Relação de Euler: vértices, faces e arestas

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

A relação de Euler é uma igualdade que relaciona o número de vértices, arestas e faces em poliedros convexos. Ela diz que o número de faces mais o de vértices é igual ao número de arestas mais dois.

A relação de Euler é dada por:

começar estilo tamanho matemático 18px reto F mais reto V igual a reto A mais 2 fim do estilo

Onde,
F é o número de faces,
V o número de vértices,
A o número de arestas.

Podemos utilizar a relação de Euler para determinar ou confirmar valores desconhecidos de V, F ou A, sempre que o poliedro for convexo.

Poliedro F V A F + V A + 2
Cubo 6 8 12 6 + 8 = 14 12 + 2 = 14
Pirâmide triangular 4 4 6 4 + 4 = 8 6 + 2 = 8
Prisma de base pentagonal 7 10 15 7 + 10 = 17 15 + 2 = 17
Octaedro regular 8 6 12 8 + 6 = 14 12 + 2 = 14

Exemplo
Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices. Determine o número de arestas.

Utilizando a relação de Euler e isolando A:
reto F mais reto V igual a reto A mais 2 reto A igual a reto F mais reto V menos 2

Substituindo os valores de F e V:
reto A igual a 20 mais 12 menos 2 reto A igual a 32 menos 2 reto A igual a 30

Faces, vértices e arestas

Os poliedros são sólidos, formas geométricas de três dimensões sem lados arredondados. Estes lados são as faces (F) do poliedro.

cubo

Ao encontro das faces, damos o nome de arestas (A).

Cubo e suas arestas

Os vértices são os pontos em que três ou mais arestas se encontram.

Cubo e seus vértices.

Poliedros convexos

Os poliedros convexos são sólidos geométricos que não apresentam concavidade, por isso, em nenhuma de suas faces há ângulos internos maiores que 180º.

Poliedro convexo

Poliedro convexo: todos os ângulos internos das faces menores que 180.º.

Polígono não convexo.

Poliedro não convexo: possui pelo menos um ângulo interno maior que 180.º.

Neste poliedro o ângulo interno marcado em azul possui mais de 180º, de forma que não é um poliedro convexo.

Veja mais sobre poliedros.

Exercícios sobre relação de Euler

Exercício 1

Determine o número de faces em um poliedro com 9 arestas e 6 vértices.

Resposta correta: 5 faces.

Utilizando a relação de Euler:

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5

Exercício 2

Um dodecaedro é um sólido platônico com 12 faces. Sabendo que ele possui 20 vértices, determine seu número de arestas.

Resposta correta:

Utilizando a relação de Euler:

F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A

Exercício 3

Qual o nome do poliedro com 4 vértices e 6 arestas em relação ao seu número de faces, onde as faces são triângulos?

Resposta: Tetraedro.

Precisamos determinar o seu número de faces.

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4

O poliedro que possui 4 faces na forma de triângulos se chama Tetraedro.

Quem foi Leonhard Paul Euler?

Leonhard Paul Euler (1707-1783) foi um dos mais proficientes matemáticos e físicos da história, além de contribuir com estudos sobre Astronomia. Suíço de língua alemã, foi professor de Física da Academia de Ciências de São Petersburgo e, posteriormente, de Academia de Berlim. Publicou diversos estudos sobre Matemática.

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Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.