Exercícios de equações exponenciais resolvidos

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Pratique seus conhecimentos sobre equações exponenciais. Aproveite para tirar as dúvidas com os exercícios resolvidos passo a passo.

Questão 1

Resolva a seguinte equação exponencial: $quinta raiz de 2 à potência de reto x fim da raiz igual a 1 sobre 32$ .

Ver Resposta

Resposta: x = -25

Vamos igualar as bases das potências utilizando fatoração, propriedades de potências e radiciação.

$quinta raiz de 2 à potência de reto x fim da raiz igual a 1 sobre 32 2 à potência de x sobre 5 fim do exponencial igual a abre parênteses 32 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 2 à potência de x sobre 5 fim do exponencial igual a abre parênteses 2 à potência de 5 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 2 à potência de x sobre 5 fim do exponencial igual a 2 à potência de menos 5 fim do exponencial$

Eliminamos as bases e igualamos os expoentes.

$reto x sobre 5 igual a menos 5 reto x igual a menos 5 espaço. espaço 5 espaço reto x igual a menos 25$

Questão 2

Determine o valor de x que torna a igualdade verdadeira na equação: $5 à potência de reto x igual a 1 sobre 25$ .

Ver Resposta

Resposta: x = -2.

Igualando as bases:

$5 à potência de reto x igual a 1 sobre 25 5 à potência de reto x igual a abre parênteses 25 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 5 à potência de reto x igual a abre parênteses 5 ao quadrado fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial 5 à potência de reto x igual a 5 à potência de menos 2 fim do exponencial$

Eliminamos as bases e igualamos os expoentes.

$reto x igual a menos 2$

Questão 3

Resolva a equação exponencial $3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 3 à potência de reto x igual a 6$ .

Ver Resposta

Resposta: x = 1.

Vamos utilizar uma incógnita auxiliar:

$reto y igual a 3 à potência de reto x$

Substituindo na equação:

$3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 3 à potência de reto x igual a 6$

$reto y ao quadrado menos reto y igual a 6 reto y ao quadrado menos reto y menos 6 igual a 0$

Resolvendo a equação do segundo grau em y:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a abre parênteses menos 1 fecha parênteses ao quadrado menos 4.1. abre parênteses menos 6 fecha parênteses incremento igual a 1 mais 24 incremento igual a 25$

$reto y com 1 subscrito igual a numerador menos reto b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais raiz quadrada de 25 sobre denominador 2.1 fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador 1 mais 5 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3$

$reto y com 2 subscrito igual a numerador menos reto b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração reto y com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito menos raiz quadrada de 25 sobre denominador 2.1 fim da fração y com 2 subscrito igual a numerador 1 menos 5 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2$

Agora, para cada valor de y, determinamos o x correspondente.

$reto y igual a 3 à potência de reto x 3 igual a 3 à potência de reto x 3 à potência de 1 igual a 3 à potência de reto x 1 igual a reto x$

Como para y = -2 não há raiz, a solução é x = 1.

Questão 4

Determine o conjunto solução de $3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 12 espaço. espaço 3 à potência de reto x espaço mais espaço 27 igual a 0$ .

Ver Resposta

Resposta: S={1, 2}

$3 à potência de 2 reto x fim do exponencial menos 12 espaço. espaço 3 à potência de reto x espaço mais espaço 27 igual a 0 reto y ao quadrado menos 12 reto y mais 27 igual a 0$

Resolvendo a equação do segundo grau:

$incremento igual a parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.27 incremento igual a 144 menos 4.1.27 incremento igual a 144 menos 108 incremento igual a 36$

$reto y com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito mais raiz quadrada de 36 sobre denominador 2.1 fim da fração reto y com 1 subscrito igual a numerador 12 mais 6 sobre denominador 2 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9$

$reto y com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito menos raiz quadrada de 36 sobre denominador 2.1 fim da fração reto y com 2 subscrito igual a numerador 12 menos 6 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3$

Para cada valor de y, determinamos o correspondente em x.

$reto y com 1 subscrito igual a 3 à potência de reto x 9 igual a 3 à potência de reto x 3 ao quadrado igual a 3 à potência de reto x 2 igual a reto x$

$reto y com 2 subscrito igual a 3 à potência de reto x 3 igual a 3 à potência de reto x 3 à potência de 1 igual a 3 à potência de reto x 1 igual a reto x$

Assim, o conjunto solução é S={1, 2}

Questão 5

Resolva a seguinte equação exponencial: $cúbica raiz de 3 à potência de reto x menos 5 fim do exponencial fim da raiz igual a 27$ .

Ver Resposta

Resposta: x = 14

Vamos igualar as bases das potências em ambos os lados da equação.

Para isso, transformamos a raiz em uma potência com expoente fracionário e fatoramos o 27.

$cúbica raiz de 3 à potência de reto x menos 5 fim do exponencial fim da raiz igual a 27 abre parênteses 3 à potência de reto x menos 5 fim do exponencial fecha parênteses à potência de 1 terço fim do exponencial igual a 3 ao cubo$

Fazendo a distributiva do 1/3, temos:

$3 à potência de reto x sobre 3 menos 5 sobre 3 fim do exponencial igual a 3 ao cubo$

Uma vez que as bases estejam iguais, podemos eliminá-las, deixando apenas os expoentes.

$reto x sobre 3 menos 5 sobre 3 igual a 3 numerador reto x menos 5 sobre denominador 3 fim da fração igual a 3 reto x menos 5 igual a 3.3 reto x menos 5 igual a 9 reto x igual a 9 mais 5$

Desta forma, x = 14.

Questão 6

(PUC-RJ 2014) O número de bactérias N em um meio de cultura que cresce exponencialmente pode ser determinado pela equação $reto N igual a reto N com 0 subscrito reto e à potência de kt$ em que No é a quantidade inicial, isto é, No = N (0) e k é a constante de proporcionalidade. Se inicialmente havia 5000 bactérias na cultura e 8000 bactérias 10 minutos depois, quanto tempo será necessário para que o número de bactérias se torne duas vezes maior que o inicial? (Dados ln 2 = 0,69 e ln 5 = 1,61)

a) 11 minutos e 25 segundos.

b) 11 minutos e 15 segundos.

c)15 minutos.

d) 25 minutos.

e) 25 minutos e 30 segundos.

Ver Resposta

Resposta: c) 15 minutos

Temos que inicialmente havia 5000 bactérias, logo $N com 0 subscrito igual a 5000$ .

Também sabemos que quanto t = 10, N = 8000. Substituindo estes valores na equação:

$reto N igual a reto N com 0 subscrito reto e à potência de kt 8000 igual a 5000 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial$

Podemos dividir ambos os lados por 1000.

$8 igual a 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial$

Fatorando o 8 e escrevendo na base 2:

$2 ao cubo igual a 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial$

O enunciado nos fornece os valores de logaritmos. É importante saber que:

$ln espaço reto e espaço igual a espaço 1$

Voltando para linha anterior, vamos aplicar o ln dos dois lados da equação.

$2 ao cubo igual a 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial ln 2 ao cubo igual a ln 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial$

Utilizando as propriedades dos logaritmos:

$ln espaço 2 ao cubo igual a ln espaço 5 reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial 3. ln espaço 2 igual a ln espaço 5 espaço mais espaço ln espaço reto e à potência de reto k 10 fim do exponencial$

Vamos substituir os valores dos logaritmos já conhecidos.

$3. ln espaço 2 igual a ln espaço 5 espaço mais espaço k 10 ln espaço reto e 3. espaço 0 vírgula 69 igual a 1 vírgula 61 espaço mais reto k 10 espaço. espaço 1 espaço 2 vírgula 07 espaço igual a espaço 1 vírgula 61 espaço mais espaço 10 reto k 2 vírgula 07 espaço menos espaço 1 vírgula 61 espaço igual a espaço 10 reto k 0 vírgula 46 espaço igual a espaço 10 reto k reto k igual a numerador 0 vírgula 46 sobre denominador 10 fim da fração reto k igual a 0 vírgula 046$

O dobro da quantidade inicial são 10 000 bactérias, então:

$10 espaço 000 espaço igual a espaço 5 espaço 000. reto e à potência de reto k. reto t fim do exponencial numerador 10 espaço 000 sobre denominador 5 espaço 000 fim da fração igual a reto e à potência de reto k. reto t fim do exponencial 2 igual a reto e à potência de reto k. reto t fim do exponencial$

Aplicando mais uma vez ln dos dois lados da igualdade:

$ln espaço 2 espaço igual a espaço reto k. reto t. espaço ln espaço reto e 0 vírgula 69 espaço igual a espaço 0 vírgula 046 espaço. espaço reto t espaço reto t igual a numerador 0 vírgula 69 sobre denominador 0 vírgula 046 fim da fração reto t igual a 15$

Questão 7

(FGV 2020) No conjunto dos números reais, a equação exponencial 2^x+2 + 8^x = 4^x+1 possui

a) zero raiz.

b) uma raiz.

c) duas raízes.

d) três raízes.

e) quatro raízes.

Ver Resposta

Resposta: b) uma raiz.

$2 à potência de x mais 2 fim do exponencial mais espaço 8 à potência de x espaço igual a espaço 4 à potência de x mais 1 fim do exponencial 2 à potência de x mais 2 fim do exponencial mais espaço abre parênteses 2 ao cubo fecha parênteses à potência de x espaço igual a espaço abre parênteses 2 ao quadrado fecha parênteses à potência de x mais 1 fim do exponencial 2 à potência de x mais 2 fim do exponencial mais espaço 2 à potência de 3 x fim do exponencial espaço igual a espaço 2 à potência de 2 x mais 2 fim do exponencial 2 à potência de x. espaço 2 ao quadrado mais espaço 2 à potência de 3 x fim do exponencial igual a 2 à potência de 2 x fim do exponencial. espaço 2 ao quadrado$

Fazendo $reto y espaço igual a espaço 2 à potência de reto x$

$2 à potência de reto x. espaço 2 ao quadrado mais espaço 2 à potência de 3 reto x fim do exponencial igual a 2 à potência de 2 reto x fim do exponencial. espaço 2 ao quadrado reto y espaço. espaço 4 espaço mais espaço reto y ao cubo igual a reto y ao quadrado espaço. espaço 4 4 reto y espaço mais espaço reto y ao cubo espaço igual a espaço 4 reto y ao quadrado$

Dividindo todos os termos por y:

$numerador 4 reto y sobre denominador reto y fim da fração espaço mais espaço numerador reto y ao cubo espaço sobre denominador reto y fim da fração igual a numerador espaço 4 reto y ao quadrado sobre denominador reto y fim da fração 4 espaço mais espaço reto y ao quadrado igual a 4 reto y reto y ao quadrado menos 4 reto y mais 4 igual a 0$

Resolvendo a equação do segundo grau:

$incremento igual a b ao quadrado menos 4 a c incremento igual a parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.4 incremento igual a 16 menos 16 incremento igual a 0$

Como delta é igual a zero, a equação tem apenas uma raiz, logo a equação em x também terá apenas uma.

$reto y igual a numerador menos reto b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2.1 fim da fração reto y igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito mais ou menos raiz quadrada de 0 sobre denominador 2 fim da fração reto y igual a 4 sobre 2 igual a 2$

Voltando a equação $reto y espaço igual a espaço 2 à potência de reto x$ .

$reto y espaço igual a espaço 2 à potência de reto x 2 igual a 2 à potência de reto x 2 à potência de 1 igual a 2 à potência de reto x reto x igual a 1$

Questão 8

(UFJF) A diferença entre o maior e o menor valor de x, na equação exponencial

a)1

b) 7

c) 1/2

d) 7/2

e) -3/2

Ver Resposta

Resposta: b) 7

Vamos elevar o lado direito a -1, assim invertemos a fração.

$25 à potência de abre parênteses reto x ao quadrado sobre 2 mais 4 reto x menos 15 fecha parênteses fim do exponencial igual a 1 sobre 125 à potência de parêntese esquerdo menos 3 reto x mais 6 parêntese direito fim do exponencial 25 à potência de abre parênteses reto x ao quadrado sobre 2 mais 4 reto x menos 15 fecha parênteses fim do exponencial igual a abre colchetes 125 à potência de parêntese esquerdo menos 3 reto x mais 6 parêntese direito fim do exponencial fecha colchetes à potência de menos 1 fim do exponencial$

Distribuindo o expoente -1:

$25 à potência de abre parênteses reto x ao quadrado sobre 2 mais 4 reto x menos 15 fecha parênteses fim do exponencial igual a 125 à potência de parêntese esquerdo 3 reto x menos 6 parêntese direito fim do exponencial$

Fatorando as bases 25 e 125, escrevendo-as na base 5.

$5 ao quadrado à potência de abre parênteses reto x ao quadrado sobre 2 mais 4 reto x menos 15 fecha parênteses fim do exponencial igual a 5 ao cubo à potência de parêntese esquerdo 3 reto x menos 6 parêntese direito fim do exponencial$

Distribuindo os expoentes 2 e 3 nos parênteses.

$5 à potência de abre parênteses 2 reto x ao quadrado sobre 2 mais 8 reto x menos 30 fecha parênteses fim do exponencial igual a 5 à potência de parêntese esquerdo 9 reto x menos 18 parêntese direito fim do exponencial$

Com as bases igualadas, podemos eliminá-las.

$2 reto x ao quadrado sobre 2 mais 8 reto x menos 30 igual a 9 reto x menos 18$

Simplificando a fração e organizando os termos, obtemos uma equação do segundo grau.

$reto x ao quadrado mais 8 reto x menos 30 igual a 9 reto x menos 18 reto x ao quadrado mais 8 reto x menos 9 reto x menos 30 mais 18 igual a 0 reto x ao quadrado menos reto x menos 12 igual a 0$

Calculando o delta:

$incremento igual a reto b ao quadrado menos 4. reto a. reto c incremento igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado menos 4.1. parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito incremento igual a 1 mais 48 incremento igual a 49$

Calculando as raízes:

$reto x com 1 subscrito igual a numerador menos reto b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. reto a fim da fração reto x com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais raiz quadrada de 49 sobre denominador 2.1 fim da fração reto x com 1 subscrito igual a numerador 1 mais 7 sobre denominador 2 fim da fração igual a 8 sobre 2 igual a 4$

Para a segunda raiz:

$reto x com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito menos raiz quadrada de 49 sobre denominador 2.1 fim da fração reto x com 2 subscrito igual a numerador 1 menos 7 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 6 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 3$

A diferença entre o maior e o menor valor de x, será:

$4 menos parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito igual a 4 mais 3 igual a 7$

Aprenda mais sobre equação exponencial.

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.