Equação da Reta

Rosimar Gouveia

A equação da reta pode ser determinada representando-a no plano cartesiano (x,y). Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos pertencentes a reta podemos determinar sua equação.

Também é possível definir uma equação da reta a partir de sua inclinação e das coordenadas de um ponto que lhe pertença.

Equação geral da reta

Dois pontos definem uma reta. Desta forma, podemos encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta.

Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano.

Três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero. Assim devemos calcular o determinante da seguinte matriz:

Matriz determinante

Desenvolvendo o determinante encontramos a seguinte equação:

(ya - yb) x + (xa - xb) y + xayb - xb - ya = 0

Vamos chamar:

a = (ya - yb)
b = (xa - xb)
c = xayb - xb - ya

A equação geral da reta é definida como:

ax + by + c = 0

Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos.

Exemplo

Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1).

Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo o matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta.

Exemplo1 equação geral da reta

Desenvolvendo o determinante, encontramos:

(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0

A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é:

9x - 4y + 41 = 0

Para saber mais, leia também:

Equação reduzida da reta

Coeficiente angular

Podemos encontrar uma equação da reta r conhecendo a sua inclinação (direção), ou seja o valor do ângulo θ que a reta apresenta em relação ao eixo x.

Para isso associamos um número m, que é chamado de coeficiente angular da reta, tal que:

m = tg θ

O coeficiente angular m também pode ser encontrado conhecendo-se dois pontos pertencentes a reta.

Gráfico da reta r

Como m = tg θ, então:

Fórmula do coeficiente angular

Exemplo

Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3).

Sendo,

x1 = 1 e y1 = 4
x2 = 2 e y2 = 3


Exemplo do cálculo do coeficiente angular

Conhecendo o coeficiente angular da reta m e um ponto P0(x0,y0) pertencente a ela, podemos definir sua equação.

Para isso vamos substituir na fórmula do coeficiente angular o ponto conhecido P0 e um ponto P(x,y) genérico, também pertencente a reta:

Equação da reta usando o coeficiente

Exemplo

Determine uma equação da reta que passa pelo ponto A(2,4) e tem coeficiente angular 3.

Para encontrar a equação da reta basta substituir os valores dados:

y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0

Coeficiente linear

O coeficiente linear n da reta r é definido como o ponto em que a reta intercepta o eixo y, ou seja o ponto de coordenadas P(0,n).

Utilizando esse ponto, temos:

y - n = m (x - 0)

y = mx + n (Equação reduzida da reta).

Exemplo

Sabendo que a equação da reta r é dada por y = x + 5, identifique seu coeficiente angular, sua inclinação e o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

Como temos a equação reduzida da reta, então:

m = 1
Sendo m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
O ponto de interseção da reta com o eixo y é o ponto P(0,n), sendo n=5, então o ponto será P(0,5)

Leia também Cálculo do coeficiente angular

Equação segmentária da reta

Podemos calcular o coeficiente angular usando o ponto A(a,0) que a reta intercepta o eixo x e o ponto B(0,b) que intercepta o eixo y:

Fórmula do coeficiente angular

Considerando n = b e substituindo na forma reduzida, temos:

Equação paramétrica da reta

Dividindo todos os membros por ab, encontramos a equação segmentária da reta:

Equação segmentária da reta

Exemplo

Escreva na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto A(5,0) e tem coeficiente angular 2.

Primeiro vamos encontrar o ponto B(0,b), substituindo na expressão do coeficiente angular:

Exemplo equação segmentária da reta

Substituindo os valores na equação, temos a equação segmentária da reta:

Exemplo equação segmentária da reta

Leia também sobre:

Exercícios Resolvidos

1) Dada a reta que tem a equação 2x + 4y = 9 , determine seu coeficiente angular.

4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Logo m = - 1/2

2) Escreva a equação da reta 3x + 9y - 36 = 0 na forma reduzida.

y = -1/3 x + 4

3) ENEM - 2016

Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.

Enem 146

Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o
objetivo fosse alcançado.

Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá
a) diminuir em 2 unidades.
b) diminuir em 4 unidades.
c) aumentar em 2 unidades.
d) aumentar em 4 unidades.
e) aumentar em 8 unidades.

Primeiro devemos encontrar o valor inicial do coeficiente angular da reta B.
Lembrando que m= tg Ɵ, temos:
m1 = 12/6 = 2
Para passar pelo ponto de altura máxima da trajetória de A, o coeficiente angular da reta B terá que ter o seguinte valor:
m2 = 16/4 = 4
Assim o coeficiente angular da reta B terá que passar de 2 para 4, logo aumentará 2 unidades.

Alternativa c: aumentar 2 unidades

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.