Logaritmo - Exercícios

Rosimar Gouveia

O logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência ax seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e a≠1.

Este conteúdo é frequentemente cobrado nos vestibulares. Assim, aproveite as questões comentadas e resolvidas para tirar todas as suas dúvidas.

Questões de Vestibulares Resolvidas

1) Fuvest - 2018

Sejam f : ℝ → ℝ e g: ℝ+→ ℝ definidas por

f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 1 meio 5 à potência de x espaço e espaço g parêntese esquerdo x parêntese direito igual a log com 10 subscrito x vírgula

respectivamente.

O gráfico da função composta g o f é:

Questão Fuvest 2018 logaritmo

Nesta questão, queremos identificar como será o gráfico da função gof. Primeiro, precisamos definir a função composta. Para tal, iremos substituir o x na função g(x) pela f(x), ou seja:

Questão fuvest 2018 logaritmo

g com o subscrito f espaço igual a espaço log com 10 subscrito parêntese esquerdo 1 meio.5 à potência de x parêntese direito

Agora que já conhecemos a função composta, iremos simplificar a função encontrada. Para isso, usaremos algumas propriedades dos logaritmos.

Como 1/2 está multiplicando 5x, podemos escrever como sendo a soma dos logaritmos, assim temos:

g com o subscrito f igual a log com 10 subscrito 1 meio mais log com 10 subscrito 5 à potência de x

Sendo 1/2 uma divisão, vamos escrever como a subtração de logaritmos e escrever o x do expoente multiplicando o logaritmo:

g com o subscrito f igual a log com 10 subscrito 1 menos log com 10 subscrito 2 mais x. log com 10 subscrito 5

Sabemos que log101 = 0. Substituindo na expressão acima:

g com o subscrito f igual a x. log com 10 subscrito 5 menos log com 10 subscrito 2

Como tanto o log10 2 quanto o log10 5 são números positivos, a função é do tipo f(x) = ax - b, sendo a = log10 5 e b =log10 2.

Temos uma função afim cujo gráfico é uma reta crescente, pois o coeficiente a é positivo (a>0) e a reta corta o eixo y no ponto - log10 2.

Portanto, o gráfico da função composta gof, será:

Questão fuvest 2018 logaritmo

Alternativa a

2) UFRGS - 2018

Se log3 x + log9 x = 1, então o valor de x é

a) ∛2.
b) √2.
c) ∛3.
d) √3.
e) ∛9.

Temos a soma de dois logaritmos que apresentam bases diferentes. Então, para começar, vamos fazer uma mudança de base.

Lembrando que para mudar a base de um logaritmo usamos a seguinte expressão:

l o g com a subscrito b itálico igual a numerador l o g com c subscrito b sobre denominador l o g com c subscrito a fim da fração N e s t e itálico espaço c a s o itálico vírgula itálico espaço v a m o s itálico espaço p a s s a r itálico espaço o itálico espaço l o g com itálico 9 subscrito x itálico espaço p a r a itálico espaço a itálico espaço b a s e itálico espaço itálico 3 itálico dois pontos l o g com itálico 9 subscrito x itálico igual a numerador l o g com itálico 3 subscrito x sobre denominador l o g com itálico 3 subscrito itálico 9 fim da fração S e n d o itálico espaço l o g com itálico 3 subscrito itálico 9 itálico igual a l o g com itálico 3 subscrito itálico 3 à potência de itálico 2 itálico seta dupla para a direita itálico 2 itálico. l o g com itálico 3 subscrito itálico 3 itálico igual a itálico 2 itálico vírgula itálico espaço e n t ã o itálico dois pontos l o g com itálico 9 subscrito x itálico igual a numerador l o g com itálico 3 subscrito x sobre denominador itálico 2 fim da fração V a m o s itálico espaço s u b s t i t u i r itálico espaço e s s e itálico espaço v a l o r itálico espaço n a itálico espaço e q u a ç ã o itálico espaço e itálico espaço r e s o l v ê itálico menos l a itálico dois pontos l o g com itálico 3 subscrito x itálico mais numerador l o g com itálico 3 subscrito x sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 1 numerador itálico 2 l o g com itálico 3 subscrito x itálico mais l o g com itálico 3 subscrito x sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 1 numerador itálico 3 l o g com itálico 3 subscrito x sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 1 l o g com itálico 3 subscrito x itálico igual a itálico 2 sobre itálico 3 A p l i c a n d o itálico espaço a itálico espaço d e f i n i ç ã o itálico espaço d e itálico espaço l o g a r i t m o itálico vírgula itálico espaço t e m o s itálico dois pontos x itálico igual a itálico 3 à potência de itálico 2 sobre itálico 3 fim do exponencial x itálico igual a índice radical itálico 3 de itálico 3 à potência de itálico 2 fim da raiz itálico igual a índice radical itálico 3 de itálico 9

Alternativa: e) ∛9.

3) Enem - 2017

Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula

P igual a numerador 5000 espaço x espaço 1 vírgula 013 à potência de n espaço x espaço 0 vírgula 013 sobre denominador parêntese esquerdo 1 vírgula 013 à potência de n menos 1 parêntese direito fim da fração

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é

a) 12.
b) 14.
c) 15.
d) 16.
e) 17.

Conforme o problema, o valor máximo que a pessoa poderá pagar é R$ 400,00. Podemos representar matematicamente essa condição como:

P menor ou igual a 400 seta dupla para a direita numerador 5000.1 vírgula 013 à potência de n.0 vírgula 013 sobre denominador parêntese esquerdo 1 vírgula 013 à potência de n menos 1 parêntese direito fim da fração menor ou igual a 400

Portanto, para encontrar o menor número de parcela, temos que resolver a inequação acima. Vamos então começar, passando o denominador para o outro lado da desigualdade:

65 . 1,013n ≤ 400 . (1,013n - 1)
65 . 1,013n ≤ 400 . 1,013n - 400
400 ≤ 400 . 1,013n - 65 . 1,013n
400 ≤ 335 . 1,013n

Como o valor que estamos procurando (n) está no expoente, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da desigualdade. Assim:

log 400 ≤ log (350 . 1,013n)

O logaritmo da multiplicação é igual a soma dos logaritmos e que o logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo. Aplicando essas propriedades, temos:

log 400 ≤ log 350 + n . log 1,013

Substituindo os valores informados no problema para os logaritmos da desigualdade:

2 vírgula 602 menor ou igual a 2 vírgula 525 mais 0 vírgula 005. n 2 vírgula 602 menos 2 vírgula 525 menor ou igual a 0 vírgula 005. n numerador 0 vírgula 077 sobre denominador 0 vírgula 005 fim da fração menor ou igual a n n maior ou igual a 15 vírgula 4

Portanto, o número menor de parcelas terá que ser 16, visto que n tem que ser maior que 15,4.

Alternativa: d) 16

4) UFRGS - 2017

Se log5 x = 2 e log10 y = 4, então log20 y/x é

a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10

Usando a definição de logaritmo, podemos encontrar o valor de x e de y:

Questão logaritmo 2017 UFRGS

Substituindo esses valores na expressão apresentada, temos:

k igual a log com 20 subscrito 10000 sobre 25 k igual a log com 20 subscrito 400 k igual a log com 20 subscrito 20 ao quadrado k igual a 2. log com 20 subscrito 20 k igual a 2

Alternativa: a) 2

5) UERJ - 2016

Admita que a ordem de grandeza de uma medida x é uma potência de base 10, com expoente n inteiro, para

10 à potência de n menos 1 meio fim do exponencial menor ou igual a x menor ou igual a 10 à potência de n mais 1 meio fim do exponencial

Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que log10 E = 15,3. A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a:

a) 1014
b) 1015
c) 1016
d) 1017

Aplicando a definição de logaritmo, temos que:

log10 E = 15,3
E = 10 15,3

A ordem de grandeza deverá se uma potência x, tal que:

1015 - 0,5 ≤ x 15 + 0,5
1014,5 ≤ x 15,5

Como o expoente da ordem de grandeza tem que ser um número inteiro, o valor de n será 15.

Alternativa: b) 1015

6) Enem - 2016

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000 ºC e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.

Use 0,477 como aproximação para log10(3) e 1,041 como aproximação para log10(11).

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de

a) 22.
b) 50.
c) 100.
d) 200.
e 400.

Primeiro, é necessário encontrar uma expressão que represente a temperatura em função do tempo, partindo da temperatura inicial. Sabemos que a temperatura diminui 1% a cada 30 min.

Então, para calcular a redução da temperatura, podemos multiplicar seu valor por 0,99, pois 1% corresponde a 0,01 e 1 - 0,01 = 0,99.

Vamos observar o que acontece com a temperatura nas primeiras três horas:

meia hora → 3000 . 0,99 = 2970
1 hora → 3000 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)2
1h e meia → 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)3
2h → 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)4
2h e meia→ 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)5
3h → 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)6

A partir desse valores, podemos representar a função como:

T(t) = To . 0,992t

Onde,

T(t) : temperatura em uma determinada hora
To : temperatura inicial ( 3000 ºC)
t: tempo (h)

Agora que conhecemos a lei da função, podemos substituir os dados do problema:

30 igual a 3000.0 vírgula 99 à potência de 2 t fim do exponencial 30 sobre 3000 igual a 0 vírgula 99 à potência de 2 t fim do exponencial 1 sobre 100 igual a 0 vírgula 99 à potência de 2 t fim do exponencial 10 à potência de menos 2 fim do exponencial igual a 0 vírgula 99 à potência de 2 t fim do exponencial

Como o valor que estamos procurando está no expoente, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação, assim temos:

log com 10 subscrito 10 à potência de menos 2 fim do exponencial igual a log com 10 subscrito 0 vírgula 99 à potência de 2 t fim do exponencial A p l i c a n d o espaço a espaço p r o p r i e d a d e espaço d o espaço log a r i t m o espaço d e espaço u m a espaço p o t ê n c i a dois pontos menos 2 igual a 2 t. log com 10 subscrito 0 vírgula 99 S e n d o espaço 0 vírgula 99 igual a numerador 3 ao quadrado.11 sobre denominador 100 fim da fração dois pontos menos 2 igual a 2 t. log com 10 subscrito numerador 3 ao quadrado.11 sobre denominador 10 ao quadrado fim da fração U s a n d o espaço a espaço p r o p r i e d a d e espaço d o espaço log a r i t m o espaço d e espaço u m espaço p r o d u t o espaço e espaço d e espaço u m espaço q u o c i e n t e dois pontos menos 2 igual a 2 t. parêntese esquerdo 2. log com 10 subscrito 3 mais log com 10 subscrito 11 menos 2. log com 10 subscrito 10 parêntese direito S u b s t i t u i n d o espaço o s espaço v a l o r e s espaço d o s espaço log a r i t m o s dois pontos menos 2 igual a 2 t. parêntese esquerdo 2.0 vírgula 477 mais 1 vírgula 041 menos 2 parêntese direito menos 2 igual a 2 t. parêntese esquerdo menos 0 vírgula 005 parêntese direito t igual a numerador 2 sobre denominador 0 vírgula 01 fim da fração igual a 200

Alternativa: d) 200

7) Fuvest - 2016

Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

S igual a numerador 1 sobre denominador 2. log com 2 subscrito 2016 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador 5. log com 3 subscrito 2016 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador 10. log com 7 subscrito 2016 fim da fração

O valor de S é

a parêntese direito espaço 1 meio b parêntese direito espaço 1 terço c parêntese direito espaço 1 quinto d parêntese direito espaço 1 sobre 7 e parêntese direito espaço 1 sobre 10

Os logaritmos da expressão possuem bases diferentes, entretanto, os logaritmandos são iguais (2016). Vamos então utilizar a fórmula da mudança de base, que para este caso pode ser escrita como:

log com b subscrito a igual a numerador 1 sobre denominador log com a subscrito b fim da fração

Portanto, iremos mudar a base para 2016 e escrever o inverso da fração, ou seja:

1 meio. numerador 1 sobre denominador log com 2 subscrito 2016 fim da fração igual a numerador log com 2016 subscrito 2 sobre denominador 2 fim da fração 1 quinto. numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar log com 3 subscrito 2016 fim do estilo fim da fração igual a numerador log com 2016 subscrito 3 sobre denominador 5 fim da fração 1 sobre 10. numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar log com 7 subscrito 2016 fim do estilo fim da fração igual a numerador log com 2016 subscrito 7 sobre denominador 10 fim da fração

Desta forma, a expressão ficará:

S igual a numerador log com 2016 subscrito 2 sobre denominador 2 fim da fração mais numerador log com 2016 subscrito 3 sobre denominador 5 fim da fração mais numerador log com 2016 subscrito 7 sobre denominador 10 fim da fração R e d u z i n d o espaço a espaço u m espaço m e s m o espaço d e n o m i n a d o r dois pontos S igual a numerador 5. log com 2016 subscrito 2 mais 2. log com 2016 subscrito 3 mais log com 2016 subscrito 7 sobre denominador 10 fim da fração

Agora que temos uma única fração e que os logaritmos possuem bases iguais, podemos juntar todos os termos em um único logaritmo.

Para isso, vamos usar as propriedades do logaritmo de um produto e de uma potência, ou seja:

loga M + logaN = loga (M.N) e M.logaN = logaNM

Aplicando essas propriedades, a expressão será escrita como:

S igual a numerador log com 2016 subscrito 2 à potência de 5 mais log com 2016 subscrito 3 ao quadrado mais log com 2016 subscrito 7 sobre denominador 10 fim da fração S igual a numerador log com 2016 subscrito espaço parêntese esquerdo 2 à potência de 5.3 ao quadrado.7 parêntese direito sobre denominador 10 fim da fração S igual a numerador log com 2016 subscrito espaço parêntese esquerdo 32.9.7 parêntese direito sobre denominador 10 fim da fração S igual a numerador log com 2016 subscrito espaço 2016 sobre denominador 10 fim da fração S igual a 1 sobre 10

Alternativa: e) 1/10

8) UFRGS - 2016

Se 10x = 20y, atribuindo 0,3 para log 2, então o valor de x/y é

a) 0,3.
b) 0,5.
c) 0,7.
d) 1.
e) 1,3.

Podemos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação para tirar as incógnitas do expoente.

log 10x = log 20y ⇒ x . log 10 = y . log 20

Note que 20 = 2 . 10 e ao substituir por esse produto, podemos aplicar a propriedade que diz que o logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos, assim a equação ficará:

x . log 10 = y . log 2 . 10 ⇒ x . log 10 = y (log 2 + log 10)

Lembrando que o log 10 = 1 e substituindo o valor indicado para o log 2:

x = y (0,3 + 1)
x/y = 1,3

Alternativa: e) 1,3

9) Enem - 2015

Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log (x), conforme a figura

Questão de logaritmo Enem 2015

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros. A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

a parêntese direito espaço log espaço parêntese esquerdo numerador n mais raiz quadrada de n ao quadrado mais 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração parêntese direito menos log espaço parêntese esquerdo numerador n menos raiz quadrada de n ao quadrado mais 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração parêntese direito b parêntese direito espaço log espaço parêntese esquerdo 1 mais n sobre 2 parêntese direito menos log espaço parêntese esquerdo 1 menos n sobre 2 parêntese direito c parêntese direito espaço log espaço parêntese esquerdo 1 mais n sobre 2 parêntese direito mais log espaço parêntese esquerdo 1 menos n sobre 2 parêntese direito d parêntese direito espaço log espaço parêntese esquerdo numerador n mais raiz quadrada de n ao quadrado mais 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração parêntese direito e parêntese direito espaço 2 espaço log espaço parêntese esquerdo numerador n mais raiz quadrada de n ao quadrado mais 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração parêntese direito

O problema nos informa que a altura h é dividida por 2. Podemos então considerar os seguintes pontos no gráfico:

Gráfico questão de logaritmo enem 2016

Temos, então:

log a = - h/2
log b = h/2

Passando o 2 para o outro lado em ambas as equações, chegamos a seguinte situação:

- 2.log a =h e 2.log b = h

Logo, podemos dizer que:

- 2 . log a = 2 . log b

Sendo a = b + n (conforme indicado no gráfico), temos:

2 . log (b+n) = -2 . log b

Simplificando, temos:

log (b+n) = - log b
log (b+n) + log b = 0

Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto, ficamos com:

log (b+n) . b = 0

Usando a definição de logaritmo e considerando que todo número elevado a zero é igual a 1, temos:

(b + n) . b = 1
b2 + nb -1 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau, encontramos:

incremento igual a n ao quadrado menos 4.1. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito incremento igual a n ao quadrado mais 4 b apóstrofo igual a numerador menos n mais raiz quadrada de n ao quadrado mais 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração b apóstrofo apóstrofo igual a numerador menos n menos raiz quadrada de n ao quadrado mais 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração espaço S u b s t i t u i n d o espaço e s s e espaço v a l o r espaço p a r a espaço e n c o n t r a r espaço o espaço v a l o r espaço d e espaço h dois pontos h igual a 2. log espaço parêntese esquerdo b mais n parêntese direito h igual a 2. log espaço parêntese esquerdo numerador menos n mais raiz quadrada de n ao quadrado mais 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração mais n parêntese direito R e d u z i n d o espaço a o espaço m e s m o espaço d e n o m i n a d o r dois pontos h igual a 2. log espaço parêntese esquerdo numerador menos n mais raiz quadrada de n ao quadrado mais 4 fim da raiz mais 2 n sobre denominador 2 fim da fração parêntese direito h igual a 2. log espaço parêntese esquerdo numerador n mais raiz quadrada de n ao quadrado mais 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração parêntese direito

Alternativa dois pontos espaço e parêntese direito espaço 2. log espaço parêntese esquerdo numerador n mais raiz quadrada de n ao quadrado mais 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração parêntese direito espaço

10) UERJ - 2015

Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.

A igual a abre parênteses tabela linha com célula com 0 vírgula 3 fim da célula célula com 0 vírgula 47 fim da célula célula com 0 vírgula 6 fim da célula linha com célula com 0 vírgula 47 fim da célula célula com 0 vírgula 6 fim da célula x linha com célula com 0 vírgula 6 fim da célula x célula com 0 vírgula 77 fim da célula fim da tabela fecha parênteses

Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + j).
O valor de x é igual a:

a) 0,50
b) 0,70
c) 0,77
d) 0,87

Como cada elemento da matriz é igual ao valor do logaritmo decimal de (i+j), então:

x = log10 (2+3) ⇒ x = log10 5

Não foi informado na questão o valor de log10 5, entretanto, podemos encontrar esse valor usando as propriedades dos logaritmos.

Sabemos que 10 dividido por 2 é igual a 5 e que o logaritmo de um quociente de dois números é igual a diferença entre os logaritmos desses números. Então, podemos escrever:

log com 10 subscrito 5 igual a log com 10 subscrito 10 sobre 2 igual a log com 10 subscrito 10 espaço menos espaço log com 10 subscrito 2

Na matriz, o elemento a11 corresponde ao log10(1+1) = log102 = 0,3. Substituindo esse valor na expressão anterior, temos:

log10 5 = 1 - 0,3 = 0,7

Alternativa: b) 0,70

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.