Determinantes


O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Esse número é encontrado fazendo-se determinadas operações com os elementos que compõe a matriz.

Indicamos o determinante de uma matriz A por det A. Podemos ainda, representar o determinante por duas barra entre os elementos da matriz.

Determinantes de 1.ª Ordem

O determinante de uma matriz de Ordem 1, é igual ao próprio elemento da matriz, pois esta apresenta apenas uma linha e uma coluna.

Exemplos:

det X = |8| = 8
det Y = |-5| = 5

Determinantes de 2.ª Ordem

A matrizes de Ordem 2 ou matriz 2x2, são aquelas que apresentam duas linhas e duas colunas.

O determinante de uma matriz desse tipo é calculado, primeiro multiplicando os valores constantes nas diagonais, uma principal e outra secundária.

De seguida, subtraindo os resultados obtidos dessa multiplicação.

Exemplos:

Exemplo de Determinante de 2.º Ordem

3 * 2 - 7 * 5 = 6 - 35 = -29

Exemplo de Determinantes de 2.ª Ordem

3 * 4 - 8 * 1 = 12 - 8 = 4

Determinantes de 3.ª Ordem

A matrizes de Ordem 3 ou matriz 3x3, são aquelas que apresentam três linhas e três colunas:

Exemplo de Determinantes de 3.ª Ordem

Para calcular o determinante desse tipo de matriz, utilizamos a Regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas logo a seguir à terceira:

Exemplo de Determinantes de 3.ª Ordem

De seguida, seguimos os seguintes passos:

1) Calculamos a multiplicação em diagonal. Para tanto, traçamos setas diagonais que facilitam o cálculo.

As primeiras setas são traçadas da esquerda para a direita e correspondem à diagonal principal:

Exemplo de Determinantes de 3.ª Ordem

1 * 5 * 8 = 40
2 * 6 * 2 = 24
3 * 2 * 5 = 30

2) Calculamos a multiplicação do outro lado da diagonal. Assim, traçamos novas setas.

Agora, as setas são traçadas da direita para a esquerda e correspondem à diagonal secundária:

Exemplo de Determinantes de 3.ª Ordem

2 * 2 * 8 = 32
1 * 6 * 5 = 30
3 * 5 * 2 = 30

3) Somamos cada uma delas:

40 + 24 + 30 = 94
32 + 30 + 30 = 92

4) Subtraímos cada um desses resultados:

94 - 92 = 2

Leia Matrizes e Determinantes e, para entender como calcular determinantes de matriz de ordem igual ou superior a 4, leia Teorema de Laplace.

Exercícios

1. (UNITAU) O valor do determinante (imagem abaixo) como produto de 3 fatores é:

a) abc.
b) a (b + c) c.
c) a (a - b) (b - c).
d) (a + c) (a - b) c.
e) (a + b) (b + c) (a + c).

Imagem com exemplo de determinantes

Alternativa c: a (a - b) (b - c).

2. (UEL) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero (imagem abaixo)

a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b
b) se e somente se a = b
c) se e somente se a = - b
d) se e somente se a = 0
e) se e somente se a = b = 1

Imagem com exemplo de determinantes 2

Alternativa: a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b

3. (UEL-PR) O determinante mostrado na figura a seguir (imagem abaixo) é positivo sempre que

a) x > 0
b) x > 1
c) x < 1
d) x < 3
e) x > -3

Imagem com exemplo de determinantes 3

Alternativa b: x > 1