Equação exponencial

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Uma equação é exponencial quando a incógnita (valor desconhecido) está no expoente de uma potência. Assim, uma sentença matemática que envolve a igualdade entre dois termos, onde a incógnita aparece em pelo menos um expoente, é denominada equação exponencial.

Uma potência é o resultado do produto de sua base por ela mesma, tantas vezes quanto determinado pelo expoente.

Em uma equação exponencial determinamos quantos fatores são multiplicados, ou seja, quantas vezes a base se multiplica, a fim de obtermos um determinado resultado.

Definição de equação exponencial:

$começar estilo tamanho matemático 18px reto b à potência de reto x igual a reto a fim do estilo$

Onde:

b é a base;
x é o expoente (incógnita);
a é a potência.

Em que $reto b não igual 1 espaço reto e espaço reto b maior que 0$ e $reto a não igual 0$ .

Exemplo de equação exponencial:

$2 à potência de reto x igual a 8$

A variável desconhecida está no expoente. Devermos determinar quantas vezes o 2 irá se multiplicar para resultar em 8. Como 2 . 2 . 2 = 8, x = 3, pois o 2 deve se multiplicar três vezes para obtermos 8 como resultado.

Como resolver equações exponenciais

As equações exponenciais podem ser escritas de várias formas e para resolvê-las, utilizaremos que potências iguais de bases iguais, obrigatoriamente também possuem os mesmos expoentes.

Como a função exponencial é injetiva, temos:

$reto b à potência de reto x com 1 subscrito fim do exponencial igual a reto b à potência de reto x com 2 subscrito fim do exponencial espaço seta dupla para a esquerda e para a direita espaço reto x com 1 subscrito igual a reto x com 2 subscrito$

Isto significa que duas potências com a mesma base serão iguais se e somente se seus expoentes também forem iguais.

Assim, uma estratégia para resolver equações exponenciais é igualar as bases das potências. Uma vez que as bases estejam iguais, podemos eliminá-las e comparar os expoentes.

Para igualar as bases das potências em uma equação exponencial, utilizamos ferramentas matemáticas como a fatoração e as propriedades da potenciação.

Exemplos de resoluções de equações exponenciais

Exemplo 1
$2 à potência de reto x igual a 64$

Se trata de uma equação exponencial, pois a sentença envolve uma igualdade (equação) e, a variável desconhecida x está no expoente (exponencial).

Para determinar o valor da incógnita x, igualamos as bases das potências, usando a fatoração do 64.

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ou $2 à potência de 6$

Substituindo na equação:

$2 à potência de reto x igual a 2 à potência de 6$

Desconsideramos as bases, restando apenas a igualdade entre os expoentes.

x = 6

Assim, x = 6 é o resultado da equação.

Exemplo 2
$9 à potência de reto x mais 1 fim do exponencial igual a 81$

Igualamos as bases utilizando fatoração.

9 = 3 . 3 = $3 ao quadrado$
81 = 3 . 3 . 3 . 3 = $3 à potência de 4$

Substituindo na equação:

$abre parênteses 3 ao quadrado fecha parênteses à potência de x mais 1 fim do exponencial igual a 3 à potência de 4$

Utilizando a propriedade de potência de uma potência, multiplicamos os expoentes do lado esquerdo.

$3 à potência de 2 x mais 2 fim do exponencial igual a 3 à potência de 4$

Com as bases igualadas podemos descartá-las e igualar os expoentes.

$2 reto x mais 2 igual a 4 2 reto x igual a 4 menos 2 2 reto x igual a 2 reto x igual a 2 sobre 2 igual a 1$

Assim, x = 1 é o resultado da equação.

Exemplo 3

$0 vírgula 75 à potência de reto x igual a 9 sobre 16 espaço$

Transformamos a base 0,75 em uma fração centesimal.

$abre parênteses 75 sobre 100 fecha parênteses à potência de reto x igual a 9 sobre 16 espaço$

Simplificamos a fração centesimal.

$abre parênteses 3 sobre 4 fecha parênteses à potência de reto x igual a 9 sobre 16 espaço$

Fatoramos o 9 e o 16.

$abre parênteses 3 sobre 4 fecha parênteses à potência de reto x igual a 3 ao quadrado sobre 4 ao quadrado$

Igualando as bases, temos que x = 2.

$abre parênteses 3 sobre 4 fecha parênteses à potência de reto x igual a abre parênteses 3 sobre 4 fecha parênteses ao quadrado$

x = 2

Exemplo 4

$4 à potência de x igual a cúbica raiz de 32$

Transformamos a raiz em uma potência.

$4 à potência de x igual a 32 à potência de 1 terço fim do exponencial$

Fatoramos as bases das potências.

$abre parênteses 2 ao quadrado fecha parênteses à potência de x igual a abre parênteses 2 à potência de 5 fecha parênteses à potência de 1 terço fim do exponencial$

Multiplicando os expoentes, igualamos as bases.

$2 à potência de 2 x fim do exponencial igual a 2 à potência de 5 sobre 3 fim do exponencial$

Logo, temos que:

$2 reto x igual a 5 sobre 3 reto x igual a numerador 5 sobre denominador 2.3 fim da fração igual a 5 sobre 6$

Exemplo 5

$25 à potência de reto x menos 6.5 à potência de reto x mais 5 igual a 0$

Fatorando o 25

$abre parênteses 5 ao quadrado fecha parênteses à potência de reto x menos 6.5 à potência de reto x mais 5 igual a 0$

Reescrevemos a potência de 5² elevado a x. Mudando a ordem dos expoentes.

$abre parênteses 5 à potência de x fecha parênteses ao quadrado menos 6.5 à potência de reto x mais 5 igual a 0$

Utilizamos uma variável auxiliar, que chamaremos de y.

$5 à potência de reto x igual a reto y$ (guarde esta equação, vamos usá-la logo a frente).

Substituindo na equação anterior.

$reto y ao quadrado menos 6. reto y mais 5 igual a 0 reto y ao quadrado menos 6 reto y mais 5 igual a 0$

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 6 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.5 incremento igual a 36 menos 20 incremento igual a 16$

$reto y com 1 subscrito igual a numerador menos reto b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 6 parêntese direito mais raiz quadrada de 16 sobre denominador 2.1 fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador 6 mais 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 10 sobre 2 igual a 5$

$reto y com 2 subscrito igual a numerador menos reto b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração reto y com 2 subscrito igual a numerador 6 menos 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 2 sobre 2 igual a 1$

O conjunto solução para a equação do segundo grau é {1, 5}, no entanto, essa não é a solução da equação exponencial. Devemos voltar para a variável x, usando $5 à potência de reto x igual a reto y.$

Para y = 1:

$5 à potência de reto x igual a 1 5 à potência de reto x igual a 5 à potência de 0 reto x igual a 0$

Para y = 5:

$5 à potência de x igual a 5 à potência de 1 x igual a 1$

O conjunto solução para a equação exponencial é S={0, 1}.

Aprenda mais sobre potências:

Para exercícios:

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.