Determinantes

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Esse número é encontrado fazendo-se determinadas operações com os elementos que compõe a matriz.

Indicamos o determinante de uma matriz A por det A. Podemos ainda, representar o determinante por duas barras entre os elementos da matriz.

Determinantes de 1.ª Ordem

O determinante de uma matriz de Ordem 1, é igual ao próprio elemento da matriz, pois esta apresenta apenas uma linha e uma coluna.

Exemplos:

$det espaço reto X espaço igual a espaço linha vertical 8 linha vertical espaço igual a espaço 8 espaço det espaço reto Y espaço igual a espaço linha vertical menos 5 linha vertical espaço igual a espaço 5$

Determinantes de 2.ª Ordem

As matrizes de Ordem 2 ou matriz 2x2, são aquelas que apresentam duas linhas e duas colunas.

O determinante de uma matriz desse tipo é calculado, primeiro multiplicando os valores constantes nas diagonais, uma principal e outra secundária.

A seguir, subtraindo os resultados obtidos dessa multiplicação.

Exemplos:

Matriz A =

$d e t espaço A espaço igual a espaço 3 espaço sinal de multiplicação espaço 2 espaço menos espaço 7 espaço sinal de multiplicação espaço 5 d e t espaço A espaço igual a espaço 6 espaço menos espaço 35 espaço d e t espaço A espaço igual a menos 29$

Matriz B =

$d e t espaço B espaço igual a espaço 3 espaço sinal de multiplicação espaço 4 espaço menos espaço 8 espaço sinal de multiplicação espaço 1 espaço d e t espaço B espaço igual a 12 espaço menos espaço 8 d e t espaço B espaço igual a espaço 4$

Determinantes de 3.ª Ordem

As matrizes de Ordem 3 ou matriz 3x3, são aquelas que apresentam três linhas e três colunas:

Para calcular o determinante desse tipo de matriz, utilizamos a Regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas logo a seguir à terceira:

Seguimos os seguintes passos:

1) Calculamos a multiplicação em diagonal. Para tanto, traçamos setas diagonais que facilitam o cálculo.

As primeiras setas são traçadas da esquerda para a direita e correspondem às diagonais principais:

$1 espaço sinal de multiplicação espaço 5 espaço sinal de multiplicação espaço 8 espaço igual a espaço 40 espaço 2 espaço sinal de multiplicação espaço 6 espaço sinal de multiplicação espaço 2 espaço igual a espaço 24 espaço 3 espaço sinal de multiplicação espaço 2 espaço sinal de multiplicação espaço 5 espaço igual a espaço 30$

2) Calculamos a multiplicação do outro lado da diagonal. Assim, traçamos novas setas.

Agora, as setas são traçadas da direita para a esquerda e correspondem à diagonal secundária:

Matriz A =

$2 espaço sinal de multiplicação espaço 2 espaço sinal de multiplicação espaço 8 espaço igual a espaço 32 espaço 1 espaço sinal de multiplicação espaço 6 espaço sinal de multiplicação espaço 5 espaço igual a espaço 30 espaço 3 espaço sinal de multiplicação espaço 5 espaço sinal de multiplicação espaço 2 espaço igual a espaço 30$

3) Somamos cada uma delas:

$P r o d u t o espaço d a s espaço d i a g o n a i s espaço p r i n c i p a i s 40 espaço mais espaço 24 espaço mais espaço 30 espaço igual a espaço 94 espaço P r o d u t o espaço d a s espaço d i a g o n a i s espaço s e c u n d á r i a s 32 espaço mais espaço 30 espaço mais espaço 30 espaço igual a espaço 92$

4) Subtraímos cada um desses resultados:

$94 espaço menos espaço 92 espaço igual a espaço 2$

Logo, o determinante é:
$det espaço reto A espaço igual a espaço 2$

Leia Matrizes e Determinantes e, para entender como calcular determinantes de matriz de ordem igual ou superior a 4, leia Teorema de Laplace.

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Exercícios sobre Determinantes

Exercício 1

(UNITAU) O valor do determinante (imagem abaixo) como produto de 3 fatores é:

a) abc.
b) a (b + c) c.
c) a (a - b) (b - c).
d) (a + c) (a - b) c.
e) (a + b) (b + c) (a + c).

Ver Resposta

Resposta correta: c) a(a - b)(b - c).

Passo 1: aplicar a Regra de Sarrus.

Produtos das diagonais principais

$a b c espaço mais espaço a ao quadrado b espaço mais espaço a ao quadrado b$

Produtos das diagonais secundárias

$a ao quadrado b espaço mais espaço a b ao quadrado espaço mais espaço a ao quadrado c$

Passo 2: subtrair os produtos das diagonais principais e secundárias.

$a b c espaço mais espaço a ao quadrado b espaço mais espaço a ao quadrado b espaço menos espaço parêntese esquerdo espaço a ao quadrado b espaço mais espaço a b ao quadrado espaço mais espaço a ao quadrado c espaço parêntese direito a b c espaço mais espaço a ao quadrado b espaço mais espaço a ao quadrado b espaço menos espaço a ao quadrado b espaço menos espaço a b ao quadrado espaço menos espaço a ao quadrado c a b c espaço mais espaço a ao quadrado b espaço riscado diagonal para cima sobre mais espaço a ao quadrado b fim do riscado espaço riscado diagonal para cima sobre menos espaço a ao quadrado b fim do riscado espaço menos espaço a b ao quadrado espaço menos espaço a ao quadrado c a b c espaço mais espaço a ao quadrado b menos espaço a b ao quadrado espaço menos espaço a ao quadrado c$

Passo 3: fatorar o resultado.

Colocando a em evidência:

$a abre colchetes b c espaço mais espaço a b menos b ao quadrado espaço menos espaço a c fecha colchetes$

Agrupando os termos dentro do colchetes

$a abre colchetes a b menos b ao quadrado espaço menos espaço a c espaço mais espaço b c fecha colchetes$

Colocando b e c em evidência, dentro dos colchetes

$a abre colchetes b parêntese esquerdo a menos b parêntese direito espaço menos espaço c parêntese esquerdo a espaço menos espaço b parêntese direito fecha colchetes$

Colocando o produto (a - b) em evidência

$a abre colchetes parêntese esquerdo a menos b parêntese direito espaço parêntese esquerdo b menos c parêntese direito fecha colchetes$

Como é um produto, podemos eliminar os parênteses

$a parêntese esquerdo a menos b parêntese direito parêntese esquerdo b menos c parêntese direito$

Exercício 2

(UEL) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero

a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.
b) se e somente se a = b.
c) se e somente se a = - b.
d) se e somente se a = 0.
e) se e somente se a = b = 1.

Ver Resposta

Resposta correta: a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.

Passo 1 : calcular os determinantes.

$abre colchetes a. a espaço menos espaço b. b fecha colchetes mais abre colchetes menos a. a espaço menos espaço parêntese esquerdo menos b. b parêntese direito fecha colchetes a ao quadrado menos b ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos a ao quadrado parêntese direito menos parêntese esquerdo menos b ao quadrado parêntese direito a ao quadrado menos b ao quadrado menos a ao quadrado mais espaço b ao quadrado$

Passo 2: cancelar os termos iguais

$a ao quadrado menos espaço a ao quadrado menos b ao quadrado mais espaço b ao quadrado espaço igual a espaço 0$

Portanto, para qualquer número real, o resultado será zero.

Exercício 3

(UEL-PR) O determinante mostrado na figura a seguir é positivo sempre que

a) x > 0.
b) x > 1.
c) x < 1.
d) x < 3.
e) x > -3.

Ver Resposta

Resposta correta: b) x > 1

Passo 1: aplicar a Regra de Sarrus e calcular o determinante.

Produto das diagonais principais

$1 espaço. espaço x espaço. espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço mais espaço 0 espaço mais espaço 0 espaço igual a menos espaço x$

Produto das diagonais secundárias

$menos 1 espaço. espaço x espaço. espaço x espaço mais espaço 0 espaço mais espaço 0 espaço igual a espaço menos x ao quadrado$

Passo 2: subtrair o produto das diagonais principais das secundárias.

$menos x menos parêntese esquerdo menos x ao quadrado parêntese direito menos x mais x ao quadrado$

Passo 3: colocar x em evidência.

$x parêntese esquerdo menos 1 mais x parêntese direito$

Ser positivo significa ser maior que zero, escrevendo uma desigualdade, temos:

$x parêntese esquerdo menos 1 mais x parêntese direito espaço maior que espaço 0$

Resolvendo, temos que o determinante é positivo sempre que $x maior que 1$ .

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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