Função Polinomial

Rosimar Gouveia

As funções polinomiais são definidas por expressões polinomiais. Elas são representadas pela expressão:

f(x) = an . xn + an – 1 . xn – 1 + ...+a2 . x2 + a1 . x + a0

onde,

n: número inteiro positivo ou nulo
x: variável
a0, a1, ....an – 1, an: coeficientes
an . xn, an – 1 . xn – 1, ... a1 . x , a0: termos

Cada função polinomial associa-se a um único polinômio, sendo assim chamamos as funções polinomiais também de polinômios.

Valor Numérico de um Polinômio

Para encontrar o valor numérico de um polinômio, substituímos um valor numérico na variável x.

Exemplo

Qual o valor numérico de p(x) = 2x3 + x2 - 5x - 4 para x = 3?

Substituindo o valor na variável x temos:

2 . 33 + 32 - 5 . 3 - 4 = 54 + 9 - 15 - 4 = 44

Grau dos Polinômios

Dependendo do expoente mais elevado que apresentam em relação à variável, os polinômios são classificados em:

  • Função polinomial de grau 1: f(x) = x + 6
  • Função polinomial de grau 2: g(x) = 2x2 + x - 2
  • Função polinomial de grau 3: h(x) = 5x3 + 10x2 - 6x + 15
  • Função polinomial de grau 4: p(x) = 20x4 - 15x3+ 5x2 + x - 10
  • Função polinomial de grau 5: q(x) = 25x5 + 12x4 - 9x3 + 5x2 + x - 1

Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido.

Gráficos da Função Polinomial

Podemos associar um gráfico a uma função polinomial, atribuindo valores a x na expressão p(x).

Desta forma, encontraremos os pares ordenados (x,y), que serão pontos pertencentes ao gráfico.

Ligando esses pontos teremos o esboço do gráfico da função polinomial.

Veja alguns exemplos de gráficos:

Função polinomial de grau 1

Gráfico da função polinomial de 1ºgrau

Função polinomial de grau 2

Gráfico da função polinomial de 2ºgrau

Função polinomial de grau 3

Gráfico da função polinomial de 3ºgrau

Igualdade de Polinômios

Dois polinômios são iguais se os coeficientes dos termos de mesmo grau são todos iguais.

Exemplo

Determine o valor de a, b, c e d para que os polinômios p(x) = ax4 + 7x3 + (b + 10)x2 - c e h(x) = (d + 4)x3 + 3bx2 + 8.

Para os polinômios serem iguais é necessário que os coeficientes correspondentes sejam iguais.

Então,

a = 0 (o polinômio h(x) não tem o termo x4, sendo assim seu valor é igual a zero)
b + 10 = 3b → 2b = 10 → b = 5
- c = 8 → c = - 8
d + 4 = 7 → d = 7 - 4 → d = 3

Operações com Polinômios

Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios:

Adição

(- 7x3 + 5x2 - x + 4) + (- 2x2 + 8x -7)
- 7x3 + 5x2 - 2x2 - x + 8x + 4 - 7
- 7x3 + 3x2 + 7x -3

Subtração

(4x2 - 5x + 6) - (3x - 8)
4x2 - 5x + 6 - 3x + 8
4x2 - 8x + 14

Multiplicação

(3x2 - 5x + 8) . (- 2x + 1)
- 6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8
- 6x3 + 13x2 - 21x + 8

Divisão

Divisão polinomial

Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes.

A divisão é formada por: dividendo, divisor, quociente e resto.

divisor . quociente + resto = dividendo

Teorema do Resto

O Teorema do Resto representa o resto na divisão dos polinômios e possui o seguinte enunciado:

O resto da divisão de um polinômio f(x) por x - a é igual a f(a).

Leia também:

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (FEI - SP) O resto da divisão do polinômio p (x) = x5 + x4 - x3 + x + 2 pelo polinômio q (x) = x - 1 é:

a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Alternativa a: 4

2. (Vunesp-SP) Se a, b, c são números reais tais que ax2 + b (x + 1)2 + c (x+2)2 = (x + 3)2 para todo x real, então o valor de a - b + c é:

a) - 5
b) - 1
c) 1
d) 3
e) 7

Alternativa e: 7

3. (UF-GO) Considere o polinômio:
p(x) = (x - 1) (x - 3)2 (x - 5)3 (x - 7)4 (x - 9)5 (x - 11)6.
O grau de p(x) é igual a:

a) 6
b) 21
c) 36
d) 720
e) 1080

Alternativa b: 21

4. (Cefet-MG) O polinômio P(x) é divisível por x - 3. Dividindo-se P(x) por x - 1, obtém-se o quociente Q(x) e resto 10. Nessas condições, o resto da divisão de Q(x) por x - 3 vale:

a) - 5
b) - 3
c) 0
d) 3
e) 5

Alternativa a: - 5

5. (UF-PB) Na inauguração da praça, foram realizadas várias atividades recreativas e culturais. Dentre elas, no anfiteatro, um professor de Matemática proferiu uma palestra para vários alunos do ensino médio e propôs o seguinte problema: Encontrar valores para a e b, de modo que o polinômio p(x) = ax3 + x2 + bx + 4 seja divisível por
q(x) = x2 - x - 2. Alguns alunos resolveram corretamente esse problema e, além disso, constataram que a e b satisfazem a relação:

a) a2 + b2 = 73
b) a2 - b2 = 33
c) a + b = 6
d) a2 + b = 15
e) a - b= 12

Alternativa a: a2 + b2 = 73

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.