. h igual a b. c 10. h igual a 6.8 h igual a 48 sobre 10 igual a 24 sobre 5

b)

A igual a numerador b. h sobre denominador 2 fim da fração A igual a numerador 10.24 sobre denominador 5.2 fim da fração A espaço igual a espaço 24 c m ao quadrado

2) Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5

b ao quadrado igual a a. n 5 ao quadrado igual a 13. n n igual a 25 sobre 13 igual a 1 vírgula 9 espaço c m a espaço igual a espaço m mais n 13 igual a m mais 1 vírgula 9 m igual a 13 menos 1 vírgula 9 m igual a 11 vírgula 1 espaço c m