Exercícios de cone (com respostas explicadas)

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Os cones são sólidos geométricos de revolução que têm como características uma base circular e um vértice. Pratique este tema com esta lista de exercícios sobre cones e tire suas dúvidas com as respostas explicadas.

Questão 1

Determine o volume de um cone com raio da base de 6 cm e altura de 5 cm.
Utilize $reto pi igual a 3$ .

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Resposta: 180 cm³

Para determinar o volume de um cone, utilizamos a fórmula:

$reto V igual a numerador reto pi. reto r ao quadrado. reto h sobre denominador 3 fim da fração$

Substituindo os valores na fórmula, obtemos:

$reto V igual a numerador reto pi. reto r ao quadrado. reto h sobre denominador 3 fim da fração reto V igual a numerador 3.6 ao quadrado.5 sobre denominador 3 fim da fração igual a negrito 180 negrito espaço bold italic c bold italic m à potência de negrito 3$

Questão 2

Determine a área total de um sólido de revolução formado a partir de um triângulo retângulo isósceles de catetos iguais a 1 cm.

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Resposta: $reto pi mais reto pi raiz quadrada de 2 cm ao quadrado$

A revolução de um triângulo forma um cubo. Sendo o triângulo retângulo isósceles de catetos igual a 1 cm, estas serão as medidas do raio e da altura.

A área total é a área da base mais a área lateral.

Área da base

$reto A com base subscrito igual a reto pi. reto R ao quadrado reto A com base subscrito igual a reto pi.1 ao quadrado reto A com base subscrito igual a reto pi espaço cm ao quadrado$

Área lateral

Para o cálculo da área lateral, precisamos utilizar a figura de forma planificada.

Assim, a área lateral de um cone é a área de um setor circular em que o arco mede 2 $reto pi$ R, logo:

$2 reto pi reto R igual a 2 reto pi.1 espaço cm espaço igual a espaço 2 reto pi espaço cm$

O arco do círculo completo seria $2 reto pi reto g$ , em que g é a geratriz do cone.

Pelo teorema de Pitágoras:

$g ao quadrado igual a 1 ao quadrado mais 1 ao quadrado g igual a raiz quadrada de 2$

Assim, o arco da circunferência completa seria $2 reto pi raiz quadrada de 2$ cm.

A área do círculo completo:

$reto pi. reto g ao quadrado igual a reto pi. raiz quadrada de 2 ao quadrado igual a 2 reto pi espaço cm ao quadrado$

Montando uma proporção, temos:

$numerador arco espaço total sobre denominador área espaço total fim da fração igual a numerador arco espaço do espaço setor sobre denominador área espaço do espaço setor fim da fração área espaço do espaço setor igual a numerador arco espaço do espaço setor espaço. espaço área espaço total sobre denominador arco espaço total fim da fração$

Substituindo os valores:

$área espaço do espaço setor igual a numerador 2 reto pi espaço. espaço 2 reto pi sobre denominador 2 reto pi raiz quadrada de 2 fim da fração área espaço do espaço setor igual a numerador 2 reto pi sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração espaço área espaço do espaço setor igual a numerador 2 reto pi sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração. numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador 2 reto pi raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração igual a reto pi raiz quadrada de 2 espaço cm ao quadrado$

A área total do cone será:

área total = área da base + área lateral = $reto pi mais reto pi raiz quadrada de 2 cm ao quadrado$

Questão 3

Em um cone com volume de $raiz quadrada de 567$ cm³ e raio da base de 3 cm, determine a medida de sua geratriz. Utilize $reto pi igual a 3$ .

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Resposta:

Para determinar a geratriz do cone, precisamos do raio da base, fornecido no enunciado, e da altura.

Podemos determinar a altura a partir do volume.

O volume de um cone é dado por:

$reto V igual a numerador reto pi. reto r ao quadrado. reto h sobre denominador 3 fim da fração raiz quadrada de 567 igual a numerador 3. reto r ao quadrado. reto h sobre denominador 3 fim da fração raiz quadrada de 567 igual a reto r ao quadrado. reto h$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$raiz quadrada de 567 igual a reto r ao quadrado. reto h abre parênteses raiz quadrada de 567 fecha parênteses ao quadrado igual a abre parênteses reto r ao quadrado. reto h fecha parênteses ao quadrado 567 igual a reto r à potência de 4. reto h ao quadrado$

Substituindo o valor do raio:

$567 igual a 3 à potência de 4. reto h ao quadrado 567 igual a 81. reto h ao quadrado 567 sobre 81 igual a reto h ao quadrado 7 igual a reto h ao quadrado raiz quadrada de 7 igual a reto h$

Cálculo da geratriz.

Pelo teorema de Pitágoras:

$g ao quadrado igual a h ao quadrado mais r ao quadrado reto g ao quadrado igual a abre parênteses raiz quadrada de 7 fecha parênteses ao quadrado mais 3 ao quadrado reto g ao quadrado igual a 7 espaço mais espaço 9 reto g ao quadrado igual a 16 negrito g negrito igual a negrito 4 negrito espaço negrito cm$

Questão 4

Em festas de aniversário é comum o uso de um chapéu em forma de um cone. Para sua fabricação é utilizado uma folha plana de papel, como no molde a seguir.

Para produzir um chapéu na forma de cone com raio da base com 10 cm e altura de 15 cm, qual deve ser a área do molde?

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Resposta:

A área do setor circular pode ser calculada com um regra de três.

Onde:

$arco espaço do espaço setor espaço igual a espaço 2 reto pi reto r espaço igual a espaço 2 reto pi 10 espaço igual a espaço 20 reto pi espaço cm$

$área espaço total igual a reto pi. reto g ao quadrado igual a 325 reto pi espaço cm ao quadrado$

$arco espaço total igual a 2 reto pi reto g$

Em que g é a geratriz do cone, calculada pelo teorema de Pitágoras.

$reto g ao quadrado igual a reto r ao quadrado mais reto h ao quadrado reto g ao quadrado igual a 10 ao quadrado mais 15 ao quadrado reto g igual a raiz quadrada de 325 espaço cm$

Assim, o arco total é:

$arco espaço total igual a 2 reto pi raiz quadrada de 325 espaço cm$

Substituindo os valores na regra de três:

$área espaço do espaço setor igual a numerador arco espaço do espaço setor espaço. espaço área espaço total sobre denominador arco espaço total fim da fração área espaço do espaço setor igual a numerador 20 reto pi espaço. espaço 325 reto pi sobre denominador 2 reto pi raiz quadrada de 325 fim da fração igual a numerador 6.500 reto pi ao quadrado sobre denominador 2 reto pi raiz quadrada de 325 fim da fração igual a numerador 3250 reto pi sobre denominador raiz quadrada de 325 fim da fração$

Racionalizando para retirar a raiz do denominador:

$numerador 3250 reto pi sobre denominador raiz quadrada de 325 fim da fração. numerador raiz quadrada de 325 sobre denominador raiz quadrada de 325 fim da fração igual a numerador 3250 reto pi raiz quadrada de 325 sobre denominador 325 fim da fração igual a 10 reto pi raiz quadrada de 325 espaço cm ao quadrado$

Para um valor aproximado, podemos fazer $reto pi aproximadamente igual 3 vírgula 14$ e $raiz quadrada de 325 aproximadamente igual 18$ .

$10 reto pi raiz quadrada de 325 igual a 10 espaço. espaço 3 vírgula 14 espaço. espaço 18 espaço igual a 565 vírgula 2 espaço cm ao quadrado espaço espaço$

Questão 5

(EsPCEx 2014) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em cm³) é igual a

a) $1 terço reto pi$

b) $2 sobre 3 reto pi$

c) $4 sobre 3 reto pi$

d) $8 sobre 3 reto pi$

e) 3 $reto pi$

Questão 6

(UFU-MG 2017) Um recipiente cônico utilizado em experiências de química deve ter duas marcas horizontais circulares, uma situada a 1 centímetro do vértice do cone, marcando um certo volume v, e outra marcando o dobro deste volume, situada H a centímetros do vértice, conforme figura.

Nestas condições, a distância H, em centímetros, é igual a:

a) $cúbica raiz de 2$

b) √3

c) 4/3

d) 3/2

Questão 7

(Enem 2021) No desenho técnico, é comum representar um sólido por meio de três vistas (frontal, perfil e superior), resultado da projeção do sólido em três planos, perpendiculares dois a dois.

A figura representa as vistas de uma torre.

Com base nas vistas fornecidas, qual figura melhor representa essa torre?

Questão 8

(Enem 2021) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:

• copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;

• copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.

Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.

Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:

$reto V com tronco espaço do espaço cone subscrito fim do subscrito igual a numerador reto pi reto h sobre denominador 3 fim da fração parêntese esquerdo reto R ao quadrado mais reto r ao quadrado mais Rr parêntese direito$

O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y² seja, no mínimo, igual a

a) 2,664 cm.

b) 7,412 cm.

c) 12,160 cm.

d) 14,824 cm.

e) 19,840 cm.

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.