Exercícios de Logaritmo: questões resolvidas e comentadas
Revisão por Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
O logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência ax seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e a≠1.
Este conteúdo é frequentemente cobrado nos vestibulares. Assim, aproveite as questões comentadas e resolvidas para tirar todas as suas dúvidas.
Questão 1
Determine o valor de:
a)
b)
c)
Respostas corretas: a) 4; b) 3/2; e c) 2/5.
Pela definição de logaritmo, temos:
O logaritmo de b na base a (sendo a e b números reais e positivos e a≠1) é igual ao expoente x, ao qual se deve elevar a base, fazendo com quea potência axseja igual a b.
a)
b)
c)
Portanto, , ,
Questão 2
Calcule:
a)
b)
c)
Respostas corretas: a) 25; b) 10 e c) 24.
Uma potência que apresenta logaritmo como expoente pode ser resolvida da seguinte forma:
Ou seja, se tomarmos o valor do logaritmo como sendo , então podemos dizer que .
a)
b)
c)
Portanto, , e .
Questão 3
(Fuvest - 2018) Sejam f : ℝ → ℝ e g: ℝ+→ ℝ definidas por respectivamente.
O gráfico da função composta g o f é:
Alternativa correta: a.
Nesta questão, queremos identificar como será o gráfico da função gof. Primeiro, precisamos definir a função composta. Para tal, iremos substituir o x na função g(x) pela f(x), ou seja:
Agora que já conhecemos a função composta, iremos simplificar a função encontrada. Para isso, usaremos algumas propriedades dos logaritmos.
Como 1/2 está multiplicando 5x, podemos escrever como sendo a soma dos logaritmos, assim temos:
Sendo 1/2 uma divisão, vamos escrever como a subtração de logaritmos e escrever o x do expoente multiplicando o logaritmo:
Sabemos que log101 = 0. Substituindo na expressão acima:
Como tanto o log10 2 quanto o log10 5 são números positivos, a função é do tipo f(x) = ax - b, sendo a = log10 5 e b =log10 2.
Temos uma função afim cujo gráfico é uma reta crescente, pois o coeficiente a é positivo (a>0) e a reta corta o eixo y no ponto - log10 2.
Portanto, o gráfico da função composta gof, será o da alternativa a:
Questão 4
(UFRGS - 2018) Se log3 x + log9 x = 1, então o valor de x é
a) ∛2.
b) √2.
c) ∛3.
d) √3.
e) ∛9.
Alternativa correta: e) ∛9.
Temos a soma de dois logaritmos que apresentam bases diferentes. Então, para começar, vamos fazer uma mudança de base.
Lembrando que para mudar a base de um logaritmo usamos a seguinte expressão:
Portanto, se log3 x + log9 x = 1, então o valor de x é ∛9.
Questão 5
(Enem - 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é
a) 12.
b) 14.
c) 15.
d) 16.
e) 17.
Alternativa correta: d) 16.
Conforme o problema, o valor máximo que a pessoa poderá pagar é R$ 400,00. Podemos representar matematicamente essa condição como:
Portanto, para encontrar o menor número de parcela, temos que resolver a inequação acima. Vamos então começar, passando o denominador para o outro lado da desigualdade:
Como o valor que estamos procurando (n) está no expoente, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da desigualdade. Assim:
log 400 ≤ log (350 . 1,013n)
O logaritmo da multiplicação é igual a soma dos logaritmos e que o logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo. Aplicando essas propriedades, temos:
log 400 ≤ log 350 + n . log 1,013
Substituindo os valores informados no problema para os logaritmos da desigualdade:
Portanto, o número menor de parcelas terá que ser 16, visto que n tem que ser maior que 15,4.
Questão 6
(UFRGS - 2017) Se log5 x = 2 e log10 y = 4, então log20 y/x é
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
Alternativa correta: a) 2.
Usando a definição de logaritmo, podemos encontrar o valor de x e de y:
Substituindo esses valores na expressão apresentada, temos:
Portanto, se log5 x = 2 e log10 y = 4, então log20 y/x é 2.
Questão 7
(UERJ - 2016) Admita que a ordem de grandeza de uma medida x é uma potência de base 10, com expoente n inteiro, para
Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que log10 E = 15,3. A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a:
a) 1014
b) 1015
c) 1016
d) 1017
Alternativa correta: b) 1015.
Aplicando a definição de logaritmo, temos que:
log10 E = 15,3
E = 10 15,3
A ordem de grandeza deverá se uma potência x, tal que:
1015 - 0,5 ≤ x < 1015 + 0,5
1014,5 ≤ x < 1015,5
Como o expoente da ordem de grandeza tem que ser um número inteiro, o valor de n será 15.
Portanto, a ordem de grandeza de E, em joules, equivale a 1015.
Questão 8
(Enem - 2016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000 ºC e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.
Use 0,477 como aproximação para log10(3) e 1,041 como aproximação para log10(11).
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de
a) 22.
b) 50.
c) 100.
d) 200.
e) 400.
Alternativa correta: d) 200.
Primeiro, é necessário encontrar uma expressão que represente a temperatura em função do tempo, partindo da temperatura inicial. Sabemos que a temperatura diminui 1% a cada 30 min.
Então, para calcular a redução da temperatura, podemos multiplicar seu valor por 0,99, pois 1% corresponde a 0,01 e 1 - 0,01 = 0,99.
Vamos observar o que acontece com a temperatura nas primeiras três horas:
A partir desse valores, podemos representar a função como:
T(t) = To . 0,992t
Onde,
T(t) : temperatura em uma determinada hora
To : temperatura inicial ( 3000 ºC)
t: tempo (h)
Agora que conhecemos a lei da função, podemos substituir os dados do problema:
Como o valor que estamos procurando está no expoente, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação, assim temos:
Portanto, o tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de 200.
Questão 9
(Fuvest - 2016) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão
O valor de S é
Alternativa correta: e) 1/10.
Os logaritmos da expressão possuem bases diferentes, entretanto, os logaritmandos são iguais (2016). Vamos então utilizar a fórmula da mudança de base, que para este caso pode ser escrita como:
Portanto, iremos mudar a base para 2016 e escrever o inverso da fração, ou seja:
Desta forma, a expressão ficará:
Agora que temos uma única fração e que os logaritmos possuem bases iguais, podemos juntar todos os termos em um único logaritmo.
Para isso, vamos usar as propriedades do logaritmo de um produto e de uma potência, ou seja:
loga M + logaN = loga (M.N) e M.logaN = logaNM
Aplicando essas propriedades, a expressão será escrita como:
Portanto, o valor de S é 1/10.
Questão 10
(UFRGS - 2016) Se 10x = 20y, atribuindo 0,3 para log 2, então o valor de x/y é
a) 0,3.
b) 0,5.
c) 0,7.
d) 1.
e) 1,3.
Alternativa correta: e) 1,3.
Podemos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação para tirar as incógnitas do expoente.
log 10x = log 20y ⇒ x . log 10 = y . log 20
Note que 20 = 2 . 10 e ao substituir por esse produto, podemos aplicar a propriedade que diz que o logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos, assim a equação ficará:
x . log 10 = y . log 2 . 10 ⇒ x . log 10 = y (log 2 + log 10)
Lembrando que o log 10 = 1 e substituindo o valor indicado para o log 2:
x = y (0,3 + 1)
x/y = 1,3
Portanto, o valor de x/y é 1,3.
Questão 11
(Enem - 2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log (x), conforme a figura
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros. A expressão algébrica que determina a altura do vidro é
.
O problema nos informa que a altura h é dividida por 2. Podemos então considerar os seguintes pontos no gráfico:
Temos, então:
log a = - h/2
log b = h/2
Passando o 2 para o outro lado em ambas as equações, chegamos a seguinte situação:
- 2.log a =h e 2.log b = h
Logo, podemos dizer que:
- 2 . log a = 2 . log b
Sendo a = b + n (conforme indicado no gráfico), temos:
2 . log (b+n) = -2 . log b
Simplificando, temos:
log (b+n) = - log b
log (b+n) + log b = 0
Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto, ficamos com:
log (b+n) . b = 0
Usando a definição de logaritmo e considerando que todo número elevado a zero é igual a 1, temos:
(b + n) . b = 1
b2 + nb -1 = 0
Resolvendo essa equação do 2º grau, encontramos:
Portanto, a expressão algébrica que determina a altura do vidro é .
Questão 12
(UERJ - 2015) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.
Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + j).
O valor de x é igual a:
a) 0,50
b) 0,70
c) 0,77
d) 0,87
Alternativa correta: b) 0,70.
Como cada elemento da matriz é igual ao valor do logaritmo decimal de (i+j), então:
x = log10 (2+3) ⇒ x = log10 5
Não foi informado na questão o valor de log10 5, entretanto, podemos encontrar esse valor usando as propriedades dos logaritmos.
Sabemos que 10 dividido por 2 é igual a 5 e que o logaritmo de um quociente de dois números é igual a diferença entre os logaritmos desses números. Então, podemos escrever:
Na matriz, o elemento a11 corresponde ao log10(1+1) = log102 = 0,3. Substituindo esse valor na expressão anterior, temos:
log10 5 = 1 - 0,3 = 0,7
Portanto, o valor de x é igual a 0,70.
Questão 13
A quantidade de combustível, em litros, existente em um depósito para o funcionamento de um motor responsável pelo aquecimento de um conjunto de piscinas, em um determinado tempo t (minutos), é dada por Q(t) = 12 + log3(81 − kt 2), onde t ∈ [0, 20].
Considerando que esse motor funcionou por 20 minutos e que, nesse período de tempo, consumiu 2 litros de combustível, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor de k.
a) 0,18
b) 0,48
c) 0,72
d) 1,80
e) 4,80
Resposta correta: a) 0,18
Primeiro aplicamos para t = 0.
Assim, a quantidade inicial de combustível no tanque era de 16 litros.
Ao final dos 20 min, houve um gasto de 2 litros, sobrando 14.
Temos que Q(20)=14
Vamos aplicar a definição de logaritmo, que diz que o logaritmando é igual a base elevada ao logaritmo.
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
Exercícios de Logaritmo: questões resolvidas e comentadas.Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/logaritmo-exercicios/. Acesso em: