Escalonamento de Sistemas Lineares

Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
Publicado em

Escalonamento é um método para resolver sistemas de equações lineares, quando existe solução. Também é usado para classificar estes sistemas que podem possuir quaisquer ordens.

Escalonar um sistema linear é modificar suas equações e termos de modo a obter um novo sistema, escalonado, em que ambos são equivalentes, pois possuem as mesmas soluções.

Forma escalonada de sistemas

Um sistema linear de equações está na forma escalonada quando:

  • As incógnitas das equações são escritas na mesma ordem;
  • O 1.º elemento diferente de zero de uma equação, está à esquerda do 1.º elemento diferente de zero da linha seguinte;
  • Uma linha com todos os elementos nulos, deve estar abaixo de todas as outras.

Exemplo
Um sistema 2x2 escalonado, com duas equações e duas incógnitas, x e y. Na segunda equação o 1.º termo é nulo (x=0).

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x mais reto y igual a 4 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto y igual a 1 fim da célula fim da tabela fecha

Exemplo
Um sistema 3x3 escalonado, com três equações e três incógnitas: x, y e z. A primeira equação possui todos os termos não-nulos (diferentes de zero). A segunda equação tem o 1.º termo nulo (x=0) e, a terceira equação possui x e y iguais a zero.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 x espaço mais espaço y espaço mais espaço z igual a 4 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 3 y espaço mais espaço z igual a 5 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço z igual a 1 fim da célula fim da tabela fecha

Repare que os sistemas escalonados estão na forma de escada, diminuindo a quantidade de termos a cada linha.

Como escalonar um sistema linear

Para escalonar um sistema linear podemos utilizar as seguintes operações:

  • Troca da ordem das equações

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto y igual a 1 fim da célula linha com célula com reto x mais reto y igual a 3 fim da célula fim da tabela fecha

Podemos passar a equação da linha 2 para a linha 1.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x mais reto y igual a 3 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto y igual a 1 fim da célula fim da tabela fecha

Assim o sistema está escalonado, equivalente ao primeiro.

  • Multiplicação (ou divisão) de todos os termos de uma equação por um mesmo número real diferente de zero;

Podemos multiplicar todos os termos de uma equação qualquer do sistema.

3 reto x mais 2 reto y mais reto z espaço igual a espaço 5

Multiplicando todos os termos por 3

negrito 3.3 reto x mais negrito 3.2 reto y mais negrito 3. reto z igual a negrito 3.5 9 reto x mais 6 reto y mais 3 reto z igual a 15

  • Multiplicação dos termos de uma equação por um número real e, soma (ou subtração) do resultado aos termos correspondentes de outra equação do sistema.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto x mais reto y igual a 2 fim da célula linha com célula com menos 2 reto x mais reto y igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha

Podemos multiplicar todos os elementos da equação da primeira linha por 2

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto x mais reto y igual a 2 espaço negrito. negrito parêntese esquerdo negrito 2 negrito parêntese direito seta dupla para a direita negrito 2. x mais negrito 2. y igual a negrito 2.2 seta dupla para a direita 2 reto x mais 2 reto y igual a 4 fim da célula linha com célula com menos 2 reto x mais reto y igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha

Somamos a equação obtida termo a termo com a equação da segunda linha e substituímos na segunda linha o resultado.

stack attributes charalign center stackalign right end attributes row 2 x mais 2 y igual a 4 end row row menos 2 x mais y igual a 5 end row horizontal line row 3 y igual a 9 end row end stack

Obtemos o sistema escalonado.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 2 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço 3 y igual a 9 fim da célula fim da tabela fecha

Devemos realizar tantas transformações quanto forem necessárias, até obtermos um sistema na forma escalonada, equivalente ao primeiro.

Classificação de sistemas lineares escalonados

Para classificar um sistema linear escalonado deve-se observar a última linha para determinar se ele é:

SPD - Sistema possível e determinado. Tem apenas uma solução.
SPI - Sistema possível e indeterminado. Tem infinitas soluções.
SI - Sistema impossível. Não possui solução.

Se a última linha do sistema for:

  • Uma equação do 1º grau, o sistema é possível e determinado, SPD;

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 x menos 5 y igual a 6 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 2 y igual a 1 fim da célula fim da tabela fecha

  • Uma igualdade apenas com números, sem incógnitas e verdadeira, o sistema é possível e indeterminado, SPI.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais z igual a 4 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço y mais z igual a 2 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 z igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha

  • Uma igualdade falsa, o sistema é impossível, SI.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 10 x menos 4 y mais 2 z igual a 6 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 8 y menos 2 z igual a 10 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 z igual a 16 fim da célula fim da tabela fecha

Resolução de sistemas lineares escalonados

Resolver um sistema de equações é determinar seu conjunto solução, os valores numéricos que ao substituí-los pelas incógnitas, tornam verdadeiras as igualdades.

Para resolver sistemas lineares escalonados consideramos dois casos e realizamos as seguintes estratégias:

  • Número de equações igual o número de incógnitas.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais z igual a 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço y menos z igual a 4 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço z igual a 2 fim da célula fim da tabela fecha

Começamos a resolução a partir da última equação, de baixo para cima.

Substituindo z na segunda equação:

y menos z igual a 4 y menos 2 igual a 4 y igual a 4 mais 2 y igual a 6

O procedimento continua até a primeira equação, determinando todas as incógnitas.

Substituindo y e z na primeira equação:

x mais y mais z igual a 1 x mais 6 mais 2 igual a 1 x mais 8 igual a 1 x igual a 1 menos 8 x igual a menos 7

  • Número de equações menor que o número de incógnitas

Exemplo: 2 equações e 3 incógnitas

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais z igual a 3 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço y menos z igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha

1. Identificamos a variável livre
Variável livre é aquela que não inicia equações, no exemplo, é a variável z.

2. Transpomos a variável livre para o outro lado da igualdade, no segundo membro da equação.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 3 menos z fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço y igual a 5 mais z fim da célula fim da tabela fecha

3. Atribuímos para z um valor numérico real k parêntese esquerdo k pertence reto números reais parêntese direito, z=k.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 3 menos k fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço y igual a 5 mais k fim da célula fim da tabela fecha

4. Substituímos y na primeira equação pelo segundo membro da segunda equação e resolvemos para x.

x mais 5 mais k igual a 3 menos k x igual a 3 menos 5 menos k menos k x igual a menos 2 menos 2 k

5. O conjunto solução é S igual a abre chaves abre parênteses menos 2 menos 2 k vírgula espaço 5 mais k espaço vírgula espaço k fecha parênteses fecha chaves

Como k pode assumir qualquer valor real, o sistema é possível e indeterminado.

Exercícios

Questão 1

Obtenha uma forma escalonada do sistema e o classifique:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço x espaço mais espaço y espaço mais espaço z igual a 1 fim da célula linha com célula com 2 x mais espaço espaço y menos 3 z igual a 4 fim da célula linha com célula com 3 x mais 2 y menos 2 z igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha

Multiplicamos a primeira equação por -2.

x mais y mais z igual a 1 espaço. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito menos 2. x mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito. y mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito. z igual a menos 2.1 menos 2 x menos 2 y menos 2 z igual a menos 2

Somamos termo a termo com a segunda equação, que será substituída pelo resultado.

stack attributes charalign center stackalign right end attributes row menos 2 x menos 2 y menos 2 z igual a menos 2 end row row 2 x nada mais y nada menos 3 z igual a 4 end row horizontal line row menos y menos 5 z igual a 2 end row end stack

A primeira equação continua original. O sistema neste ponto está assim:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço x espaço mais espaço y espaço mais espaço z igual a 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço menos y menos 5 z igual a 2 fim da célula linha com célula com 3 x mais 2 y menos 2 z igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha

Multiplicamos a primeira equação por -3.

x mais y mais z igual a 1 espaço. parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito menos 3. x mais parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito. y mais parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito. z igual a menos 3.1 menos 3 x menos 3 y menos 3 z igual a menos 3

Somamos termo a termo com a terceira, que será substituída pelo resultado.

stack attributes charalign center stackalign right end attributes row menos 3 x menos 3 y nada menos 3 z igual a menos 3 end row row 3 x mais nada 2 y menos 2 z nada igual a 5 end row horizontal line row menos y menos 5 z igual a 2 end row end stack

O sistema fica assim:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com espaço espaço espaço x espaço mais espaço y espaço mais espaço z igual a 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço menos y menos 5 z igual a 2 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço menos y menos 5 z igual a 2 fim da célula fim da tabela fecha

Multiplicando a segunda equação por -1:

menos y menos 5 z igual a 2 espaço. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito y mais 5 z igual a menos 2

Somando a terceira, obtemos:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais z igual a 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço menos y menos 5 z igual a 2 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 z igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha

Como a última linha é uma igualdade verdadeira do tipo 0=0, o sistema é possível e indeterminado, SPI.

Questão 2

Classifique o sistema em possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

a) abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y mais 2 z igual a 3 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço 2 y mais 9 z igual a 6 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha b) abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais 2 y mais 3 z igual a 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço 3 y mais 2 z igual a menos 1 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 2 z igual a menos 13 fim da célula fim da tabela fecha c) abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 5 x menos 2 y mais z igual a 3 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 4 y menos z igual a 5 fim da célula linha com célula com espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 0 z igual a 8 fim da célula fim da tabela fecha

a) Sistema possível indeterminado, SPI. A última linha é uma igualdade verdadeira sem incógnitas.

b) Sistema possível determinado, SPD. A última linha é uma equação do 1º grau.

c) Sistema impossível, SI. A última linha é uma igualdade falsa.

Questão 3

Determine o conjunto solução do seguinte sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 x mais 3 y mais 6 z igual a 15 fim da célula linha com célula com 2 y mais 2 z igual a 6 fim da célula linha com célula com 3 z igual a 3 fim da célula fim da tabela fecha

Começando com a terceira equação:

3 z igual a 3 z igual a 3 sobre 3 igual a 1

Substituindo na segunda equação:

2 y mais 2.1 igual a 6 2 y igual a 6 menos 2 2 y igual a 4 y igual a 4 sobre 2 y igual a 2

Substituindo y e z na primeira equação:

3 x mais 3.2 mais 6.1 igual a 15 3 x mais 6 mais 6 igual a 15 3 x mais 12 igual a 15 3 x igual a 15 menos 12 3 x igual a 3 x igual a 3 sobre 3 igual a 1

O conjunto solução é S={(1,2,1)}.

Aprenda mais sobre sistemas lineares e sistemas de equações.
Exercite com Sistemas de Equações do 1º Grau - Exercícios.

Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.