Função Polinomial

Rosimar Gouveia
Escrito por Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física

As funções polinomiais são definidas por expressões polinomiais. Elas são representadas pela expressão:

f(x) = an . xn + an – 1 . xn – 1 + ...+a2 . x2 + a1 . x + a0

onde,

n: número inteiro positivo ou nulo
x: variável
a0, a1, ....an – 1, an: coeficientes
an . xn, an – 1 . xn – 1, ... a1 . x , a0: termos

Cada função polinomial associa-se a um único polinômio, sendo assim chamamos as funções polinomiais também de polinômios.

Valor Numérico de um Polinômio

Para encontrar o valor numérico de um polinômio, substituímos um valor numérico na variável x.

Exemplo

Qual o valor numérico de p(x) = 2x3 + x2 - 5x - 4 para x = 3?

Substituindo o valor na variável x temos:

2 . 33 + 32 - 5 . 3 - 4 = 54 + 9 - 15 - 4 = 44

Grau dos Polinômios

Dependendo do expoente mais elevado que apresentam em relação à variável, os polinômios são classificados em:

  • Função polinomial de grau 1: f(x) = x + 6
  • Função polinomial de grau 2: g(x) = 2x2 + x - 2
  • Função polinomial de grau 3: h(x) = 5x3 + 10x2 - 6x + 15
  • Função polinomial de grau 4: p(x) = 20x4 - 15x3+ 5x2 + x - 10
  • Função polinomial de grau 5: q(x) = 25x5 + 12x4 - 9x3 + 5x2 + x - 1

Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido.

Gráficos da Função Polinomial

Podemos associar um gráfico a uma função polinomial, atribuindo valores a x na expressão p(x).

Desta forma, encontraremos os pares ordenados (x,y), que serão pontos pertencentes ao gráfico.

Ligando esses pontos teremos o esboço do gráfico da função polinomial.

Veja alguns exemplos de gráficos:

Função polinomial de grau 1

Gráfico da função polinomial de 1ºgrau

Função polinomial de grau 2

Gráfico da função polinomial de 2ºgrau

Função polinomial de grau 3

Gráfico da função polinomial de 3ºgrau

Igualdade de Polinômios

Dois polinômios são iguais se os coeficientes dos termos de mesmo grau são todos iguais.

Exemplo

Determine o valor de a, b, c e d para que os polinômios p(x) = ax4 + 7x3 + (b + 10)x2 - c e h(x) = (d + 4)x3 + 3bx2 + 8.

Para os polinômios serem iguais é necessário que os coeficientes correspondentes sejam iguais.

Então,

a = 0 (o polinômio h(x) não tem o termo x4, sendo assim seu valor é igual a zero)
b + 10 = 3b → 2b = 10 → b = 5
- c = 8 → c = - 8
d + 4 = 7 → d = 7 - 4 → d = 3

Operações com Polinômios

Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios:

Adição

(- 7x3 + 5x2 - x + 4) + (- 2x2 + 8x -7)
- 7x3 + 5x2 - 2x2 - x + 8x + 4 - 7
- 7x3 + 3x2 + 7x -3

Subtração

(4x2 - 5x + 6) - (3x - 8)
4x2 - 5x + 6 - 3x + 8
4x2 - 8x + 14

Multiplicação

(3x2 - 5x + 8) . (- 2x + 1)
- 6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8
- 6x3 + 13x2 - 21x + 8

Divisão

Divisão polinomial

Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes.

A divisão é formada por: dividendo, divisor, quociente e resto.

divisor . quociente + resto = dividendo

Teorema do Resto

O Teorema do Resto representa o resto na divisão dos polinômios e possui o seguinte enunciado:

O resto da divisão de um polinômio f(x) por x - a é igual a f(a).

Leia também:

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (FEI - SP) O resto da divisão do polinômio p (x) = x5 + x4 - x3 + x + 2 pelo polinômio q (x) = x - 1 é:

a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Alternativa a: 4

2. (Vunesp-SP) Se a, b, c são números reais tais que ax2 + b (x + 1)2 + c (x+2)2 = (x + 3)2 para todo x real, então o valor de a - b + c é:

a) - 5
b) - 1
c) 1
d) 3
e) 7

Alternativa e: 7

3. (UF-GO) Considere o polinômio:
p(x) = (x - 1) (x - 3)2 (x - 5)3 (x - 7)4 (x - 9)5 (x - 11)6.
O grau de p(x) é igual a:

a) 6
b) 21
c) 36
d) 720
e) 1080

Alternativa b: 21

4. (Cefet-MG) O polinômio P(x) é divisível por x - 3. Dividindo-se P(x) por x - 1, obtém-se o quociente Q(x) e resto 10. Nessas condições, o resto da divisão de Q(x) por x - 3 vale:

a) - 5
b) - 3
c) 0
d) 3
e) 5

Alternativa a: - 5

5. (UF-PB) Na inauguração da praça, foram realizadas várias atividades recreativas e culturais. Dentre elas, no anfiteatro, um professor de Matemática proferiu uma palestra para vários alunos do ensino médio e propôs o seguinte problema: Encontrar valores para a e b, de modo que o polinômio p(x) = ax3 + x2 + bx + 4 seja divisível por
q(x) = x2 - x - 2. Alguns alunos resolveram corretamente esse problema e, além disso, constataram que a e b satisfazem a relação:

a) a2 + b2 = 73
b) a2 - b2 = 33
c) a + b = 6
d) a2 + b = 15
e) a - b= 12

Alternativa a: a2 + b2 = 73

Atualizado em
Rosimar Gouveia
Escrito por Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.