Exercícios de seno, cosseno e tangente

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Estude com os exercícios de seno, cosseno e tangente resolvidos. Pratique e tire suas dúvidas com os exercícios comentados.

Questão 1

Determine os valores de x e y no triângulo a seguir. Considere sen 37º = 0,60, cosseno de 37º = 0,79 e tan 37º = 0,75.

Imagem associada à questão

Resposta: y = 10,2 m e x = 13,43 m

Para determinar y, usamos o seno de 37º, que é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Vale lembrar que a hipotenusa é o segmento oposto ao ângulo de 90º, logo, vale 17 m.

s e n espaço 37 º igual a y sobre 17 17 espaço. espaço s e n espaço 37 º igual a y 17 espaço. espaço 0 vírgula 60 espaço igual a espaço y 10 vírgula 2 m espaço igual a espaço y

Para determinar x, podemos utilizar o cosseno de 37º, que é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo de 37º e a hipotenusa.

cos espaço 37 º igual a x sobre 17 17 espaço. espaço cos espaço 37 º igual a x 17 espaço. espaço 0 vírgula 79 espaço igual a espaço x 13 vírgula 4 m espaço aproximadamente igual espaço x

Questão 2

No triângulo retângulo a seguir, determine o valor do ângulo reto teta, em graus, e seu seno, cosseno e tangente.

Considere:

sen 28º = 0,47
cos 28º = 0,88

Imagem associada à questão

Resposta: teta igual a 62 sinal de grau , cos espaço 62 sinal de grau aproximadamente igual 0 vírgula 47 vírgula espaço s e n espaço 62 sinal de grau aproximadamente igual 0 vírgula 88 espaço e espaço a espaço tan espaço 62 sinal de grau espaço aproximadamente igual espaço 1 vírgula 872.

Em um triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Sendo um triângulo retângulo há um ângulo de 90º, assim, restam outros 90º para os dois ângulos.

Desta forma temos:

28 º espaço mais espaço teta espaço igual a espaço 90 º teta espaço igual a espaço 90 º espaço menos espaço 28 º teta espaço igual a espaço 62 º

Como estes ângulos são complementares (a partir de um deles, o outro é o quanto falta para completar 90º), vale que:

cos 62º = sen 28º = 0,47

e

sen 62º = cos 28º = 0,88

Cálculo da tangente

A tangente é a razão entre o seno e o cosseno.

tan espaço 62 º espaço igual a espaço numerador s e n espaço 62 º sobre denominador cos espaço 62 º fim da fração igual a numerador 0 vírgula 88 sobre denominador 0 vírgula 47 fim da fração aproximadamente igual 1 vírgula 872

Questão 3

Em uma determinada hora de um dia ensolarado, a sombra de uma casa se projeta por 23 metros. Esta sobra faz 45º em relação ao solo. Desta forma, determine a altura da casa.

Resposta: A altura da casa é de 23 m.

Para determinar uma altura, conhecendo o ângulo de inclinação, utilizamos a tangente do ângulo de 45°.

A tangente de 45° é igual a 1.

A casa e a sombra no chão, são os catetos de um triângulo retângulo.

tan espaço 45 º igual a numerador c a t e t o espaço o p o s t o sobre denominador c a t e t o espaço a d j a c e n t e fim da fração igual a numerador a l t u r a espaço d a espaço c a s a sobre denominador m e d i d a espaço d a espaço s o m b r a fim da fração tan espaço 45 º igual a a sobre 23 1 igual a a sobre 23 a espaço igual a espaço 23 espaço m

Assim, a altura da casa é de 23 m.

Questão 4

Um agrimensor é um profissional que utiliza conhecimentos matemáticos e geométricos para fazer medições e estudar uma superfície. Utilizando um teodolito, ferramenta que, entre outras funções mede ângulos, posicionado a 37 metros de distância de um edifício, ele encontrou um ângulo de 60° entre um plano paralelo ao solo e altura do edifício. Se o teodolito estava sobre um tripé, a 180 cm do chão, determine a altura do edifício em metros.

Considere raiz quadrada de 3 igual a 1 vírgula 73

Resposta: A altura do prédio é de 65,81 m.

Fazendo um rascunho da situação temos:

Assim, a altura do prédio pode ser determinada utilizando a tangente de 60º, a partir da altura onde o teodolito está, somando o resultado com 180 cm ou, 1,8 m, pois é a altura que ele está do chão.

A tangente de 60° é igual a raiz quadrada de 3.

Altura a partir do teodolito

tan espaço 60 º espaço igual a espaço numerador altura espaço d o espaço p r é d i o sobre denominador 37 fim da fração raiz quadrada de 3 espaço igual a espaço numerador a l t u r a espaço d o espaço p r é d i o sobre denominador 37 fim da fração 1 vírgula 73 espaço. espaço 37 espaço igual a a l t u r a espaço d o espaço p r é d i o 64 vírgula 01 espaço igual a espaço a l t u r a espaço d o espaço p r é d i o

Altura total

64,01 + 1,8 = 65,81 m

A altura do prédio é de 65,81 m.

Questão 5

Determine o perímetro do pentágono.

Considere:
sen 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
tan 67° = 2,35

Imagem associada à questão.

Resposta: o perímetro é de 219,1 m.

O perímetro é a soma dos lados do pentágono. Como há uma parte retangular com a medida de 80 m, o lado oposto também tem 80 m.

O perímetro é dado por:

P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b

Sendo a, paralelo à linha azul tracejada, podemos determinar seu comprimento utilizando a tangente de 67°.

tan espaço 67 sinal de grau igual a a sobre 10 2 vírgula 35 espaço igual a espaço a sobre 10 2 vírgula 35 espaço. espaço 10 espaço igual a espaço a 23 vírgula 5 espaço igual a espaço a

Para determinar o valor de b, utilizamos o cosseno de 67°

cos espaço 67 sinal de grau espaço igual a espaço 10 sobre b b igual a numerador 10 sobre denominador cos espaço 67 sinal de grau fim da fração b igual a numerador 10 sobre denominador 0 vírgula 39 fim da fração b espaço aproximadamente igual 25 vírgula 6

Desta forma, o perímetro é:

P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m

Questão 6

Determine o seno e o cosseno de 1 110°.

Considerando a circunferência trigonométrica temos que uma volta completa possui 360°.

Ao dividirmos 1110° por 360° temos como resultado 3,0833 ... . Isto significam 3 voltas completas e um pouco mais.

Fazendo 360° x 3 = 1080° e subtraindo de 1110 temos:

1110° - 1080° = 30°

Considerando o sentido anti-horário como positivo, após três voltas completas voltamos ao início, 1080° ou 0°. A partir deste ponto avançamos mais 30°.

Assim, o seno e o cosseno de 1110° são iguais ao seno e ao cosseno de 30°

s e n espaço 1110 sinal de grau espaço igual a espaço s e n espaço 30 sinal de grau espaço igual a espaço 1 meio cos espaço 1110 sinal de grau espaço igual a espaço cos espaço 30 sinal de grau espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração

Questão 7

(CEDERJ 2021) Estudando para uma prova de trigonometria, Júlia aprendeu que sen² 72° é igual a

1 – cos² 72°.

cos² 72° – 1.

tg² 72° – 1.

1 – tg² 72º.

Gabarito explicado

A relação fundamental da trigonometria diz que:

s e n ao quadrado x espaço mais espaço cos ao quadrado x igual a 1

Onde x é o valor do ângulo.

Fazendo x = 72º e isolando o seno, temos:

s e n ao quadrado espaço 72 º igual a 1 menos cos ao quadrado espaço 72 º

Questão 8

As rampas são uma boa forma de assegurar a acessibilidade para cadeirantes e indivíduos com mobilidade reduzida. A acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos é assegurada em lei.

A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), de acordo com a Lei Brasileira de Inclusão da Pessoa com Deficiência (13.146/2015), regula a construção e define a inclinação das rampas, bem como os cálculos para a sua construção. As diretrizes de cálculo da ABNT, indicam um limite máximo de inclinação de 8,33% (proporção de 1:12). Isso significa que uma rampa, para vencer um desnível de 1 m, deve ter, no mínimo, 12 m de comprimento e isso define que o ângulo de inclinação da rampa, em relação ao plano horizontal, não pode ser maior que 7°.

De acordo com as informações anteriores, para que uma rampa, com comprimento igual a 14 m e inclinação de 7º em relação ao plano, esteja dentro das normas da ABNT, ela deve servir para vencer um desnível com altura máxima de

Use: sen 7º = 0,12; cos 7º = 0,99 e tg 7º = 0,12.

a) 1,2 m.

b) 1,32 m.

c) 1,4 m.

d) 1,56 m.

e) 1,68 m.

Gabarito explicado

A rampa forma um triângulo retângulo onde o comprimento é de 14 m, fazendo um ângulo de 7º em relação à horizontal, onde a altura é o cateto oposto ao ângulo.

Utilizando seno de 7°:

s e n espaço 7 sinal de grau igual a a sobre 1414 espaço. espaço s e n espaço 7 sinal de grau espaço igual a espaço a14 espaço. espaço 0 vírgula 12 espaço igual a espaço a1 vírgula 68 espaço igual a espaço as e n espaço 7 º igual a a sobre 140 vírgula 12 espaço. espaço 14 espaço igual a espaço a1 vírgula 68 espaço igual a espaço a

A altura que a rampa deve vencer é de 1,68 m.

Questão 9

(Unesp 2012) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30º e máxima de 45º.

Imagem associada à questão

Nestas condições e considerando raiz quadrada de 2 igual a 1 vírgula 4 , quais deverão ser os valores máximo e mínimo, em metros, do comprimento desta rampa de acesso?

Resposta: O comprimento da rampa de acesso será 7 m no mínimo e 10 m no máximo.

O projeto já prevê e fixa a altura em 5 m. Precisamos calcular o comprimento da rampa, que é a hipotenusa do triângulo retângulo, para os ângulos de 30° e 45°.

Para o cálculo utilizamos o seno do ângulo, sendo a razão entre o cateto oposto, 5m, e a hipotenusa r, que é o comprimento da rampa.

Para os ângulos notáveis 30° e 45° os valores de seno são:

s e n espaço 30 sinal de grau espaço igual a espaço 1 meio s e n espaço 45 sinal de grau espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração

Para 30°

s e n espaço 30 sinal de grau igual a 5 sobre r r espaço igual a numerador 5 sobre denominador s e n sinal de grau 30 fim da fração r espaço igual a numerador 5 sobre denominador começar estilo mostrar 1 meio fim do estilo fim da fração r igual a 5 espaço. espaço 2 r espaço igual a 10

Para 45°

s e n espaço 45 sinal de grau igual a 5 sobre r r igual a numerador 5 sobre denominador s e n espaço 45 sinal de grau fim da fração r igual a numerador 5 sobre denominador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração r igual a numerador 5 espaço. espaço 2 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração r espaço igual a numerador 10 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração

Racionalizando

r igual a numerador 10 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração. numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador 10 raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração

Substituindo o valor de raiz quadrada de 2 igual a 1 vírgula 4

r igual a numerador 10 espaço. espaço 1 vírgula 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 7

Questão 10

(EPCAR 2020) À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT (Veículo Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura desprezível, com raio de 3 m estacionado paralelamente ao solo a 30 m de altura.

O VANT está a uma distância y metros de um holofote que foi instalado no helicóptero.

O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT incide sobre a região plana e produz uma sombra circular de centro O e raio R.

O raio R da circunferência da sombra forma um ângulo de 60º com o feixe de luz, conforme se vê na figura seguinte.

Imagem associada à questão

Nesse momento, uma pessoa que se encontra num ponto A da circunferência da sombra corre para o ponto O, pé da perpendicular traçada do holofote à região plana.

A distância, em metros, que essa pessoa percorre de A até O é um número entre

a) 18 e 19

b) 19 e 20

c) 20 e 21

d) 22 e 23

Gabarito explicado

Objetivo

Determinar o comprimento do segmento AO em moldura superior, raio da circunferência da sombra.

Dados

  • Altura de O até o VANT é de 30 m.
  • O raio do VANT é de 3 m.

Utilizando a tangente de 60° determinamos a parte destacada em vermelho na seguinte imagem:

Imagem associada à resolução da questão.

Considerando a tangente de 60° = raiz quadrada de 3 e sendo a tangente a razão entre o cateto oposto ao ângulo e seu adjacente, temos:

tan espaço 60 sinal de grau igual a 30 sobre xx igual a numerador 30 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração

Racionalizando

x espaço igual a espaço numerador 30 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração. numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração igual a numerador 30 raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração igual a 10 raiz quadrada de 3

O comprimento AO é 10 raiz quadrada de 3 espaço mais espaço 3

Aproximando o valor de raiz quadrada de 3 igual a 1 vírgula 73

10 espaço. espaço 1 vírgula 73 espaço mais espaço 317 vírgula 3 espaço mais espaço 3 espaço20 vírgula 3 espaço

A medida aproximada do segmento AO é de 20,3 m, ou seja, um valor entre 20 e 21.

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Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.