Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física

As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).

Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:

Elementos de um triângulo retângulo

Sendo:

a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa

Semelhança e relações métricas

Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:


Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (incremento A B C semelhante incremento H B A), temos as seguintes proporções:

a sobre c igual a b sobre h espaço seta dupla para a direita a. h igual a b. c

a sobre c igual a c sobre m seta dupla para a direita c ao quadrado igual a a. m

Usando que incremento A B C semelhante incremento H A C encontramos a proporção:

a sobre b igual a b sobre n seta dupla para a direita b ao quadrado igual a a. n

Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:

h sobre n igual a m sobre h seta dupla para a direita h ao quadrado igual a m. n

Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:

a igual a m mais n

Teorema de Pitágoras

A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente.

Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo:

b ao quadrado espaço mais espaço c ao quadrado igual a a. n espaço mais a. m b ao quadrado espaço mais espaço c ao quadrado igual a a. espaço parêntese esquerdo n espaço mais m parêntese direito

Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:

a ao quadrado igual a b ao quadrado mais c ao quadrado

Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:

A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Exemplos

1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:

Exemplo relações métricas

Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y.
Usando a relação: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12

Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n, assim:
x2 = 12 . 3 = 36
x igual a raiz quadrada de 36 espaço fim da raiz igual a 6

2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.

Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n
12 ao quadrado igual a 9. n espaço seta dupla para a direita 144 igual a 9. n n igual a 144 sobre 9 igual a 16

Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2 = a . m
b ao quadrado igual a 25.16 igual a 400 b igual a raiz quadrada de 400 igual a 20

c ao quadrado igual a 25.9 igual a 225 c igual a raiz quadrada de 225 igual a 15

Fórmulas

Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo.

Tabela Relações Métricas

Para saber mais, leia também:

Exercícios Resolvidos

1) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. Nessas condições, determine:

a) a medida da altura relativa à hipotenusa
b) a área do triângulo

a)
a ao quadrado igual a b ao quadrado mais c ao quadrado 10 ao quadrado igual a 8 ao quadrado mais c ao quadrado 100 igual a 64 mais c ao quadrado raiz quadrada de 100 menos 64 fim da raiz igual a c raiz quadrada de 36 igual a c c igual a 6 espaço c m

a. h igual a b. c 10. h igual a 6.8 h igual a 48 sobre 10 igual a 24 sobre 5

b)

A igual a numerador b a s e. a l t u r a sobre denominador 2 fim da fração A igual a numerador 10.24 sobre denominador 5.2 fim da fração A espaço igual a espaço 24 c m ao quadrado

2) Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5

b ao quadrado igual a a. n 5 ao quadrado igual a 13. n n igual a 25 sobre 13 igual a 1 vírgula 9 espaço c m a espaço igual a espaço m mais n 13 igual a m mais 1 vírgula 9 m igual a 13 menos 1 vírgula 9 m igual a 11 vírgula 1 espaço c m

Atualizado em
Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.