13 exercícios sobre cilindros

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Teste seus conhecimentos com 13 exercícios resolvidos sobre cilindros. Se prepare para o ENEM e vestibulares com as questões comentadas e tire suas dúvidas.

Exercício 1

Calcule o volume do cilindro e marque a alternativa que mais se aproxima do resultado. Dado: considere π = 3,14.

a) Volume = 6000 cm³.
b) Volume = 5000 cm³.
c) Volume = 4000 cm³.
d) Volume = 3000 cm³.
e) Volume = 2000 cm³.

Resposta: b) Volume = 5000 cm³.

Resolução

Para determinar o volume do cilindro, multiplicamos a área da base pela altura.

Da imagem temos o diâmetro = 16 cm e a altura = 25 cm.

Dados:
π = 3,14
Raio da base: r = d/2 = 16/2 = 8 cm
Altura: h = 25 cm

Como a base é uma circunferência, sua área é obtida pela equação:

A = π.r²
A = π . 8²
A = 3,14 . 64
A = 200,96 cm²

O volume do cilindro é dado pela multiplicação entre a área da base e sua altura.

V = π.r².h
V = 200,96 x 25 = 5024 cm³

Portanto, o volume é de cerca de 5000 cm³. Essa é a melhor aproximação.

Exercício 2

No lava jato Limpeza Total, houve um grande movimento hoje, tendo recebido 23 clientes para lavagem completa. No entanto, ao começar a lavar o próximo carro, a água acabou. Só então os funcionários se deram conta que a empresa fornecedora de água emitiu um alerta dizendo que devido a reparos e obras de manutenção, neste dia, não haveria abastecimento.

O dono do estabelecimento pediu um abastecimento de urgência com um caminhão pipa e a empresa fornecedora de água perguntou a capacidade do reservatório. Como era bem antigo, as indicações de capacidade haviam se apagado, sendo necessário fazer o cálculo a partir de suas medidas.

O reservatório é um cilindro de 4 m de altura e diâmetro de 1,80 m.

A empresa fornecedora de água possui cinco opções de entrega em caminhões pipa. Marque a opção que poderá ser solicitada pelo proprietário do lava ato, enchendo o máximo possível seu reservatório.

Dados: 1 m³ = 1 000 l

a) 12 000 l.
b) 11 000 l.
c) 10 000 l.
d) 9 000 l.
e) 8 000 l.

Resposta correta: c) 10 000 l.

Resolução

Devemos calcular o volume em metros cúbicos e depois transformar em litros.
O volume de um cilindro pode ser calculado pela multiplicação da área da base, pela altura.

Ideia 1: calcular a área da base.

Área da base: A = π.r²
Sendo o diâmetro igual a 1,80 m, o raio é 0,90 m.

A = 3,14 * 0,90²
A = 3,14 * 0,81
A = 2,5434 cm²

Ideia 2: calcular o volume do cilindro

V = área da base * altura
V = π.r².h
V = 2,5434 x 4 = 10,1736 m³

Ideia 3: transformar o resultado de m³ para litros.

Como 1 m³ = 1000 l, basta multiplicar o resultado por 1000.

V = 10,1736 m³ x 1000 = 10 173,6 l

Dessa forma, o proprietário do lava jato poderá pedir o caminhão pipa com 10 000 l.

Exercício 3

Qual a área lateral de um cilindro reto que possui 502,4 cm³ de volume e diâmetro 8 cm.

Dado: π = 3,14.

a) 355,10 cm²
b) 251,20 cm²
c) 125,51 cm²
d) 375,30 cm²
e) 91,45 cm²

Resposta correta: 251,20 cm²

Resolução

Ideia 1: determinar a altura h e o raio r

Se o diâmetro são 8 cm, logo o raio é igual a 4 cm.

Da fórmula do volume podemos determinar a altura.

Ideia 2: fórmula da área lateral

A área lateral de um cilindro reto de altura h é igual a de um retângulo de comprimento igual ao comprimento da circunferência do cilindro, multiplicado pela altura.

O comprimento de uma circunferência é obtida pela fórmula: 2.π.r

A área de um retângulo pode ser obtida pela multiplicação entre os valores da base e da altura.

Ideia 3: realizar o cálculo da área lateral

Área lateral do cilindro = 2.π.r.h
Área lateral = 2 . 3,14 . 4 . 10
Área lateral = 251,20 cm²

Portanto, a área lateral do cilindro é 251,20 cm².

Exercício 4

Um silo que armazena grãos de soja em uma fazenda, apresentou um problema em sua estrutura e precisa ser reparado com uma solda na parede. O silo é uma torre na forma de um cilindro de 10 m de altura e diâmetro de 6 m. Para realizar o serviço, o gerente decidiu esvaziar o silo, armazenando a produção temporariamente em caçambas de carretas na forma de paralelepípedos, com as medidas iguais a 12 m de comprimento, 2 m largura e 1,5 m de altura. Quantas caçambas são necessárias para armazenar todo o conteúdo?

Utilize π = 3,14.

a) 15 caçambas
b) 7 caçambas
c) 16 caçambas
d) 9 caçambas
e) 8 caçambas

Resposta correta: e) 8 caçambas

Resolução

Ideia 1: número de caçambas

O número de caçambas é o volume do silo, dividido pelo volume de uma carreta.

Ideia 2: volume do silo

Como o silo é um cilindro, seu volume é obtido pelo produto entre a área da base e sua altura.

Área da base

Sendo r o raio, igual a metade do diâmetro.

A = π.r²
A = 3,14 . 3²
A = 28,26 m²

Volume do silo

V = A . h
V = π.r².h
V = 28,26 . 10
V = 282,60 m³

Ideia 3: volume da caçamba

O volume da caçamba é o volume do paralelepípedo.

V = comprimento x largura x altura
V = 12 x 2 x 1,5 = 36 m³

Ideia 4: calculo da quantidade de caçambas

Quantidade de caçambas = volume do silo / volume da caçamba
Quantidade de caçambas = 282,60 / 36
Quantidade de caçambas = 7,85

Conclusão

Serão necessárias 8 caçambas para armazenar os grãos.

Exercício 5

(Enem 2010). Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá

a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

Resposta correta: a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

Resolução

Ideia 1: volume do copo

Como é um cilindro, o volume é dado por:

V = π.r².h
V = π.2².4 = 16π cm²

Ideia 2: volume da leiteira

V = π.r².H
V = π.4².20
V = π. 16 . 20 cm³ ou 16π x 20 cm³

Aqui percebemos que a leiteira tem 20 vezes o volume de 1 copo.

Volume da leiteira = volume de 20 copos

Conclusão:

Como cada copo será enchido até a metade, a leiteira deverá ser enchida até a metade.

Exercício 6

(Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.

Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?

a) πd
b) 2 πd
c) 4 πd
d) 5 πd
e) 10 πd

Resposta correta: d) 5 πd

Resolução

Como o papel foi enrolado 5 vezes, o comprimento da folha é igual a 5 vezes o comprimento da circunferência do cilindro.

Comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula:

2 . π. r

O raio é a metade do diâmetro

r = d / 2

Substituindo na fórmula

Comprimento da folha = 5 . 2 . π . d/2
Comprimento da folha = 5πd

Exercício 7

(Enem 2015) O índice pluviométrico é utilizado para mensurar a precipitação da água da chuva, em milímetros, em determinado período de tempo. Seu cálculo é feito de acordo com o nível de água da chuva acumulada em 1 m², ou seja, se o índice for de 10 mm, significa que a altura do nível de água acumulada em um tanque aberto em formato de um cubo com 1 m² de área de base, é de 10 mm. Em uma região, após um forte temporal, verificou-se que a quantidade de chuva acumulada em uma lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e altura 1200 mm, era de um terço da sua capacidade.

Utilize 3,0 como aproximação para π.

O índice pluviométrico da região, durante o período do temporal, em milímetros, é de

a) 10,8.
b) 12,0.
c) 32,4.
d) 108,0.
e) 324,0.

Resposta correta: d) 108,0.

Ideia 1: volume de líquido na lata

Usando:

π = 3,0
r = 300 mm
h = 1200 mm

V o l u m e espaço igual a espaço 1 terço espaço. espaço pi espaço. espaço 300 ao quadrado. espaço 1200 V o l u m e espaço igual a espaço 108 espaço 000 espaço 000 espaço m m ao cubo

Ideia 2: despejando esse conteúdo em um cubo

O cubo deve possuir 1 m³ ou seja,

volume do cubo = altura x largura x comprimento

1 m³ = altura x 1 m x 1 m

Passando para milímetros e igualando ao volume de líquido calculado:

108 000 000 mm³ = altura x 1000 m x 1000 m
altura = 108 mm

Conclusão:

Assim, o índice pluviométrico medido foi de 108 mm.

Exercício 8

(Enem 2015). Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.

A medida da altura desconhecida vale

a) 8 cm.
b) 10 cm.
c) 16 cm.
d) 20 cm.
e) 40 cm.

Resposta correta: b) 10 cm.

Resolução

V1 = 1,6 V2

Substituindo as fórmulas de volume do cilindro em V1 e V2:

pi. espaço r ao quadrado. h espaço igual a espaço 1 vírgula 6 espaço. espaço pi espaço. espaço r ao quadrado espaço. espaço x

Como o π aparece dos dois lados multiplicando, pode ser cancelado. Isolando x, temos:

bold italic x espaço igual a numerador espaço r ao quadrado. espaço h espaço sobre denominador 1 vírgula 6 espaço. espaço r com 2 subscrito ao quadrado fim da fração espaço igual a espaço numerador espaço 6 ² espaço. espaço 4 sobre denominador espaço 1 vírgula 6 espaço.3 ao quadrado fim da fração espaço igual a espaço numerador 144 espaço sobre denominador 14 vírgula 4 fim da fração espaço igual a espaço negrito 10 negrito espaço bold italic c bold italic m

Portanto, a altura x da lata mais alta é 10 cm.

Exercício 9

(Enem 2021) Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa d’agua do tipo A.

Se R denota o raio da caixa d’água do tipo A, então o raio da caixa d'água do tipo B é

a) R/2
b) 2 R
c) 4 R
d) 5 R
e) 16 R

Resposta correta: b) 2 R

Resolução

O enunciado diz que a altura de B é 25% da altura de A. Ou, seja, A é quatro vezes mais alta que B.

Sendo a, a altura da caixa A e, b, a altura da caixa B:

a = 4b

Sendo R o raio da caixa tipo A e, r a medida do raio da caixa B.

Como os volumes são iguais:

VA = VB

Substituindo pelas fórmulas do volume dos cilindros, que é π.r².h, temos:

pi espaço. espaço R ao quadrado espaço. espaço a espaço igual a espaço pi espaço. espaço r ao quadrado espaço. espaço b espaço espaço pi espaço. espaço R ao quadrado. espaço 4 b espaço igual a espaço pi espaço. espaço r ao quadrado. espaço b

Eliminando os termos iguais, que multiplicam dos dois lados da equação:

R ao quadrado. espaço 4 espaço igual a espaço r ao quadrado

Aplicando uma raiz quadrada aos dois lados da equação. (“jogando o expoente 2 de r para o lado esquerdo em forma de raiz quadrada”)

raiz quadrada de R ao quadrado espaço. espaço 4 fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de r ao quadrado fim da raiz R espaço. espaço 2 espaço igual a espaço r

Isso significa que, o raio da caixa d’água do tipo B tem o dobro do comprimento do raio da caixa d’água A.

Exercício 10

(Fuvest). A uma caixa d'água de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4 cm de diâmetro e 50 m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio.

Solta-se a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?

a) 90 cm.
b) 92 cm.
c) 94 cm.
d) 96 cm.
e) 98 cm.

Resposta correta: c) 94 cm

Resolução

Ideia 1: volume do cano

Sendo um cilindro, o volume é dado pelo produto entre a área de sua base e sua altura.

Volume = π.r².h

Nesse caso, sua altura será o comprimento de 50 m e a área da base igual a uma seção do cano.

O raio é a metade do diâmetro, e em metros, r = 0,02 m.

Volume do cano = π.0,02² . 50 = 0,02π

Ideia 2: volume da caixa

Sendo um cubo, altura = largura = comprimento

O enunciado diz que a medida dos lados do cubo é igual a 1 m.

Volume da caixa = 1 m³

Altura x largura x comprimento = 1 x 1 x 1 = 1 m³

Ideia 3: Nova altura

Como a quantidade de água do cano saiu da caixa, vamos fazer a subtração:

Novo volume de água na caixa = Volume da caixa - Volume do cano

Conforme a água sai da caixa, a única dimensão que pode mudar é a altura. A largura e comprimento continuam iguais a 1 m.

Altura x 1 x 1 = 1 - 0,02π

Fazendo π = 3

Altura = 1 - 0,06

Altura = 0,94

Conclusão

A nova altura (nível de água na caixa) é de 0,94 m.

Obs.: Mesmo considerando π = 3,1415 o resultado mais próximo ainda é a letra c. Veja:

Altura = 1 - 0,02 x 3,1415

Altura = 1 - 0,06283

Altura = 0,93717 (aproximadamente 0,94)

Exercício 11

(Cesgranrio) Um recipiente com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 40 cm e altura 100/π cm, armazena um certo líquido, que ocupa 40% de sua capacidade. O volume do líquido contido nesse recipiente é, em litros, aproximadamente, igual a:

a) 16
b) 18
c) 20
d) 30
e) 40

Resposta correta: a) 16

Resolução

Ideia 1: volume do cilindro

V = π.r².h

Substituindo os valores

V espaço igual a espaço numerador pi espaço. espaço 20 ao quadrado.100 sobre denominador espaço pi espaço fim da fração espaço V espaço igual a espaço 400 espaço. espaço 100 espaço igual a espaço 40 espaço 000 espaço c m ³

Ideia 2: volume do líquido

40 % de 40 000

numerador 40 sobre denominador espaço 100 fim da fração espaço asterisco espaço 40 espaço 000 espaço igual a espaço 16 espaço 000 espaço c m ao cubo

Ideia 3: Transformando de cm³ para litros

Para a água, 1 000 cm³ = 1 litro

Então, 16 000 cm³ = 16 l

Conclusão

Portanto, 40% do volume do cilindro equivale a 16 litros.

Exercício 12

(FGV-SP) Um cilindro circular reto de altura igual ao diâmetro da base está inscrito em um cone circular reto. O cone tem diâmetro 10, altura 12 e seu eixo de revolução coincide com o do cilindro.

O diâmetro da base do cilindro é igual a

a) 16/3
b) 60/11
c) 6.
d) 25/4.
e) 7.

Resposta correta: b) 60 / 11

Resolução

Ideia 1: ilustrando e identificando triângulos semelhantes

Fazendo uma seção meridional, ou, observando uma vista lateral:

Tomando uma metade da figura, temos:

O triângulo maior formado pela metade cone, é semelhante ao menor verde pois, seus ângulos são iguais. (caso A,A,A).

Ideia 2: usando proporções

Do lado esquerdo dividimos a altura do cone pela metade de sua base, no caso, 5.

Do lado direito dividimos a altura do triângulo verde, que é D, pela sua base, que é 5, menos a metade do diâmetro do cilindro, que é D/2.

numerador 12 espaço sobre denominador 5 fim da fração espaço igual a espaço numerador D sobre denominador 10 espaço menos começar estilo mostrar numerador espaço D sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração

Ajustanto do lado direito, temos:

numerador 12 espaço sobre denominador 5 fim da fração espaço igual a espaço numerador D sobre denominador começar estilo mostrar numerador 20 espaço menos espaço D sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração numerador 12 espaço sobre denominador 5 fim da fração espaço igual a espaço numerador 2 D sobre denominador começar estilo mostrar 20 espaço menos espaço D fim do estilo fim da fração

Podemos agora multiplicar cruzado

5 . 2D = 12 . (20 - D)
10D = 120 - 12D
22D = 120
D = 120 / 22

D = 60 / 11

Conclusão

Dessa forma, o diâmetro da base do cilindro é igual a 60/11.

Exercício 13

(PUC-PR). Um medicamento que dilata os vasos e artérias do corpo humano é ministrado e aumenta o diâmetro em 20% de determinada artéria.

Considerando que a artéria se assemelha a um cilindro circular reto, o fluxo sanguíneo nessa artéria aumenta em

a) 10%
b) 20%
c) 21%
d) 40%
e) 44%

Resposta correta: e) 44%

Resolução

Fluxo é a quantidade de massa que passa por uma área. Neste caso a quantidade de sangue que passa pela seção da artéria.

Ideia 1: A área da seção da artéria antes do medicamento

pi espaço. espaço r ao quadrado

Como o raio é a metade do diâmetro, podemos escrever:

pi espaço. espaço abre parênteses D sobre 2 fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço pi espaço. espaço D ao quadrado sobre 4

Ideia 2: A área depois do medicamento

Para aumentar em 20%, multiplicamos D por 1,2.

pi espaço. espaço abre parênteses numerador 1 vírgula 2 espaço D sobre denominador 2 fim da fração fecha parênteses ao quadrado espaço igual a pi espaço. espaço numerador 1 vírgula 44 espaço D ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração

Ideia 3: comparando as áreas de antes e depois

Para isso vamos dividir a área 2 pela 1

numerador começar estilo mostrar numerador começar estilo mostrar pi espaço.1 vírgula 44 espaço D ao quadrado fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar 4 fim do estilo fim da fração fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar numerador começar estilo mostrar pi espaço. espaço D ao quadrado fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar 4 espaço fim do estilo fim da fração fim do estilo fim da fração

Eliminando os termos semelhantes

numerador começar estilo mostrar numerador começar estilo mostrar diagonal para cima risco pi espaço.1 vírgula 44 espaço riscado diagonal para cima sobre D ao quadrado fim do riscado fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar diagonal para cima risco 4 fim do estilo fim da fração fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar numerador começar estilo mostrar diagonal para cima risco pi espaço. espaço riscado diagonal para cima sobre D ao quadrado fim do riscado fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar riscado diagonal para cima sobre 4 espaço fim do riscado fim do estilo fim da fração fim do estilo fim da fração espaço igual a espaço 1 vírgula 44

Conclusão

Desso modo, D2 foi multiplicado por 1,44, ou seja, um aumento de 44%.

Aprenda mais sobre cilindros.

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Geometria espacial

Rafael Asth
Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.