Teorema de Laplace

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

O Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n. Normalmente, é utilizado quando as matrizes são de ordem igual ou superior a 4.

Esse método foi desenvolvido pelo matemático e físico Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

Como Calcular?

O teorema de Laplace pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.

Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:

Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples;
Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.

Cofator

O cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:

A_ij = (-1) ^{i + j}. D_ij

Onde

A_ij: cofator de um elemento a_ij
i: linha onde se encontra o elemento
j: coluna onde se encontra o elemento
D_ij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

Exemplo

Determine o cofator do elemento a_23,da matriz A indicada

$A igual a espaço abre colchetes tabela linha com 2 1 2 linha com célula com menos 3 fim da célula 4 1 linha com 3 2 5 fim da tabela fecha colchetes$

Solução

Para calcular o cofator do elemento a₂₃, vamos começar calculando o determinante da matriz resultante da eliminação da linha 2 e da coluna 3.

$abre barra vertical riscado horizontal sobre tabela linha com 2 1 célula com vertical risco 2 fim da célula linha com célula com menos 3 fim da célula 4 célula com vertical risco 1 fim da célula linha com 3 2 célula com vertical risco 5 fim da célula fim da tabela fim do riscado fecha barra vertical$

Assim, vamos calcular o determinante dessa matriz:

$D com 23 subscrito igual a abre barra vertical tabela linha com 2 1 linha com 3 2 fim da tabela fecha barra vertical igual a 4 menos 3 igual a 1$

O cofator será encontrado substituindo o valor de D₂₃ na expressão, conforme indicado abaixo:

A_{23 =} (-1)²⁺³ . 1 = -1

O cofator A₂₃, do elemento a₂₃ da matriz dada, é igual a -1.

Agora que já sabemos determinar o cofator de um elemento de uma matriz, podemos então aplicar o teorema de Laplace para calcular o seu determinante.

Exemplo

Encontre o determinante da matriz B, indicada abaixo.

$B igual a abre colchetes tabela linha com 4 5 célula com menos 3 fim da célula 0 linha com 2 célula com menos 1 fim da célula 3 1 linha com 1 célula com menos 3 fim da célula 2 1 linha com 0 2 célula com menos 2 fim da célula 5 fim da tabela fecha colchetes$

Solução

Vamos selecionar a linha 1, já que nela há um elemento igual a zero.

O determinante será encontrado fazendo:

A partir daqui, como zero multiplicado por qualquer número é zero, o cálculo fica mais simples, pois neste caso a₁₄ . A₁₄ não precisa ser calculado.

Vamos então calcular cada cofator:

$A com 11 subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 1 mais 1 fim do exponencial. abre barra vertical tabela linha com célula com menos 1 fim da célula 3 1 linha com célula com menos 3 fim da célula 2 1 linha com 2 célula com menos 2 fim da célula 5 fim da tabela fecha barra vertical igual a 1.41 igual a 41$

$A com 12 subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 1 mais 2 fim do exponencial. abre barra vertical tabela linha com 2 3 1 linha com 1 2 1 linha com 0 célula com menos 2 fim da célula 5 fim da tabela fecha barra vertical igual a menos 1.7 igual a menos 7$

$A com 13 subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 1 mais 3 fim do exponencial. abre barra vertical tabela linha com 2 célula com menos 1 fim da célula 1 linha com 1 célula com menos 3 fim da célula 1 linha com 0 2 5 fim da tabela fecha barra vertical igual a 1. parêntese esquerdo menos 27 parêntese direito igual a menos 27$

Note que para determinar o cofator é necessário calcular o determinante de cada matriz de ordem 3 indicada acima. Para esse tipo de matriz, o método mais fácil é aplicar a regra de Sarrus.

Substituindo os valores encontrados na expressão do determinante, temos:

D = 4 . 41 + 5 . (-7) + (-3) . (-27) = 164 - 35 + 81 = 210

Chegamos ao resultado 210, que é o determinante dessa matriz 4x4 ou matriz de 4.ª ordem.

Exercício Resolvido

Utilizando o Teorema de Laplace, calcule o determinante da matriz 5x5 indicada abaixo.

$abre colchetes tabela linha com 1 2 3 célula com menos 3 fim da célula 1 linha com 0 4 0 0 0 linha com 0 1 0 1 1 linha com 0 célula com menos 6 fim da célula 6 1 3 linha com 0 2 0 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes$

Solução

Na primeira coluna da matriz, quase todos os elementos são iguais a zero. Para facilitar, vamos escolher essa coluna.

O determinante será encontrado fazendo-se:

D = 1 . A₁₁ + 0 . A₂₁ + 0 . A₃₁ + 0 . A₄₁ + 0 . A₅₁

O único cofator que teremos que calcular é o A₁₁, pois os demais serão multiplicados por zero. O valor de A₁₁ será encontrado fazendo:

$A com 11 subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 1 mais 1 fim do exponencial. abre barra vertical tabela linha com 4 0 0 0 linha com 1 0 1 1 linha com célula com menos 6 fim da célula 6 1 3 linha com 2 0 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha barra vertical$

Como deveremos calcular o determinante de uma matriz de ordem 4, vamos utilizar novamente o teorema de Laplace. Para este cálculo, escolhemos a primeira linha, pois esta apresenta apenas um valor diferente de zero.

D´= 4 . A´₁₁ + 0. A'₁₂ + 0 . A'₁₃ + 0 . A'₁₄

Para calcular o determinante D', precisamos apenas encontrar o valor de A'₁₁, pois os demais cofatores estão multiplicados por zero.

$A apóstrofo com 11 subscrito igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 1 mais 1 fim do exponencial. abre barra vertical tabela linha com 0 1 1 linha com 6 1 3 linha com 0 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a menos 12$

Desta forma D' será igual a:

D' = 4 . (-12) = - 48

Podemos então calcular o determinante procurado, substituindo esse valor na expressão do A₁₁:

A₁₁= 1. (-48) = - 48

Assim, o determinante será dado por:

D = 1. A₁₁ = - 48

Portanto, o determinante da matriz de ordem 5, é igual a - 48.

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.