Regra de Cramer

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A regra de Cramer é uma estratégia para resolução de sistemas de equações lineares utilizando o cálculo dos determinantes.

Esta técnica foi criada pelo matemático suíço Gabriel Cramer (1704-1752) por volta do século XVIII com o intuito de solucionar sistemas com um número arbitrário de incógnitas.

Demonstração da Regra de Cramer

Pelo teorema de Cramer, se um sistema linear apresenta o número de equações igual ao número de incógnitas e determinante diferente de zero, então as incógnitas são calculadas por:

$tabela linha com célula com reto a com 1 subscrito reto x fim da célula mais célula com reto b com 1 subscrito reto y fim da célula mais célula com reto c com 1 subscrito reto z fim da célula igual a linha com célula com reto a com 2 subscrito reto x fim da célula mais célula com reto b com 2 subscrito reto y fim da célula mais célula com reto c com 2 subscrito reto z fim da célula igual a linha com célula com reto a com 3 subscrito reto x fim da célula mais célula com reto b com 3 subscrito reto y fim da célula mais célula com reto c 3 reto z fim da célula igual a fim da tabela tabela linha com célula com reto d com 1 subscrito fim da célula linha com célula com reto d com 2 subscrito fim da célula linha com célula com reto d com 3 subscrito fim da célula fim da tabela$

$reto x espaço igual a espaço reto D com reto x subscrito sobre reto D espaço ponto e vírgula espaço reto y espaço igual a espaço reto D com reto y subscrito sobre reto D espaço reto e espaço reto z espaço igual a espaço reto D com reto z subscrito sobre reto D vírgula espaço reto D espaço não igual 0$

Os valores de D_x, D_y e D_z são encontrados substituindo a coluna de interesse pelos termos independentes da matriz.

$reto D com reto x subscrito espaço igual a espaço tabela linha com célula com negrito d com negrito 1 subscrito fim da célula célula com reto b com 1 subscrito fim da célula célula com reto c com 1 subscrito fim da célula linha com célula com negrito d com negrito 2 subscrito fim da célula célula com reto b com 2 subscrito fim da célula célula com reto c com 2 subscrito fim da célula linha com célula com negrito d com negrito 3 subscrito fim da célula célula com reto b com 3 subscrito fim da célula célula com reto c com 3 subscrito fim da célula fim da tabela espaço ponto e vírgula espaço reto D com reto y subscrito espaço igual a espaço tabela linha com célula com reto a com 1 subscrito fim da célula célula com negrito d com negrito 1 subscrito fim da célula célula com reto c com 1 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 2 subscrito fim da célula célula com negrito d com negrito 2 subscrito fim da célula célula com reto c com 2 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 3 subscrito fim da célula célula com negrito d com negrito 3 subscrito fim da célula célula com reto c com 3 subscrito fim da célula fim da tabela espaço ponto e vírgula espaço reto D com reto z subscrito espaço igual a espaço tabela linha com célula com reto a com 1 subscrito fim da célula célula com reto b com 1 subscrito fim da célula célula com negrito d com negrito 1 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 2 subscrito fim da célula célula com reto b com 2 subscrito fim da célula célula com negrito d com negrito 2 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 3 subscrito fim da célula célula com reto b com 3 subscrito fim da célula célula com negrito d com negrito 3 subscrito fim da célula fim da tabela$

Uma das maneiras de calcular o determinante de uma matriz é utilizando a regra de Sarrus:

$reto M espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com reto a com 1 subscrito fim da célula célula com reto b com 1 subscrito fim da célula célula com reto c com 1 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 2 subscrito fim da célula célula com reto b com 2 subscrito fim da célula célula com reto c com 2 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 3 subscrito fim da célula célula com reto b com 3 subscrito fim da célula célula com reto c com 3 subscrito fim da célula fim da tabela fecha colchetes tabela linha com célula com reto a com 1 subscrito fim da célula célula com reto b com 1 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 2 subscrito fim da célula célula com reto b com 2 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 3 subscrito fim da célula célula com reto b com 3 subscrito fim da célula fim da tabela reto D igual a reto a com 1 subscrito. reto b com 2 subscrito. reto c com 3 subscrito mais reto b com 1 subscrito. reto c com 2 subscrito. reto a com 3 subscrito mais reto c com 1 subscrito. reto a com 2 subscrito. reto b com 3 subscrito menos reto c com 1 subscrito. reto b com 2 subscrito. reto a com 3 subscrito menos reto a com 1 subscrito. reto c com 2 subscrito. reto b com 3 subscrito menos reto b com 1 subscrito. reto a com 2 subscrito. reto c com 3 subscrito$

Para aplicar a regra de Cramer o determinante deve ser diferente de zero e, desta forma, apresentar uma solução única. Caso seja igual a zero, temos um sistema indeterminado ou impossível.

Portanto, conforme a resposta obtida no cálculo do determinante, um sistema linear pode ser classificado em:

Determinado, por possuir uma solução única; (D_x, D_y, D_z e D diferentes de 0).
Indeterminado, por possuir infinitas soluções; (D_x, D_y, D_zsendo iguais a 0).
Impossível, pois não apresenta soluções. D = 0

Exemplo método de Cramer para sistema 2x2

Observe o sistema a seguir com duas equações e duas incógnitas.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 12 reto x espaço mais espaço 3 reto y espaço igual a espaço 15 fim da célula linha com célula com 2 reto x espaço menos espaço 3 reto y espaço igual a espaço 13 fim da célula fim da tabela fecha$

1º passo: calcular o determinante da matriz de coeficientes.

$reto M espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 12 3 linha com 2 célula com menos 3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes reto D espaço igual a espaço 12. parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito espaço menos espaço 3.2 espaço igual a espaço menos 36 espaço menos espaço 6 espaço igual a espaço menos espaço 42$

2º passo: calcular D_xsubstituindo os coeficientes da primeira coluna pelos termos independentes.

$reto M com reto x subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com negrito 15 3 linha com negrito 13 célula com menos 3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes reto D com reto x subscrito espaço igual a espaço 15. parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito espaço menos espaço 3.13 espaço igual a espaço menos 45 espaço menos espaço 39 espaço igual a espaço menos espaço 84$

3º passo: calcular D_ysubstituindo os coeficientes da segunda coluna pelos termos independentes.

$reto M com reto x subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 12 negrito 15 linha com 2 negrito 13 fim da tabela fecha colchetes reto D com reto y subscrito espaço igual a espaço 12.13 espaço menos espaço 15.3 espaço igual a espaço 156 espaço menos espaço 30 espaço igual a espaço 126$

4º passo: calcular o valor das incógnitas pela regra de Cramer.

$reto x espaço igual a espaço reto D com reto x subscrito sobre reto D igual a numerador menos espaço 84 sobre denominador menos espaço 42 fim da fração igual a 2 reto y espaço igual a espaço reto D com reto y subscrito sobre reto D espaço igual a menos 126 sobre 42 igual a menos 3$

Portanto, x = 2 e y = - 3.

Confira um resumo completo sobre Matrizes.

Exemplo método de Cramer para sistema 3x3

O sistema a seguir apresenta três equações e três incógnitas.

$abre chaves tabela linha com reto x mais reto y mais reto z igual a linha com célula com 4 reto x fim da célula mais célula com 2 reto y fim da célula menos reto z igual a linha com reto x mais célula com 3 reto y fim da célula mais célula com 2 reto y fim da célula igual a fim da tabela fecha tabela linha com 6 linha com 5 linha com 13 fim da tabela$

1º passo: calcular o determinante da matriz de coeficientes.

$reto M espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 1 1 linha com 4 2 célula com menos 1 fim da célula linha com 1 3 2 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com blank blank linha com blank blank linha com blank blank fim da tabela$

Para isto, primeiramente, escrevemos os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz.

$reto M espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 1 1 linha com 4 2 célula com menos 1 fim da célula linha com 1 3 2 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com 1 1 linha com 4 2 linha com 1 3 fim da tabela$

Agora, multiplicamos os elementos das diagonais principais e somamos os resultados.

$tabela linha com negrito 1 negrito 1 negrito 1 linha com 4 negrito 2 célula com negrito menos negrito 1 fim da célula linha com 1 3 negrito 2 fim da tabela tabela linha com 1 1 linha com negrito 4 2 linha com negrito 1 negrito 3 fim da tabela espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço seta na posição noroeste seta na posição noroeste seta na posição noroeste espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço Diagonais espaço principais$

$tabela linha com célula com negrito 1 negrito. negrito 2 negrito. negrito 2 fim da célula mais célula com negrito 1 negrito. negrito parêntese esquerdo negrito menos negrito 1 negrito parêntese direito negrito. negrito 1 fim da célula mais célula com negrito 1 negrito. negrito 4 negrito. negrito 3 fim da célula blank linha com negrito 4 blank célula com negrito menos negrito espaço negrito 1 fim da célula blank célula com mais espaço negrito 12 fim da célula blank fim da tabela tabela linha com blank linha com blank fim da tabela$

Seguimos multiplicando os elementos das diagonais secundárias e invertemos o sinal do resultado.

$tabela linha com 1 1 negrito 1 linha com 4 negrito 2 célula com negrito menos negrito 1 fim da célula linha com negrito 1 negrito 3 negrito 2 fim da tabela tabela linha com negrito 1 negrito 1 linha com negrito 4 2 linha com 1 3 fim da tabela seta na posição nordeste seta na posição nordeste seta na posição nordeste Diagonais espaço secundárias$

$tabela linha com célula com menos negrito espaço negrito 1 negrito. negrito 2 negrito. negrito 1 fim da célula menos célula com negrito 1 negrito. negrito parêntese esquerdo negrito menos negrito 1 negrito parêntese direito negrito. negrito 3 fim da célula menos célula com negrito 1 negrito. negrito 4 negrito. negrito 2 fim da célula blank linha com célula com menos negrito 2 fim da célula blank célula com mais negrito espaço negrito 3 fim da célula blank célula com menos negrito espaço negrito 8 fim da célula blank fim da tabela tabela linha com blank linha com blank fim da tabela$

Posteriormente, juntamos os termos e resolvemos as operações de adição e subtração para obter o determinante.

$reto D espaço igual a espaço 4 espaço menos espaço 1 mais espaço 12 espaço menos espaço 2 espaço mais espaço 3 espaço menos espaço 8 espaço igual a espaço 8$

2º passo: substituir os termos independentes na primeira coluna da matriz e calcular D_x.

Calculamos D_xda mesma maneira que encontramos o determinante da matriz.

$reto M com reto x subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com negrito 6 1 1 linha com negrito 5 2 célula com menos 1 fim da célula linha com negrito 13 3 2 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com 6 1 linha com 5 2 linha com 13 3 fim da tabela reto D com reto x subscrito espaço igual a espaço 6.2.2 espaço mais espaço 1. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito.13 espaço mais espaço 1.5.3 espaço menos espaço 1.2.13 espaço menos espaço 6. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito.3 espaço menos espaço 1.5.2 reto D com reto x subscrito espaço igual a 8$

3º passo: substituir os termos independentes na segunda coluna da matriz e calcular D_y.

$reto M com reto y subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 negrito 6 1 linha com 4 negrito 5 célula com menos 1 fim da célula linha com 1 negrito 13 2 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com 1 6 linha com 4 5 linha com 1 13 fim da tabela reto D com reto y subscrito espaço igual a espaço 1.5.2 espaço mais espaço 6. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito.1 espaço mais espaço 1.4.13 espaço menos espaço 1.5.1 espaço menos espaço 1. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito.13 espaço menos espaço 6.4.2 reto D com reto y subscrito espaço igual a espaço espaço 16$

4º passo: substituir os termos independentes na terceira coluna da matriz e calcular D_z.

$reto M com reto z subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 1 negrito 6 linha com 4 2 negrito 5 linha com 1 3 negrito 13 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com 1 1 linha com 4 2 linha com 1 3 fim da tabela reto D com reto z subscrito espaço igual a espaço 1.2.13 espaço mais espaço 1.5.1 espaço mais espaço 6.4.3 espaço menos espaço 6.2.1 espaço menos espaço 1.5.3 espaço menos espaço 1.4.13 reto D com reto z subscrito espaço igual a espaço espaço 24 espaço$

5º passo: aplicar a regra de Cramer e calcular o valor das incógnitas.

$reto x espaço igual a espaço reto D com reto x subscrito sobre reto D igual a 8 sobre 8 igual a 1 reto y espaço igual a espaço reto D com reto y subscrito sobre reto D espaço igual a 16 sobre 8 igual a 2 reto z espaço igual a espaço reto D com reto z subscrito sobre reto D igual a 24 sobre 8 igual a 3$

Portanto, x = 1; y = 2 e z = 3.

Saiba mais sobre a Regra de Sarrus.

Exemplo método de Cramer para sistema 4x4

O sistema a seguir apresenta quatro equações e quatro incógnitas: x, y, z e w.

$abre chaves tabela linha com reto y mais reto z mais reto w igual a linha com célula com 2 reto x fim da célula mais célula com 5 reto z fim da célula mais célula com 2 reto w fim da célula igual a linha com célula com 2 reto y fim da célula mais reto z mais célula com 3 reto w fim da célula igual a linha com célula com 3 reto y fim da célula menos reto z mais reto w igual a fim da tabela fecha tabela linha com 0 linha com 0 linha com 4 linha com 1 fim da tabela$

A matriz dos coeficientes do sistema é:

$reto M espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 1 1 1 linha com 2 0 5 2 linha com 0 2 1 3 linha com 0 3 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes$

Como a ordem da matriz é superior a 3, utilizaremos o Teorema de Laplace para encontrar o determinante da matriz.

Primeiramente, selecionamos uma linha ou coluna da matriz e somamos os produtos dos números da fileira pelos respectivos cofatores.

Um cofator é calculado da seguinte forma:

A_ij= (-1)^{i + j}. D_ij

Onde

A_ij: cofator de um elemento a_ij;
i: linha onde se localiza o elemento;
j: coluna onde se localiza o elemento;
D_ij: determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

Para facilitar os cálculos escolheremos a primeira coluna, pois tem maior quantidade de zeros.

$reto M espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com negrito 0 1 1 1 linha com negrito 2 0 5 2 linha com negrito 0 2 1 3 linha com negrito 0 3 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes$

O determinante é encontrado da seguinte forma:

$reto D espaço igual a espaço começar estilo em linha soma de reto a com ij subscrito de fim do estilo espaço. espaço reto A com ij subscrito reto D espaço igual a espaço espaço reto a com 11 subscrito. reto A com 11 subscrito espaço mais espaço reto a com 21 subscrito. reto A com 21 subscrito espaço mais espaço reto a com 31 subscrito. reto A com 31 subscrito espaço mais espaço reto a com 41 subscrito. reto A com 41 subscrito reto D espaço estreito igual a espaço espaço espaço 0. reto A com 11 subscrito espaço mais espaço 2. reto A com 21 subscrito espaço mais espaço 0. reto A com 31 subscrito espaço mais espaço 0. reto A reto D espaço estreito igual a espaço espaço espaço 2. reto A com 21 subscrito$

1º passo: calcular o cofator A₂₁.

$reto A com ij subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de espaço reto i espaço mais espaço reto j fim do exponencial. espaço reto D com ij subscrito reto A com 21 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito à potência de 2 espaço mais 1 fim do exponencial. espaço reto D com 21 subscrito reto A com 21 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao cubo. espaço reto D com 21 subscrito reto A com 21 subscrito espaço igual a espaço menos reto D com 21 subscrito$

Para encontrar o valor de A₂₁, precisamos calcular o determinante da matriz resultante da eliminação da linha 2 e da coluna 1.

$reto M espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com riscado horizontal sobre vertical risco negrito 0 fim do riscado fim da célula 1 1 1 linha com célula com riscado horizontal sobre vertical risco negrito 2 fim do riscado fim da célula célula com horizontal risco negrito 0 fim da célula célula com horizontal risco negrito 5 fim da célula célula com horizontal risco negrito 2 fim da célula linha com célula com vertical risco negrito 0 fim da célula 2 1 3 linha com célula com vertical risco negrito 0 fim da célula 3 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes$

Com isto, obtemos uma matriz 3x3 e podemos utilizar a regra de Sarrus.

$reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 1 1 linha com 2 1 3 linha com 3 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com 1 1 linha com 2 1 linha com 3 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço espaço 1 espaço mais espaço 9 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço menos espaço 3 espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito espaço menos espaço 2 reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço 10 espaço menos espaço 5 espaço mais espaço 3 espaço menos 2 reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço 6$

2º passo: calcular o determinante da matriz.

Agora, podemos calcular o determinante da matriz dos coeficientes.

$reto D espaço estreito igual a espaço espaço espaço 2. reto A com 21 subscrito reto D espaço estreito igual a espaço espaço espaço 2. parêntese esquerdo menos reto D com 21 subscrito parêntese direito reto D espaço igual a espaço 2. espaço parêntese esquerdo menos 6 parêntese direito reto D espaço igual a espaço menos 12$

3º passo: substituir os termos independentes na segunda coluna da matriz e calcular D_y.

$reto M com reto y subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 negrito 0 1 1 linha com 2 negrito 0 5 2 linha com 0 negrito 4 1 3 linha com 0 negrito 1 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes espaço seta dupla para a direita espaço abre colchetes tabela linha com célula com vertical risco 0 fim da célula negrito 0 1 1 linha com célula com riscado vertical sobre horizontal risco 2 fim do riscado fim da célula célula com horizontal risco negrito 0 fim da célula célula com horizontal risco 5 fim da célula célula com horizontal risco 2 fim da célula linha com célula com vertical risco 0 fim da célula negrito 4 1 3 linha com célula com vertical risco 0 fim da célula negrito 1 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes espaço seta dupla para a direita abre colchetes tabela linha com 0 1 1 linha com 4 1 3 linha com 1 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes$

$reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 1 1 linha com 4 1 3 linha com 1 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com 0 1 linha com 4 1 linha com 1 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço espaço espaço 0 espaço mais espaço 3 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito espaço menos espaço 1 espaço menos espaço 0 espaço menos espaço 4 reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço espaço espaço menos espaço 6$

$reto D com reto y subscrito espaço estreito igual a espaço 2. reto A com 21 subscrito reto D com reto y subscrito espaço estreito igual a espaço 2. parêntese esquerdo menos reto D com 21 subscrito parêntese direito reto D com reto y subscrito espaço igual a espaço 2.6 reto D com reto y subscrito espaço igual a espaço 12$

4º passo: substituir os termos independentes na terceira coluna da matriz e calcular D_z.

$reto M com reto z subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 1 negrito 0 1 linha com 2 0 negrito 0 2 linha com 0 2 negrito 4 3 linha com 0 3 negrito 1 1 fim da tabela fecha colchetes espaço seta dupla para a direita espaço abre colchetes tabela linha com célula com vertical risco 0 fim da célula 1 negrito 0 1 linha com célula com riscado vertical sobre horizontal risco 2 fim do riscado fim da célula célula com horizontal risco 0 fim da célula célula com horizontal risco negrito 0 fim da célula célula com horizontal risco 2 fim da célula linha com célula com vertical risco 0 fim da célula 2 negrito 4 3 linha com célula com vertical risco 0 fim da célula 3 negrito 1 1 fim da tabela fecha colchetes espaço seta dupla para a direita abre colchetes tabela linha com 1 0 1 linha com 2 4 3 linha com 3 1 1 fim da tabela fecha colchetes$

$reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 0 1 linha com 2 4 3 linha com 3 1 1 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com 1 0 linha com 2 4 linha com 3 1 fim da tabela reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço espaço espaço 4 espaço mais espaço 0 espaço mais espaço 2 espaço menos espaço 12 espaço menos espaço 3 espaço menos espaço 0 reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço espaço espaço menos espaço 9$

$reto D com reto z subscrito espaço estreito igual a espaço 2. reto A com 21 subscrito reto D com reto z subscrito espaço estreito igual a espaço 2. parêntese esquerdo menos reto D com 21 subscrito parêntese direito reto D com reto z subscrito espaço igual a espaço 2.9 reto D com reto z subscrito espaço igual a espaço 18$

5º passo: substituir os termos independentes na quarta coluna da matriz e calcular D_w.

$reto M com reto w subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 1 1 negrito 0 linha com 2 0 5 negrito 0 linha com 0 2 1 negrito 4 linha com 0 3 célula com menos 1 fim da célula negrito 1 fim da tabela fecha colchetes espaço seta dupla para a direita espaço abre colchetes tabela linha com célula com vertical risco 0 fim da célula 1 1 negrito 0 linha com célula com riscado vertical sobre horizontal risco 2 fim do riscado fim da célula célula com horizontal risco 0 fim da célula célula com horizontal risco 5 fim da célula célula com horizontal risco negrito 0 fim da célula linha com célula com vertical risco 0 fim da célula 2 1 negrito 4 linha com célula com vertical risco 0 fim da célula 3 célula com menos 1 fim da célula negrito 1 fim da tabela fecha colchetes espaço seta dupla para a direita abre colchetes tabela linha com 1 1 0 linha com 2 1 4 linha com 3 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes$

$reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 1 0 linha com 2 1 4 linha com 3 célula com menos 1 fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com 1 1 linha com 2 1 linha com 3 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 12 espaço mais espaço 0 espaço menos espaço 0 espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito espaço menos espaço 2 reto D com 21 subscrito espaço igual a espaço 15$

$reto D com reto w subscrito espaço estreito igual a espaço 2. reto A com 21 subscrito reto D com reto w subscrito espaço estreito igual a espaço 2. parêntese esquerdo menos reto D com 21 subscrito parêntese direito reto D com reto w subscrito espaço igual a espaço 2. parêntese esquerdo menos 15 parêntese direito reto D com reto w subscrito espaço igual a espaço menos 30$

6º passo: calcular pelo método de Cramer o valor das incógnitas y, z e w.

$reto y espaço igual a espaço reto D com reto y subscrito sobre reto D igual a menos 12 sobre 12 igual a menos espaço 1 reto z espaço igual a espaço reto D com reto z subscrito sobre reto D espaço igual a menos 18 sobre 12 igual a menos espaço 3 sobre 2 igual a espaço menos espaço 1 vírgula 5 reto w espaço igual a espaço reto D com reto w subscrito sobre reto D igual a numerador menos 30 sobre denominador menos 12 fim da fração igual a 5 sobre 2 espaço igual a espaço 2 vírgula 5$

7º passo: calcular o valor da incógnita x substituindo na equação as demais incógnitas calculadas.

$tabela linha com célula com 2 reto x fim da célula mais célula com 5 reto z fim da célula mais célula com 2 reto w fim da célula fim da tabela espaço igual a espaço 0 2 reto x espaço mais espaço 5. parêntese esquerdo menos espaço 1 vírgula 5 parêntese direito espaço mais espaço 2.2 vírgula 5 espaço igual a espaço 0 2 reto x espaço menos espaço 7 vírgula 5 espaço mais espaço 5 espaço igual a espaço 0 reto x espaço igual a espaço numerador 7 vírgula 5 espaço menos espaço 5 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador 2 vírgula 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a 1 vírgula 5$

Portanto, os valores das incógnitas no sistema 4x4 são: x = 1,5; y = - 1; z = - 1,5 e w = 2,5.

Saiba mais sobre o Teorema de Laplace.

Pratique sobre exercícios de sistemas lineares.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.