Semelhança de Triângulos - Exercícios

Rosimar Gouveia

A semelhança de triângulos é usada para encontrar a medida desconhecida de um triângulo, conhecendo as medidas de um outro triângulo.

Quando dois triângulos são semelhantes, as medidas dos seus lados correspondentes são proporcionais. Esta relação é usada para resolver muitos problemas de geometria.

Portanto, aproveite os exercícios comentados e resolvidos para tirar todas as suas dúvidas.

Questões resolvidas

1) Aprendiz de Marinheiro - 2017

Observe a figura abaixo

Questão aprendiz de marinheiro 2017 semelhança de triângulos

Um prédio projeta no solo uma sombra de 30 m de extensão no mesmo instante em que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m. Pode-se afirmar que a altura do prédio vale

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Podemos considerar que o prédio, sua sombra projetada e o raio solar formam um triângulo. Da mesma forma, temos também um triângulo formado pela pessoa, sua sombra e o raio solar.

Considerando que os raios solares são paralelos e que o ângulo entre o prédio e o solo e a pessoa e o solo é igual a 90º, os triângulos, indicados na figura abaixo, são semelhantes (dois ângulos iguais).

Questão aprendiz de marinheiro 2017 semelhança de triângulos

Sendo os triângulos semelhantes, podemos escrever a seguinte proporção:

H sobre 30 igual a numerador 1 vírgula 8 sobre denominador 2 fim da fração 2 H igual a 1 vírgula 8.30 H igual a 54 sobre 2 igual a 27 espaço m

Alternativa: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado B C em moldura superior fecha moldura e N o ponto médio do lado C D em moldura superior fecha moldura. Os segmentos A M em moldura superior fecha moldura espaço e espaço A C em moldura superior fecha moldura interceptam o segmento B N em moldura superior fecha moldura nos pontos E e F, respectivamente.

Questão Fuvest 2017 semelhança de triângulos

A área do triângulo AEF é igual a

a parêntese direito espaço 24 sobre 25 b parêntese direito espaço 29 sobre 30 c parêntese direito espaço 61 sobre 60 d parêntese direito espaço 16 sobre 15 e parêntese direito espaço 23 sobre 20

A área do triângulo AEF pode ser encontrada diminuindo a área do triângulo ABE da área do triângulo AFB, conforme figura abaixo:

Questão Fuvest 2017 semelhança de triângulos

Vamos começar encontrando a área do triângulo AFB. Para isso, precisamos descobrir o valor da altura deste triângulo, pois o valor da base é conhecido (AB = 4).

Note que os triângulos AFB e CFN são semelhantes pois possuem dois ângulos iguais (caso AA), conforme indicado na figura abaixo:

Questão Fuvest 2017 semelhança de triângulos

Vamos traçar a altura H1, relativa ao lado AB, no triângulo AFB. Como a medida do lado CB é igual a 2, podemos considerar que a altura relativa do lado NC no triângulo FNC é igual a 2 - H1.

Questão Fuvest 2017 semelhança de triângulos

Podemos então, escrever a seguinte proporção:

4 sobre 2 igual a numerador H com 1 subscrito sobre denominador 2 menos H com 1 subscrito fim da fração 2 espaço parêntese esquerdo 2 menos H com 1 subscrito parêntese direito igual a H com 1 subscrito 4 espaço menos espaço 2 H com 1 subscrito igual a H com 1 subscrito 3 H com 1 subscrito igual a 4 H com 1 subscrito igual a 4 sobre 3

Conhecendo a altura do triângulo, podemos calcular sua área:

A com incremento A F B subscrito fim do subscrito igual a numerador b. h sobre denominador 2 fim da fração A com incremento A F B subscrito fim do subscrito igual a numerador 4. começar estilo mostrar 4 sobre 3 fim do estilo sobre denominador 2 fim da fração A com incremento A F B subscrito fim do subscrito igual a 16 sobre 3.1 meio A com incremento A F B subscrito fim do subscrito igual a 8 sobre 3

Para encontrar a área do triângulo ABE, também será necessário calcular o valor da sua altura. Para isso, usaremos o fato dos triângulos ABM e AOE, indicados na figura abaixo, serem semelhantes.

Questão Fuvest 2017 semelhança de triângulos

Além disso, o triângulo OEB é um triângulo retângulo e os outros dois ângulos são iguais (45º), logo é um triângulo isósceles. Desta forma, os dois catetos deste triângulo valem H2, conforme imagem abaixo:

Questão Fuvest 2017 semelhança de triângulos

Desta forma, o lado AO, do triângulo AOE, é igual a 4 - H2. Com base nessas informações, podemos indicar a seguinte proporção:

numerador 4 sobre denominador 4 menos H com 2 subscrito fim da fração igual a 1 sobre H com 2 subscrito 4 H com 2 subscrito igual a 4 menos H com 2 subscrito 5 H com 2 subscrito igual a 4 H com 2 subscrito igual a 4 sobre 5

Sabendo o valor da altura, agora podemos calcular a área do triângulo ABE:

A com incremento A B E subscrito fim do subscrito igual a numerador 4. começar estilo mostrar 4 sobre 5 fim do estilo sobre denominador 2 fim da fração A com incremento A B E subscrito fim do subscrito igual a 16 sobre 5.1 meio A com incremento A B E subscrito fim do subscrito igual a 8 sobre 5

Assim, a área do triângulo AFE será igual a:

A com incremento A F E subscrito fim do subscrito igual a A com incremento A F B subscrito fim do subscrito menos A com incremento A B E subscrito fim do subscrito A com incremento A F E subscrito fim do subscrito igual a 8 sobre 3 menos 8 sobre 5 A com incremento A F E subscrito fim do subscrito igual a numerador 40 menos 24 sobre denominador 15 fim da fração igual a 16 sobre 15

Alternativa: d) 16 sobre 15

3) Cefet/MG - 2015

A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de largura e comprimento iguais a 1,5 e 2,0 m, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola branca do ponto B e acertar a preta no ponto P, sem acertar em nenhuma outra, antes. Como a amarela está no ponto A, esse jogador lançará a bola branca até o ponto L, de modo que a mesma possa rebater e colidir com a preta.

Questão Cefet-mg 2015 semelhança de triângulos

Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de rebatimento são iguais, como mostra a figura, então a distância de P a Q, em cm, é aproximadamente

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Os triângulos, assinalados em vermelho na imagem abaixo, são semelhantes, pois possuem dois ângulos iguais (ângulo igual a α e ângulo igual a 90º).

Questão cefet-MG 2015 semelhança de triângulos

Sendo assim, podemos escrever a seguinte proporção:

numerador x sobre denominador 0 vírgula 8 fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador 1 vírgula 2 fim da fração 1 vírgula 2 x igual a 1.0 vírgula 8 x igual a numerador 0 vírgula 8 sobre denominador 1 vírgula 2 fim da fração igual a 0 vírgula 66... x aproximadamente igual 0 vírgula 67 m espaço o u espaço 67 espaço c m

Alternativa: a) 67

4) Colégio Militar/RJ - 2015

Em um triângulo ABC, os pontos D e E pertencem, respectivamente, aos lados AB e AC e são tais que DE / / BC . Se F é um ponto de AB tal que EF / / CD e as medidas de AF e FD e são, respectivamente, 4 e 6, a medida do segmento DB é:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Podemos representar o triângulo ABC, conforme figura abaixo:

Questão Colégio Militar 2015 semelhança de triângulos

Sendo o segmento DE paralelo a BC, então os triângulos ADE e ABC são semelhantes, pois seus ângulos são congruentes.

Podemos então escrever a seguinte proporção:

numerador 10 sobre denominador 10 mais x fim da fração igual a y sobre z

Os triângulos FED e DBC também são semelhantes, visto que os segmentos FE e DC são paralelos. Assim, a seguinte proporção também é verdadeira:

6 sobre y igual a x sobre z

Isolando o y nessa proporção, temos:

y igual a numerador 6 z sobre denominador x fim da fração

Substituindo o valor do y na primeira igualdade:

numerador 10 sobre denominador 10 mais x fim da fração igual a numerador começar estilo mostrar numerador 6 z sobre denominador x fim da fração fim do estilo sobre denominador z fim da fração numerador 10 sobre denominador 10 mais x fim da fração igual a numerador 6 z sobre denominador x fim da fração.1 sobre z 10 x igual a 60 mais 6 x 10 x menos 6 x igual a 60 4 x igual a 60 x igual a 60 sobre 4 x igual a 15 espaço c m

Alternativa: a) 15

5) Epcar - 2016

Um terreno com formato de um triângulo retângulo será dividido em dois lotes por uma cerca feita na mediatriz da hipotenusa, conforme mostra figura.

Questão semelhança de triângulos Epcar 2016

Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno medem, respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a razão entre o perímetro do lote I e o perímetro do lote II, nessa ordem, é

a parêntese direito 5 sobre 3 b parêntese direito 10 sobre 11 c parêntese direito 3 sobre 5 d parêntese direito 11 sobre 10

Para descobrir a razão entre os perímetros, precisamos conhecer o valor de todos os lados da figura I e da figura II.

Observe que a mediatriz da hipotenusa divide o lado BC em dois segmentos congruentes, então os segmentos CM e MB medem 50 m.

Sendo o triângulo ABC retângulo, podemos calcular o lado AC, através do teorema de Pitágoras. Entretanto, note que esse triângulo é um triângulo pitagórico.

Desta forma, sendo a hipotenusa igual a 100 (5 . 20) e um dois catetos igual a 80 (4.20), então o outro cateto só poderá ser igual a 60 (3.20).

Identificamos ainda, que os triângulos ABC e MBP são semelhantes (caso AA), pois possuem um ângulo comum e o outro igual a 90º.

Assim, para encontrar o valor de x podemos escrever a seguinte proporção:

100 sobre 80 igual a x sobre 50 x igual a 5000 sobre 80 x igual a 250 sobre 4 igual a 125 sobre 2

O valor de z pode ser encontrado considerando a proporção:

60 sobre z igual a 100 sobre x 60 sobre z igual a numerador 100 sobre denominador começar estilo mostrar 125 sobre 2 fim do estilo fim da fração 60 sobre z igual a 100.2 sobre 125 z igual a numerador 60.125 sobre denominador 100.2 fim da fração z igual a 7500 sobre 200 z igual a 75 sobre 2

Podemos ainda, encontrar o valor de y fazendo:

y igual a 80 menos x y igual a 80 menos 125 sobre 2 y igual a numerador 160 menos 125 sobre denominador 2 fim da fração y igual a 35 sobre 2

Agora que conhecemos todos os lados, podemos calcular os perímetros.

Perímetro da figura I:

60 mais 50 mais 75 sobre 2 mais 35 sobre 2 igual a numerador 120 mais 100 mais 75 mais 35 sobre denominador 2 fim da fração igual a 330 sobre 2 igual a 165

Perímetro da figura II:

50 mais 75 sobre 2 mais 125 sobre 2 igual a numerador 100 mais 75 mais 125 sobre denominador 2 fim da fração igual a 300 sobre 2 igual a 150

Portanto, a razão entre os perímetros será igual a:

P com I subscrito sobre P com I I subscrito fim do subscrito igual a 165 sobre 150 igual a 11 sobre 10

Alternativa: d)11 sobre 10

6) Enem - 2013

O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Questão Enem 2013 semelhança de triângulos

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 raiz quadrada de 6 m

Para resolver o problema, vamos chamar a altura da haste de z e as medidas dos segmentos AF e FB de x e y, respectivamente, conforme imagem abaixo:

Questão Enem 2013 semelhança de triângulos

O triângulo ADB é semelhante ao triângulo AEF, pois ambos possuem um ângulo igual a 90º e um ângulo comum, logo, são semelhantes pelo caso AA.

Sendo assim, podemos escrever a seguinte proporção:

numerador 6 sobre denominador x mais y fim da fração igual a h sobre x

Multiplicando "em cruz", ficamos com a igualdade:

6x = h (x + y) (I)

Por outro lado, os triângulos ACB e FEB também serão semelhantes, pelas mesmas razões apresentadas anteriormente. Temos então a proporção:

numerador 4 sobre denominador x mais y fim da fração igual a h sobre y

Resolvendo da mesma maneira:

4y = h (x + y) (II)

Note que as equações (I) e (II) apresentam a mesma expressão após o sinal de igual, logo, podemos dizer que:

6x = 4y
x igual a 4 sobre 6 y S i m p l i f i c a n d o vírgula espaço t e m o s dois pontos x igual a 2 sobre 3 y

Substituindo o valor de x na segunda equação:

4 y igual a h parêntese esquerdo 2 sobre 3 y mais y parêntese direito 4 y igual a h parêntese esquerdo 5 sobre 3 h parêntese direito h igual a numerador 4.3 espaço riscado diagonal para cima sobre espaço y fim do riscado sobre denominador 5 riscado diagonal para cima sobre espaço y espaço fim do riscado fim da fração h igual a 12 sobre 5 igual a 2 vírgula 4 espaço m

Alternativa: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto A B em moldura superior fecha moldura, o ponto E pertencente ao cateto B C em moldura superior fecha moldura e o ponto F pertence à hipotenusa A C em moldura superior fecha moldura, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se D E igual a 3 sobre 2, então a área do paralelogramo DECF vale

Questão Fuvest 2010 semelhança de triângulos

a parêntese direito 63 sobre 25 b parêntese direito 12 sobre 5 c parêntese direito 58 sobre 25 d parêntese direito 56 sobre 25 e parêntese direito 11 sobre 5

A área do paralelogramo é encontrada multiplicando-se o valor da base pela altura. Vamos chamar de h a altura e de x a medida da base, conforme figura abaixo:

Questão Fuvest 2010 semelhança de triângulos

Sendo DECF um paralelogramo, seus lados são paralelos dois a dois. Desta forma, os lados AC e DE são paralelos. Assim, os ângulos A C com conjunção lógica sobrescrito B espaço e espaço D E com conjunção lógica sobrescrito B são iguais.

Podemos então, identificar que os triângulos ABC e DBE são semelhantes (caso AA). Temos ainda que a hipotenusa do triângulo ABC é igual a 5 (triângulo 3,4 e 5).

Desta forma, vamos escrever a seguinte proporção:

4 sobre h igual a numerador 5 sobre denominador começar estilo mostrar 3 sobre 2 fim do estilo fim da fração 5 h igual a 4.3 sobre 2 h igual a 6 sobre 5

Para encontrar a medida x da base, iremos considerar a seguinte proporção:

numerador 3 sobre denominador 3 menos x fim da fração igual a numerador 4 sobre denominador começar estilo mostrar 6 sobre 5 fim do estilo fim da fração 4 parêntese esquerdo 3 menos x parêntese direito igual a 3.6 sobre 5 3 menos x igual a numerador 3.6 sobre denominador 4.5 fim da fração 3 menos x igual a 18 sobre 20 x igual a espaço 3 menos 18 sobre 20 x igual a numerador 60 menos 18 sobre denominador 20 fim da fração x igual a 42 sobre 20 igual a 21 sobre 10

Calculando a área do paralelogramo, temos:

A igual a 21 sobre 10.6 sobre 5 igual a 63 sobre 25

Alternativa: a)63 sobre 25

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.