Triângulo Isósceles

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Triângulo isósceles é um polígono que apresenta três lados, sendo dois deles congruentes (mesma medida).

O lado com medida diferente é chamado base do triângulo isósceles. O ângulo formado pelos dois lados congruentes é chamado ângulo do vértice.

No triângulo isósceles ABC, representado abaixo, os lados pilha A B espaço com barra acima e espaço pilha A C com barra acima possuem mesma medida. O lado pilha B C com barra acima é a base do triângulo e o ângulo alfa é o ângulo do vértice. Os ângulos teta são os ângulos da base e possuem a mesma medida.

Triângulo isósceles com os ângulos do vértice e da base.

Propriedades dos Triângulos Isósceles

Todo triângulo isósceles apresenta as seguintes propriedades:

  • Os ângulos das bases são congruentes (iguais);
  • A bissetriz do ângulo do vértice (encontro dos lados iguais), coincide com a altura relativa à base, com a mediana (segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto) e a mediatriz (segmento do ponto médio de um lado e perpendicular a este).

Para provar essas propriedades, iremos utilizar um triângulo isósceles ABC. Traçando a bissetriz do ângulo do vértice, formamos os triângulos ABM e ACM, conforme figura abaixo:

Triângulo isósceles

Note que o lado pilha A M com barra acima é comum aos dois triângulos e a bissetriz dividiu o ângulo A com conjunção lógica sobrescrito em dois ângulos de mesma medida. Além disso, os lados pilha A B espaço com barra acima e espaço pilha A C com barra acima são congruentes (lados iguais do triângulo isósceles ABC).

Desta forma, temos o caso de congruência de triângulos LAL (lado, ângulo, lado). Concluímos então que os ângulos B com conjunção lógica sobrescrito espaço e espaço C com conjunção lógica sobrescrito, da base do triângulo, possuem a mesma medida.

Podemos ainda concluir que, como os triângulos ABM e ACM são congruentes, as medidas de pilha B M com barra acima espaço e espaço pilha C M com barra acima são iguais.

Portanto, pilha A M com barra acima também é a mediana relativa à base. Além disso, pilha A M com barra acima também é a altura relativa à base, pois forma com a base dois ângulos iguais a 90º.

Fórmula da altura de um triângulo isósceles

No triângulo isósceles, utilizando o teorema de Pitágoras e isolando a altura, encontramos a fórmula:

h igual a raiz quadrada de L ao quadrado menos b ao quadrado sobre 4 fim da raiz

Onde:

h é a altura;
L é a medida dos lados congruentes;
b é a base.

Área dos Triângulos

Para encontrar a área de um triângulo isósceles usamos a fórmula da área de uma triângulo qualquer:

A igual a numerador b espaço. espaço h sobre denominador 2 fim da fração

Onde:

A: área
b: medida da base
h: medida da altura relativa à base

Exemplo:

Qual o valor da área de um triângulo isósceles que apresenta lados com medidas iguais a 10 cm, 10 cm e 12 cm?

A base do triângulo mede 12 cm, contudo, não temos a medida da altura. Entretanto, sabemos que ela coincide com a mediana. Desta forma a altura irá dividir a base em dois segmentos iguais, ou seja 12:2 = 6.

triângulo isósceles

Para encontrar a altura iremos usar o teorema de Pitágoras:

102 = 62 + h2
h2 = 100 - 36
h2 = 64
h = 8 cm

Agora, podemos calcular a área:

A igual a numerador 12.8 sobre denominador 2 fim da fração igual a 48 espaço c m ao quadrado

Eixo de Simetria

O eixo de simetria de uma figura é uma reta que a divide em duas outras figuras idênticas e que quando dobramos pelo eixo de simetria, essas figuras se sobrepõem perfeitamente.

Os triângulos isósceles apresentam apenas 1 eixo de simetria, que é a reta que divide o ângulo do vértice em dois ângulos iguais (bissetriz).

triângulo isósceles

Baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro no triângulo isósceles

Estes pontos estão localizados no eixo de simetria.

Baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro em um triângulo isósceles.

Circuncentro é o ponto de cruzamento entre as três mediatrizes.

Baricentro é o ponto de cruzamento entre as três medianas.

Incentro é o ponto de cruzamento entre as três bissetrizes.

Ortocentro é o ponto de cruzamento entre as três alturas.

Classificação dos Triângulos

Além dos triângulos isósceles, temos ainda os triângulos equiláteros e escalenos. Essa classificação leva em consideração os lados que formam o triângulo.

Assim, o triângulo equilátero é aquele que possui três lados com mesma medida e o escaleno todos os lados apresentam medidas diferentes.

Triângulos lados

Podemos ainda classificar os triângulos em relação aos ângulos internos. O triângulo será acutângulo quando a medida dos ângulos internos for menor que 90º.

Quando o triângulo apresentar um ângulo reto (igual a 90º) será classificado como triângulo retângulo e obtusângulo quanto tiver um ângulo maior que 90º.

triângulos ângulos

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Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.