A semelhança de triângulos é usada para encontrar a medida desconhecida de um triângulo, conhecendo as medidas de um outro triângulo.
Quando dois triângulos são semelhantes, as medidas dos seus lados correspondentes são proporcionais. Esta relação é usada para resolver muitos problemas de geometria.
Portanto, aproveite os exercícios comentados e resolvidos para tirar todas as suas dúvidas.
Questões resolvidas
1) Aprendiz de Marinheiro - 2017
Observe a figura abaixo
Um prédio projeta no solo uma sombra de 30 m de extensão no mesmo instante em que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m. Pode-se afirmar que a altura do prédio vale
a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m
Podemos considerar que o prédio, sua sombra projetada e o raio solar formam um triângulo. Da mesma forma, temos também um triângulo formado pela pessoa, sua sombra e o raio solar.
Considerando que os raios solares são paralelos e que o ângulo entre o prédio e o solo e a pessoa e o solo é igual a 90º, os triângulos, indicados na figura abaixo, são semelhantes (dois ângulos iguais).
Sendo os triângulos semelhantes, podemos escrever a seguinte proporção:
Alternativa: a) 27 m
2) Fuvest - 2017
Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado e N o ponto médio do lado . Os segmentos interceptam o segmento nos pontos E e F, respectivamente.
A área do triângulo AEF é igual a
A área do triângulo AEF pode ser encontrada diminuindo a área do triângulo ABE da área do triângulo AFB, conforme figura abaixo:
Vamos começar encontrando a área do triângulo AFB. Para isso, precisamos descobrir o valor da altura deste triângulo, pois o valor da base é conhecido (AB = 4).
Note que os triângulos AFB e CFN são semelhantes pois possuem dois ângulos iguais (caso AA), conforme indicado na figura abaixo:
Vamos traçar a altura H1, relativa ao lado AB, no triângulo AFB. Como a medida do lado CB é igual a 2, podemos considerar que a altura relativa do lado NC no triângulo FNC é igual a 2 - H1.
Podemos então, escrever a seguinte proporção:
Conhecendo a altura do triângulo, podemos calcular sua área:
Para encontrar a área do triângulo ABE, também será necessário calcular o valor da sua altura. Para isso, usaremos o fato dos triângulos ABM e AOE, indicados na figura abaixo, serem semelhantes.
Além disso, o triângulo OEB é um triângulo retângulo e os outros dois ângulos são iguais (45º), logo é um triângulo isósceles. Desta forma, os dois catetos deste triângulo valem H2, conforme imagem abaixo:
Desta forma, o lado AO, do triângulo AOE, é igual a 4 - H2. Com base nessas informações, podemos indicar a seguinte proporção:
Sabendo o valor da altura, agora podemos calcular a área do triângulo ABE:
Assim, a área do triângulo AFE será igual a:
Alternativa: d)
3) Cefet/MG - 2015
A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de largura e comprimento iguais a 1,5 e 2,0 m, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola branca do ponto B e acertar a preta no ponto P, sem acertar em nenhuma outra, antes. Como a amarela está no ponto A, esse jogador lançará a bola branca até o ponto L, de modo que a mesma possa rebater e colidir com a preta.
Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de rebatimento são iguais, como mostra a figura, então a distância de P a Q, em cm, é aproximadamente
a) 67
b) 70
c) 74
d) 81
Os triângulos, assinalados em vermelho na imagem abaixo, são semelhantes, pois possuem dois ângulos iguais (ângulo igual a α e ângulo igual a 90º).
Sendo assim, podemos escrever a seguinte proporção:
Alternativa: a) 67
4) Colégio Militar/RJ - 2015
Em um triângulo ABC, os pontos D e E pertencem, respectivamente, aos lados AB e AC e são tais que DE / / BC . Se F é um ponto de AB tal que EF / / CD e as medidas de AF e FD e são, respectivamente, 4 e 6, a medida do segmento DB é:
a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.
Podemos representar o triângulo ABC, conforme figura abaixo:
Sendo o segmento DE paralelo a BC, então os triângulos ADE e ABC são semelhantes, pois seus ângulos são congruentes.
Podemos então escrever a seguinte proporção:
Os triângulos FED e DBC também são semelhantes, visto que os segmentos FE e DC são paralelos. Assim, a seguinte proporção também é verdadeira:
Isolando o y nessa proporção, temos:
Substituindo o valor do y na primeira igualdade:
Alternativa: a) 15
5) Epcar - 2016
Um terreno com formato de um triângulo retângulo será dividido em dois lotes por uma cerca feita na mediatriz da hipotenusa, conforme mostra figura.
Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno medem, respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a razão entre o perímetro do lote I e o perímetro do lote II, nessa ordem, é
Para descobrir a razão entre os perímetros, precisamos conhecer o valor de todos os lados da figura I e da figura II.
Observe que a mediatriz da hipotenusa divide o lado BC em dois segmentos congruentes, então os segmentos CM e MB medem 50 m.
Sendo o triângulo ABC retângulo, podemos calcular o lado AC, através do teorema de Pitágoras. Entretanto, note que esse triângulo é um triângulo pitagórico.
Desta forma, sendo a hipotenusa igual a 100 (5 . 20) e um dois catetos igual a 80 (4.20), então o outro cateto só poderá ser igual a 60 (3.20).
Identificamos ainda, que os triângulos ABC e MBP são semelhantes (caso AA), pois possuem um ângulo comum e o outro igual a 90º.
Assim, para encontrar o valor de x podemos escrever a seguinte proporção:
O valor de z pode ser encontrado considerando a proporção:
Podemos ainda, encontrar o valor de y fazendo:
Agora que conhecemos todos os lados, podemos calcular os perímetros.
Perímetro da figura I:
Perímetro da figura II:
Portanto, a razão entre os perímetros será igual a:
Alternativa: d)
6) Enem - 2013
O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m
Para resolver o problema, vamos chamar a altura da haste de z e as medidas dos segmentos AF e FB de x e y, respectivamente, conforme imagem abaixo:
O triângulo ADB é semelhante ao triângulo AEF, pois ambos possuem um ângulo igual a 90º e um ângulo comum, logo, são semelhantes pelo caso AA.
Sendo assim, podemos escrever a seguinte proporção:
Multiplicando "em cruz", ficamos com a igualdade:
6x = h (x + y) (I)
Por outro lado, os triângulos ACB e FEB também serão semelhantes, pelas mesmas razões apresentadas anteriormente. Temos então a proporção:
Resolvendo da mesma maneira:
4y = h (x + y) (II)
Note que as equações (I) e (II) apresentam a mesma expressão após o sinal de igual, logo, podemos dizer que:
6x = 4y
Substituindo o valor de x na segunda equação:
Alternativa: c) 2,4 m
7) Fuvest - 2010
Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto , o ponto E pertencente ao cateto e o ponto F pertence à hipotenusa , de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se , então a área do paralelogramo DECF vale
A área do paralelogramo é encontrada multiplicando-se o valor da base pela altura. Vamos chamar de h a altura e de x a medida da base, conforme figura abaixo:
Sendo DECF um paralelogramo, seus lados são paralelos dois a dois. Desta forma, os lados AC e DE são paralelos. Assim, os ângulos são iguais.
Podemos então, identificar que os triângulos ABC e DBE são semelhantes (caso AA). Temos ainda que a hipotenusa do triângulo ABC é igual a 5 (triângulo 3,4 e 5).
Desta forma, vamos escrever a seguinte proporção:
Para encontrar a medida x da base, iremos considerar a seguinte proporção:
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.
e N o ponto médio do lado 
. Os segmentos 
interceptam o segmento 
nos pontos E e F, respectivamente.
m
, o ponto E pertencente ao cateto 
, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se 
, então a área do paralelogramo DECF vale
são iguais.
