Exercícios sobre Volume da Pirâmide resolvidos

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

O volume da pirâmide corresponde a capacidade total deste sólido geométrico.

A pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal e seu volume está relacionado com sua base e altura.

Fórmula do volume da pirâmide

$começar estilo tamanho matemático 22px reto V espaço igual a espaço numerador reto A com reto b subscrito espaço. espaço reto h sobre denominador 3 fim da fração fim do estilo$

Onde,
V: volume da pirâmide
A_b: Área da base
h: altura

Questão 1

Determine o volume de uma pirâmide regular hexagonal de altura 30 cm e aresta de base de 20 cm.

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Resolução:

Primeiramente, temos de encontrar a área da base dessa pirâmide. Nesse exemplo, ela é um hexágono regular de lado l = 20 cm. Logo,

A_b = 6 . l²√3/4
A_b = 6 . 20²√3/4
A_b= 600√3 cm²

Feito isso, podemos substituir o valor da área da base na fórmula do volume:

V = 1/3 A_b.h
V = 1/3 . 600√3 . 30
V = 6000√3 cm³

Questão 2

Qual o volume de uma pirâmide regular com 9 m de altura e base quadrada com perímetro de 8 m?

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Resolução:

Para resolver esse problema, temos que estar atento ao conceito de perímetro. Ele é a soma de todos os lados de uma figura. Já que se trata de um quadrado, temos que cada lado tem medida de 2 m.

Assim, podemos encontrar a área da base:

A_b= 2² = 4 m

Feito isso, vamos substituir o valor na fórmula do volume da pirâmide:

V = 1/3 A_b.h
V = 1/3 4 . 9
V = 1/3 . 36
V = 36/3
V = 12 m³

Questão 3

(Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide será:

a) 36
b) 27
c) 18
d) 12
e) 4

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Resposta correta: d)12

Resolução

Dados:
Aresta da base = 3 m
Base quadrada
Altura = 4 m

O volume da pirâmide é a área da base vezes a altura, dividido por 3.

Área da base
Ab = L x L
Ab = 3 x 3 = 9 m²

Aplicando os valores na fórmula do volume:

$V espaço igual a espaço numerador A b espaço. espaço h sobre denominador 3 fim da fração V espaço igual a espaço numerador 9 espaço. espaço 4 sobre denominador 3 fim da fração igual a 36 sobre 3 igual a 12$

Desta forma, o volume da pirâmide é de 12 m³.

Questão 4

(Unifor-CE) Uma pirâmide regular tem 6√3 cm de altura e a aresta da base mede 8 cm. Se os ângulos internos da base e de todas as faces laterais dessa pirâmide somam 1800°, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:

a) 576
b) 576√3
c) 1728
d) 1728√3
e) 3456

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Resposta correta: a) 576

Resolução

Dados:
Aresta da base = 8 cm
Altura = 6√3 cm
Forma do polígono da base, ainda desconhecida.
Soma dos ângulos internos da base e dos lados = 1800°

Objetivo
Determinar o volume da pirâmide

Fórmula do volume da pirâmide
V = Ab . h / 3

Passo 1: descobrir o formato da base e calcular sua área

Como a pirâmide é regular, se trata de um polígono regular na base. Vamos chamar de n o número de lados deste polígono.

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é:

$S espaço igual a espaço parêntese esquerdo n menos 2 parêntese direito espaço. espaço 180$

Todos os lados de qualquer pirâmide são triângulos e, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. A pirâmide tem tantos lados quanto o número de lados na base, sendo assim, a soma dos ângulos das laterais é:

$S espaço igual a espaço 180 n$

A soma de todos os ângulos da pirâmide é:

$S com t o t a l subscrito fim do subscrito igual a parêntese esquerdo n menos 2 parêntese direito.180 espaço mais espaço 180 n$

Do enunciado, temos que a soma total é 1800°. Substituindo na fórmula e resolvendo para n, temos:

$1 espaço 800 espaço igual a espaço parêntese esquerdo n menos 2 parêntese direito.180 espaço mais espaço 180 n 1 espaço 800 espaço igual a 180 n espaço menos espaço 360 espaço mais espaço 180 n 1 espaço 800 espaço mais espaço 360 espaço igual a espaço 360 n 2160 espaço igual a espaço 360 n 2160 sobre 360 igual a n 6 espaço igual a espaço n$

A base é um hexágono e sua área á calculado como:

$A espaço igual a espaço numerador 3 L ao quadrado raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração$

Substituindo o valor de L fornecido no enunciado:

$A espaço igual a espaço numerador 3 espaço. espaço 8 ao quadrado raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração A espaço igual a numerador 3 espaço. espaço 64 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração A espaço igual a espaço numerador 192 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração A espaço igual a espaço 96 raiz quadrada de 3$

A área da base vale, portanto, $96 raiz quadrada de 3 espaço c m$ .

Passo 2: calcular o volume da pirâmide

Usando a fórmula do volume da pirâmide, temos:

$V espaço igual a espaço numerador A com b espaço espaço subscrito fim do subscrito. espaço h sobre denominador 3 fim da fração V espaço igual a espaço numerador 96 raiz quadrada de 3 espaço. espaço 6 raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração V espaço igual a espaço numerador 96 espaço. espaço 6 espaço. espaço raiz quadrada de 3 espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração V espaço igual a espaço numerador 576 espaço raiz quadrada de 9 sobre denominador 3 fim da fração V espaço igual a numerador 576 espaço. espaço 3 sobre denominador 3 fim da fração igual a numerador 576 espaço. espaço diagonal para cima risco 3 sobre denominador diagonal para cima risco 3 fim da fração igual a 576$

Com isso, o volume da pirâmide é de 576 cm³.

Questão 5

(Unirio-RJ) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15 cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:

a) 2√7
b) 3√7
c) 4√7
d) 5√7

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Resposta correta: b) 3√ 7

Resolução

Dados:
Aresta lateral = 15 cm
Aresta da base = 18 cm
Base na forma de um quadrado

Objetivo
Determinar a altura da pirâmide.

Passo 1: identificar um triângulo retângulo que contenha a altura

Onde,
h é a altura
d/2 é a metade da diagonal

Passo 2: determinar a diagonal

Aplicando o Teorema de Pitágoras na base onde d é a diagonal e L o lado.

$d ao quadrado igual a L ao quadrado mais L ao quadrado d ao quadrado igual a 18 ao quadrado mais 18 ao quadrado d ao quadrado igual a 324 espaço mais espaço 324 d ao quadrado igual a 648 d igual a raiz quadrada de 648$

Passo 3: determinando a altura h

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado onde d/2 é a metade da diagonal e a hipotenusa 15 cm,
$15 ao quadrado igual a h ao quadrado mais abre parênteses d sobre 2 fecha parênteses 225 espaço igual a espaço h ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses abre parênteses raiz quadrada de 648 fecha parênteses ao quadrado sobre 2 ao quadrado fecha parênteses 225 espaço menos espaço 648 sobre 4 espaço igual a espaço h ao quadrado 225 espaço menos 162 espaço espaço igual a h ao quadrado 63 espaço igual a espaço h ao quadrado raiz quadrada de 63 espaço igual a espaço h$

Fatorando o 63,

$h igual a raiz quadrada de 63 igual a raiz quadrada de 3 ao quadrado.7 fim da raiz igual a raiz quadrada de 3 ao quadrado fim da raiz. espaço raiz quadrada de 7 espaço igual a espaço 3 raiz quadrada de 7$

Desta forma, a altura da pirâmide é de $3 raiz quadrada de 7$ cm.

Questão 6

(Enem ) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

$a parêntese direito espaço 156 espaço c m ao cubo espaço. espaço espaço b parêntese direito espaço 189 espaço c m ao cubo espaço. c parêntese direito espaço 192 espaço c m ao cubo espaço. espaço d parêntese direito espaço 216 espaço c m ao cubo espaço. espaço e parêntese direito espaço 540 espaço c m ao cubo espaço.$

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Resposta correta: $b parêntese direito espaço 189 espaço c m ao cubo$ .

Resolução

Dados
Pirâmide de base quadrangular
19 cm de altura
6 cm de aresta da base
1 cm de distância entre os blocos
Blocos com mesma altura

Pirâmide superior
1,5 cm de aresta da base

Objetivo
Calcular o volume dos troncos de pirâmide, sem considerar a pirâmide superior.

Estratégia
volume dos troncos = volume total - volume da pirâmide de cima

Passo 1: calcular o volume total

Área da base da pirâmide maior
Ab = L . L = 6 . 6 = 36

Altura
Deve-se descontar 3 cm da altura total de 19 cm pois, há um espaço de 1 cm entre os segmentos.
h = 19 - 3 = 16 cm

Volume da pirâmide maior

$V espaço igual a espaço numerador A b espaço. espaço h sobre denominador 3 fim da fração espaço igual a espaço numerador 36 espaço. espaço 16 sobre denominador 3 fim da fração igual a 192 espaço c m ao cubo$

Passo 2: calcular o volume da pirâmide de cima

Área da base da pirâmide de cima
Ab = 1,5 . 1,5 = 2,25

Altura da pirâmide de cima
Calculamos que a altura do corpo da vela, sem considerar os espaços vazios entre os blocos é de 16 cm.
Os blocos possuem mesma altura, sendo assim, a altura do bloco menor é:

hm = 16 / 4 = 4 cm

Volume da pirâmide menor

$V com m subscrito igual a numerador A b espaço. espaço h m sobre denominador 3 fim da fração igual a numerador 2 vírgula 25 espaço. espaço 4 sobre denominador 3 fim da fração igual a 3 espaço c m ao cubo$

Passo 3: calcular volume dos troncos

volume dos troncos = volume total - volume da pirâmide de cima

volume dos troncos = 192 - 3 = 189 cm³

Conclusão
O dono da fábrica passará a gastar 189 cm³ com parafina para fabricar uma vela.

Questão 7

(PUC - RJ 2016) Numa pirâmide de base quadrada, todas as arestas medem x. Quanto vale o volume da pirâmide?

a) √2/6 x³

b) π x²

c) x³ + x² + x + 1

d) x³

e) √6/3 x³

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Resposta correta: a) √2/6 x³

Resolução

Dados
Medida das arestas = x
Medida da altura: desconhecida

Objetivo
Calcular o volume da pirâmide em função de x.

Fórmula do volume da pirâmide
$V espaço igual a espaço numerador A b espaço. espaço h sobre denominador 3 fim da fração$

Passo 1: determinar a altura h

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo, temos:

$x ao quadrado igual a h ao quadrado mais espaço abre parênteses d sobre 2 fecha parênteses ao quadrado x ao quadrado igual a h ao quadrado mais espaço d ao quadrado sobre 4 espaço parêntese recto esquerdo e q u a ç ã o espaço 1 parêntese recto direito$

Onde d é a diagonal do quadrado da base.

Diagonal da base
Aplicando o Teorema de Pitágoras na base, temos:

$d ao quadrado igual a x ao quadrado espaço mais espaço x ao quadrado$

Substituindo d² na equação 1:

$x ao quadrado igual a h ao quadrado mais espaço d ao quadrado sobre 4 espaço parêntese recto esquerdo e q u a ç ã o espaço 1 parêntese recto direito x ao quadrado igual a h ao quadrado mais espaço numerador x ao quadrado mais espaço x ao quadrado sobre denominador 4 fim da fração x ao quadrado igual a h ao quadrado mais espaço numerador 2 x ao quadrado sobre denominador 4 fim da fração x ao quadrado igual a h ao quadrado mais espaço x ao quadrado sobre 2 x ao quadrado espaço menos espaço x ao quadrado sobre 2 espaço igual a espaço h ao quadrado numerador 2 x ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração espaço menos espaço x ao quadrado sobre 2 espaço igual a espaço h ao quadrado x ao quadrado sobre 2 igual a h ao quadrado numerador x sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a h$

Passo 2: área da base

$A com b subscrito igual a x espaço. espaço x espaço igual a espaço x ao quadrado$

Passo 3: volume da pirâmide em função de x

$V espaço igual a espaço numerador A b espaço. espaço h sobre denominador 3 fim da fração V espaço igual a espaço numerador x ao quadrado espaço. espaço começar estilo mostrar numerador x sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração fim do estilo sobre denominador 3 fim da fração V espaço igual a espaço numerador começar estilo mostrar numerador x ao cubo sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração fim do estilo sobre denominador 3 fim da fração igual a numerador x ao cubo sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração espaço. espaço 1 terço igual a numerador x ao cubo sobre denominador 3 raiz quadrada de 2 fim da fração$

Como há uma raiz no denominador, devemos racionalizar a fração. Fazemos isto multiplicando o denominador e o numerador por $raiz quadrada de 2$ .

$numerador x ao cubo sobre denominador 3 raiz quadrada de 2 fim da fração espaço. numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador x ao cubo raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 raiz quadrada de 4 fim da fração igual a numerador x ao cubo raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 espaço. espaço 2 fim da fração igual a numerador x ao cubo raiz quadrada de 2 sobre denominador 6 fim da fração$

Questão 8

(EEAR 2021) Considere uma pirâmide quadrangular regular de 75 cm³ de volume. Se 5 cm é a medida da aresta da base dessa pirâmide, então sua altura mede ____ cm.

a) 9
b) 6
c) 5
d) 3

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Resposta correta: 9

Resolução

Dados
Base quadrangular
Volume = 75 cm³
Aresta da base = 5 cm

Objetivo
Determinar a altura h

Área da base
Ab = 5 . 5 = 25

Fórmula do volume da pirâmide
$V espaço igual a espaço numerador A com b subscrito espaço. espaço h sobre denominador 3 fim da fração$

Isolando h
$numerador 3 V sobre denominador A com b subscrito fim da fração igual a h numerador 3 espaço. espaço 75 sobre denominador 25 fim da fração igual a h 9 espaço igual a espaço h$

A altura da pirâmide é de 9 cm.

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.