11 exercícios sobre multiplicação de matrizes

Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Estude com os 11 exercícios sobre multiplicação de matrizes, todos com resolução passo a passo para você tirar suas dúvidas e se sair bem nas provas e vestibulares.

Questão 1

Dadas as seguintes matrizes, marque a opção que indica apenas produtos possíveis.

começar estilo tamanho matemático 18px negrito A com negrito 2 negrito x negrito 1 subscrito fim do subscrito negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito B com negrito 3 negrito x negrito 3 subscrito fim do subscrito negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito C com negrito 1 negrito x negrito 3 negrito espaço subscrito fim do subscrito negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito D com negrito 3 negrito x negrito 2 subscrito fim do subscrito fim do estilo

a) C.A , B.A , A.D
b) D.B , D.C , A.D
c) A.C , D.A , C.D
d) B.A , A.B , D.C
e) A.D , D.C , C.A

Resposta correta: c) A.C , D.A , C.D

A.C é possível, pois o número de colunas de A (1), é igual ao número de linhas de C (1).

D.A é possível, pois o número de colunas de D (2), é igual ao número de linhas de A (2).

C.D é possível, pois o número de colunas de C (3), é igual ao número de linhas de D (3).

Questão 2

Efetue o produto matricial A . B.

A igual a abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 2 fim da célula 1 linha com 1 5 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço B igual a abre colchetes tabela linha com 1 3 linha com 0 célula com menos 5 fim da célula linha com 4 1 fim da tabela fecha colchetes

Primeiro devemos verificar se é possível realizar a multiplicação.

Sendo A uma matriz 2x3 e B uma matriz 3x2, é possível multiplicar, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.

Verificamos as dimensões da matriz resultado da multiplicação.

Chamando a matriz resultado do produto A . B de matriz C, esta terá duas linhas e duas colunas. Lembre-se que a matriz resultado do produto "herda" a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da segunda.

Sendo assim, a matriz C será do tipo 2x2. Construindo a matriz genérica C, temos:

C = abre colchetes tabela linha com célula com c com 11 subscrito fim da célula célula com c com 12 subscrito fim da célula linha com célula com c com 21 subscrito fim da célula célula com c com 22 subscrito fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Para o cálculo de c11, fazemos a multiplicação da primeira linha de A pela primeira coluna de B, somando os termos multiplicados.

c11 = 3.1 + (-2).0 + 1.4 = 3 + 0 + 4 = 7

Para o cálculo de c12, fazemos a multiplicação da primeira linha de A pela segunda coluna de B, somando os termos multiplicados.

c12 = 3.3 + (-2).(-5) + 1.1 = 9 + 10 + 1 = 20

Para o cálculo de c21, fazemos a multiplicação da segunda linha de A pela primeira coluna de B, somando os termos multiplicados.

c21 = 1.1 + 5.0 + (-1).4 = 1 + 0 + (-4) = -3

Para o cálculo de c22, fazemos a multiplicação da segunda linha de A pela segunda coluna de B, somando os termos multiplicados.

c22 = 1.3 + 5.(-5) + (-1).1 = 3 + (-25) + (-1) = -23

Escrevendo a matriz C com seus termos.

C = abre colchetes tabela linha com 7 20 linha com célula com menos 3 fim da célula célula com menos 23 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Questão 3

Resolva a equação matricial e determine os valores de x e y.

abre colchetes tabela linha com célula com menos 1 fim da célula 2 linha com 4 célula com menos 3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com x linha com y fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 3 linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Verificamos que é possível multiplicar as matrizes antes da igualdade, pois são do tipo 2x2 e 2x1, ou seja, o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. O resultado é a matriz 2x1 ao lado direito da igualdade.

Multiplicamos a linha 1 da primeira matriz pela coluna 1 da segunda matriz e igualamos a 3.

-1.x + 2.y = 3
-x + 2y = 3 (equação I)

Multiplicamos a linha 2 da primeira matriz pela coluna 1 da segunda matriz e igualamos a -4.

4.x + (-3).y = -4
4x - 3y = -4 (equação II)

Temos duas equações e duas incógnitas e podemos resolver um sistema para determinar x e y.

Multiplicando ambos os lados da equação I por 4 e, somando I + II, temos:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos x mais 2 y igual a 3 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito fim da célula linha com célula com 4 x menos 3 y espaço igual a menos 4 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 4. parêntese esquerdo menos x mais 2 y parêntese direito igual a 4.3 espaço parêntese esquerdo I parêntese direito fim da célula linha com célula com 4 x menos 3 y espaço igual a menos 4 espaço parêntese esquerdo I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha stack attributes charalign center stackalign right end attributes row menos 4 x mais 8 y igual a 12 end row row mais 4 x menos 3 y igual a menos 4 end row horizontal line row 0 x mais 5 y igual a 8 end row end stack espaço espaço espaço 5 y igual a 8 y igual a 8 sobre 5

Substituindo y na equação I e resolvendo para x, temos:

menos x mais 2 y igual a 3 menos x mais 2.8 sobre 5 igual a 3 menos x mais 16 sobre 5 igual a 3 menos x igual a 3 menos 16 sobre 5 menos x igual a 15 sobre 5 menos 16 sobre 5 menos x. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a menos 1 quinto. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito x igual a 1 quinto

Assim, temos x igual a 1 quinto espaço e espaço y igual a 8 sobre 5

Questão 4

Dado o seguinte sistema linear, associe uma equação matricial.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com a espaço mais espaço b espaço mais espaço 2 c espaço igual a espaço 3 fim da célula linha com célula com menos a espaço menos espaço b espaço mais espaço c espaço igual a espaço 4 fim da célula linha com célula com 5 a espaço mais espaço 2 b espaço menos espaço c espaço igual a espaço 6 fim da célula fim da tabela fecha

Há três equações e três incógnitas.

Para associar ao sistema uma equação matricial, devemos escrever três matrizes: a dos coeficientes, a das incógnitas e a dos termos independentes.

Matriz dos coeficientes

abre colchetes tabela linha com 1 1 2 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 1 fim da célula 1 linha com 5 2 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Matriz das incógnitas

abre colchetes tabela linha com a linha com b linha com c fim da tabela fecha colchetes

Matriz dos termos independentes

abre colchetes tabela linha com 3 linha com 4 linha com 6 fim da tabela fecha colchetes

Equação matricial

Matriz dos coeficientes . matriz das incógnitas = matriz dos termos independentes

abre colchetes tabela linha com 1 1 2 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 1 fim da célula 1 linha com 5 2 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com a linha com b linha com c fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 3 linha com 4 linha com 6 fim da tabela fecha colchetes

Questão 5

(UDESC 2019)

Dadas as matrizes e sabendo que A . B = C, então o valor de x + y é igual a:

a) 1/10
b) 33
c) 47
d) 1/20
e) 11

Resposta correta: c) 47

Para determinar os valores de x e y, resolvemos a equação matricial obtendo um sistema. Ao resolver o sistema, obtemos os valores de x e y.

A. B igual a C abre colchetes tabela linha com célula com 2 x menos 1 fim da célula célula com 5 y mais 2 fim da célula linha com célula com 3 x menos 2 fim da célula célula com 4 y mais 3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 4 linha com célula com menos 2 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com 2 y menos 12 fim da célula linha com célula com 6 x mais 2 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Fazendo a multiplicação das matrizes:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com parêntese esquerdo 2 x menos 1 parêntese direito espaço. espaço 4 espaço mais espaço parêntese esquerdo 5 y mais 2 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço igual a espaço 2 y menos 12 espaço espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito fim da célula linha com célula com parêntese esquerdo 3 x menos 2 parêntese direito espaço. espaço 4 espaço mais espaço parêntese esquerdo 4 y mais 3 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço igual a espaço 6 x mais 2 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 8 x menos 4 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 10 y parêntese direito espaço menos 4 igual a 2 y menos 12 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito fim da célula linha com célula com 12 x menos 8 mais parêntese esquerdo menos 8 y parêntese direito menos 6 igual a 6 x mais 2 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 8 x menos 12 y igual a menos 12 mais 4 mais 4 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito fim da célula linha com célula com 6 x menos 8 y igual a 2 mais 6 mais 8 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 8 x menos 12 y igual a menos 4 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito fim da célula linha com célula com 6 x menos 8 y igual a 16 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha

Isolando x na equação I

8 x espaço igual a espaço menos 4 mais 12 y x espaço igual a espaço numerador menos 4 sobre denominador 8 fim da fração mais numerador 12 y sobre denominador 8 fim da fração

Substituindo x na equação II

6. abre parênteses menos 4 sobre 8 mais numerador 12 y sobre denominador 8 fim da fração fecha parênteses menos 8 y igual a 16 menos 24 sobre 8 mais numerador 72 y sobre denominador 8 fim da fração menos 8 y igual a 16

igualando os denominadores

menos 24 sobre 8 mais numerador 72 y sobre denominador 8 fim da fração menos 8 y igual a 16 menos 24 sobre 8 mais numerador 72 y sobre denominador 8 fim da fração menos numerador 64 y sobre denominador 8 fim da fração igual a 16 1 sobre 8. parêntese esquerdo 72 y espaço menos espaço 24 espaço menos espaço 64 y parêntese direito igual a 16 72 y menos 64 y espaço menos espaço 24 igual a 16 espaço. espaço 8 8 y igual a 128 mais 24 8 y igual a 152 y igual a 152 sobre 8 igual a 19

Para determinar x, substituímos y na equação II

6 x menos 8 y igual a 16 6 x menos 8.19 igual a 16 6 x menos 152 igual a 16 6 x igual a 16 mais 152 6 x igual a 168 x igual a 168 sobre 6 espaço igual a 28

Assim,

x + y = 19 + 18
x + y = 47

Questão 6

(FGV 2016) Dada a matriz e sabendo que a matriz é a matriz inversa da matriz A, podemos concluir que a matriz X, que satisfaz a equação matricial AX = B , tem como soma de seus elementos o número

a) 14
b) 13
c) 15
d) 12
e) 16

Resposta correta: b) 13

Uma matriz qualquer multiplicada pela sua inversa é igual a matriz identidade In. Assim, temos que:

reto A. reto A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes

Multiplicando os dois lados da equação AX = B por A à potência de menos 1 fim do exponencial.

A à potência de menos 1 fim do exponencial. A. X igual a A à potência de menos 1 fim do exponencial. B I com n subscrito. X igual a A à potência de menos 1 fim do exponencial. B I com n subscrito. X igual a abre colchetes tabela linha com 2 célula com menos 1 fim da célula linha com 5 3 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 3 linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Fazendo o produto do lado direito da equação.

I com n subscrito. X igual a abre colchetes tabela linha com célula com 2.3 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito espaço espaço fim da célula linha com célula com 5.3 espaço mais espaço 3. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha colchetes I com n subscrito. X igual a abre colchetes tabela linha com célula com 6 mais 4 fim da célula linha com célula com 15 menos 12 fim da célula fim da tabela fecha colchetes I com n subscrito. X igual a abre colchetes tabela linha com 10 linha com 3 fim da tabela fecha colchetes

Como a matriz identidade é o elemento neutro do produto matricial

X igual a abre colchetes tabela linha com 10 linha com 3 fim da tabela fecha colchetes

Dessa forma, a soma dos seus elementos é:

10 + 3 = 13

Questão 7

Dada a matriz seguinte matriz A, calcular a sua matriz inversa, caso exista.

A igual a abre colchetes tabela linha com 3 7 linha com 5 12 fim da tabela fecha colchetes

A é invertível, ou inversível, se existir uma matriz quadrada de mesma ordem que, ao multiplicar ou ser multiplicada por A, resulta na matriz identidade.

Pretendemos identificar a existência, ou não, de uma matriz A à potência de menos 1 fim do exponencial para que:

A. A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a A à potência de menos 1 fim do exponencial. A igual a I com n subscrito

Como A é uma matriz quadrada de ordem 2, A à potência de menos 1 fim do exponencial também deve possuir ordem 2.

Vamos escrever a matriz inversa com seus valores como incógnitas.

A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a abre colchetes tabela linha com a b linha com c d fim da tabela fecha colchetes

Escrevendo a equação matricial e resolvendo o produto.

A. A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a I com n subscrito abre colchetes tabela linha com 3 7 linha com 5 12 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com a b linha com c d fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 3 a mais 7 c fim da célula célula com 3 b mais 7 d fim da célula linha com célula com 5 a mais 12 c fim da célula célula com 5 b mais 12 d fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes

Igualando os termos equivalentes dos dois lados da igualdade.

3a + 7c = 1
5a + 12c = 0
3b + 7d = 0
5b + 12d = 1

Temos um sistema com quatro equações e quatro incógnitas. Neste caso, podemos separar o sistema em dois. Cada um com duas equações e duas incógnitas.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 a espaço mais espaço 7 c espaço igual a espaço 1 espaço fim da célula linha com célula com 5 a espaço mais espaço 12 c espaço igual a espaço 0 fim da célula fim da tabela fecha

Resolvendo o sistema
Isolando a na primeira equação

3 a espaço igual a espaço 1 espaço menos espaço 7 c espaço a espaço igual a espaço numerador espaço 1 espaço menos espaço 7 c sobre denominador 3 fim da fração

Substituindo a na segunda equação.

5. abre parênteses numerador 1 menos 7 c sobre denominador 3 fim da fração fecha parênteses mais 12 c igual a 0 numerador 5 menos 35 c sobre denominador 3 fim da fração mais 12 c igual a 0 numerador 5 menos 35 c sobre denominador 3 fim da fração mais numerador 3.12 c sobre denominador 3 fim da fração igual a 0 5 menos 35 c mais 36 c igual a 0 bold italic c negrito igual a negrito menos negrito 5

Substituindo c

a igual a numerador 1 menos 7. parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito sobre denominador 3 fim da fração a igual a numerador 1 mais 35 sobre denominador 3 fim da fração a igual a 36 sobre 3 bold italic a negrito igual a negrito 12

e o sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 b espaço mais espaço 7 d espaço igual a espaço 0 espaço fim da célula linha com célula com 5 b espaço mais espaço 12 d espaço igual a espaço 1 fim da célula fim da tabela fecha

Isolando b na primeira equação

3 b igual a menos 7 d b igual a numerador menos 7 d sobre denominador 3 fim da fração

Substituindo b na segunda equação

5. abre parênteses menos numerador 7 d sobre denominador 3 fim da fração fecha parênteses mais 12 d igual a 1 numerador menos 35 d sobre denominador 3 fim da fração mais 12 d espaço igual a espaço 1 numerador menos 35 d sobre denominador 3 fim da fração mais numerador 36 d sobre denominador 3 fim da fração igual a 1 menos 35 d mais 36 d igual a 1.3 bold italic d negrito igual a negrito 3

Substituindo d para determinar b.

b igual a numerador menos 7.3 sobre denominador 3 fim da fração bold italic b negrito igual a negrito menos negrito 7

Substituindo os valores determinados na matriz inversa de incógnitas

A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a abre colchetes tabela linha com a b linha com c d fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 12 célula com menos 7 fim da célula linha com célula com menos 5 fim da célula 3 fim da tabela fecha colchetes

Verificando se a matriz calculada é, de fato, a matriz inversa de A.

Para isso, devemos efetuar as multiplicações.

A. A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a I com n subscrito espaço e espaço A à potência de menos 1 fim do exponencial. A igual a I com n subscrito

P a r a espaço A. A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a I com n subscrito

abre colchetes tabela linha com 3 7 linha com 5 12 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 12 célula com menos 7 fim da célula linha com célula com menos 5 fim da célula 3 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 3.12 mais 7. parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito fim da célula célula com 3. parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito mais 7.3 fim da célula linha com célula com 5.12 mais 12. parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito fim da célula célula com 5. parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito mais 12.3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 36 menos 35 fim da célula célula com menos 21 mais 21 fim da célula linha com célula com 60 menos 60 fim da célula célula com menos 35 mais 36 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes

P a r a espaço A à potência de menos 1 fim do exponencial. A igual a I com n subscrito abre colchetes tabela linha com 12 célula com menos 7 fim da célula linha com célula com menos 5 fim da célula 3 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 3 7 linha com 5 12 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 12.3 mais parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito.5 fim da célula célula com 12.7 mais parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito.12 fim da célula linha com célula com menos 5.3 mais 3.5 fim da célula célula com menos 5.7 mais 3.12 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 36 menos 35 fim da célula célula com 84 menos 84 fim da célula linha com célula com menos 15 mais 15 fim da célula célula com menos 35 mais 36 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes

Portanto, as frações são invertíveis.

Questão 8

(EsPCEx 2020) Sejam as matrizes A igual a abre colchetes tabela linha com 1 célula com menos 1 fim da célula 1 linha com 2 1 célula com menos 3 fim da célula linha com 1 1 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes vírgula espaço B igual a abre colchetes tabela linha com x linha com y linha com z fim da tabela fecha colchetes espaço e espaço C igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 linha com célula com menos 12 fim da célula linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. Se AB=C, então x+y+z é igual a

a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.

Resposta correta: e) 2.

Para determinar as incógnitas x, y e z, devemos realizar a equação matricial. Como resultado, teremos um sistema linear de três equações e três incógnitas. Ao resolver o sistema, determinamos x, y e z.

A. B igual a C abre colchetes tabela linha com 1 célula com menos 1 fim da célula 1 linha com 2 1 célula com menos 3 fim da célula linha com 1 1 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com x linha com y linha com z fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 0 linha com célula com menos 12 fim da célula linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 1. x mais parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito. y mais 1. z fim da célula linha com célula com 2. x mais 1. y mais parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito. z fim da célula linha com célula com 1. x mais 1. y mais parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito. z fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 0 linha com célula com menos 12 fim da célula linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com x menos y mais z fim da célula linha com célula com 2 x mais y menos 3 z fim da célula linha com célula com x mais y menos z fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 0 linha com célula com menos 12 fim da célula linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Pela igualdade de matrizes, temos:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x menos y mais z igual a 0 espaço negrito parêntese esquerdo bold italic e bold italic q bold italic u bold italic a bold italic ç bold italic ã bold italic o negrito espaço bold italic I negrito parêntese direito fim da célula linha com célula com 2 x mais y menos 3 z igual a menos 12 espaço negrito parêntese esquerdo bold italic e bold italic q bold italic u bold italic a bold italic ç bold italic ã bold italic o negrito espaço bold italic I bold italic I negrito parêntese direito fim da célula linha com célula com x mais y menos z igual a menos 4 espaço negrito parêntese esquerdo bold italic e bold italic q bold italic u bold italic a bold italic ç bold italic ã bold italic o negrito espaço bold italic I bold italic I bold italic I negrito parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha

Somando as equações I e III

stack attributes charalign center stackalign right end attributes row x menos y mais z igual a nada 0 end row row x mais y menos z igual a menos 4 end row horizontal line row 2 x igual a menos 4 end row end stack

Assim x = -4/2 = -2

Substituindo x = -2 na equação I e isolando z.

menos 2 menos y mais z igual a 0 z igual a y mais 2

Substituindo os valores de x e z na equação II.

2. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito mais y menos 3. parêntese esquerdo y mais 2 parêntese direito igual a menos 12 menos 4 mais y menos 3 y menos 6 igual a menos 12 menos 2 y igual a menos 12 mais 6 mais 4 menos 2 y igual a menos 2 y igual a numerador menos 2 sobre denominador menos 2 fim da fração y igual a 1

Substituindo os valores de x e y na equação I, temos:

menos 2 menos 1 mais z igual a 0 menos 3 mais z igual a 0 z igual a 3

Dessa forma, temos que:

x mais y mais z igual a menos 2 mais 1 mais 3 igual a menos 2 mais 4 igual a 2

Portanto, a soma das incógnitas é igual a 2.

Questão 9

(PM-ES) Sobre multiplicação de matrizes, Fabiana escreveu as seguintes sentenças em seu caderno:

I espaço menos espaço A com 4 X 2 subscrito fim do subscrito espaço. espaço B com 2 X 3 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço C com 4 X 3 subscrito fim do subscrito espaço espaço I I espaço menos espaço A com 2 X 2 subscrito fim do subscrito espaço. espaço B com 2 X 3 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço C com 3 X 2 subscrito fim do subscrito espaço espaço I I I espaço menos espaço A com 2 X 4 subscrito fim do subscrito espaço. espaço B com 3 X 4 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço C com 2 X 4 subscrito fim do subscrito espaço espaço I V espaço menos espaço A com 1 X 2 subscrito fim do subscrito espaço. espaço B com 2 X 1 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço C com 1 x 1 subscrito fim do subscrito

Está correto o que Fabiana afirma:

a) apenas em I.
b) apenas em II.
c) apenas em III.
d) apenas em I e III.
e) apenas em I e IV

Resposta correta: e) apenas em I e IV

Só é possível multiplicar matrizes quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

Sendo assim, a sentença III já está descartada.

A matriz C, terá o número de linhas de A e o número de colunas de B.

Dessa forma, as sentenças I e IV estão corretas.

Questão 10

Dada a matriz A, determine A ao quadrado. A à potência de t.

A igual a abre colchetes tabela linha com 3 2 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Passo 1: determinar A ao quadrado.

A ao quadrado igual a A. A A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 3 2 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 3 2 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com célula com 3.3 mais 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula célula com 3.2 mais 2. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula linha com célula com menos 1.3 mais parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula célula com menos 1.2 mais parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha colchetes A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com célula com 9 menos 2 fim da célula célula com 6 menos 8 fim da célula linha com célula com menos 3 mais 4 fim da célula célula com menos 2 mais 16 fim da célula fim da tabela fecha colchetes A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 7 célula com menos 2 fim da célula linha com 1 14 fim da tabela fecha colchetes

Passo 2: determinar a matriz transposta A à potência de t.

Obtemos a matriz transposta de A, trocando ordenadamente as linhas pelas colunas.

A à potência de t igual a abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 1 fim da célula linha com 2 célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Passo 3: resolver o produto matricial A ao quadrado. A à potência de t.

abre colchetes tabela linha com 7 célula com menos 2 fim da célula linha com 1 14 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 1 fim da célula linha com 2 célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com 7.3 mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito.2 fim da célula célula com 7. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula linha com célula com 1.3 mais 14.2 fim da célula célula com 1. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais 14. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 21 menos 4 fim da célula célula com menos 7 mais 8 fim da célula linha com célula com 3 mais 28 fim da célula célula com menos 1 menos 56 fim da célula fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com 17 1 linha com 31 célula com menos 57 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Portanto, o resultado do produto matricial é:

A ao quadrado. A à potência de t igual a abre colchetes tabela linha com 17 1 linha com 31 célula com menos 57 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Questão 11

(UNICAMP 2018) Sejam a e b números reais tais que a matriz A igual a abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes satisfaz a equação A ao quadrado espaço igual a espaço a A espaço mais espaço b I, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Resposta correta: a) -2.

Passo 1: determinar A ao quadrado.

A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com célula com 1.1 mais 2.0 fim da célula célula com 1.2 mais 2.1 fim da célula linha com célula com 0.1 mais 1.0 fim da célula célula com 0.2 mais 1.1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes

Passo 2: determinar a . A.

a. A igual a abre colchetes tabela linha com célula com a.1 fim da célula célula com a.2 fim da célula linha com célula com a.0 fim da célula célula com a.1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com a célula com 2 a fim da célula linha com 0 a fim da tabela fecha colchetes

Passo 3: determinar b.I, sendo I a matriz identidade.

b. I igual a b. abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com b 0 linha com 0 b fim da tabela fecha colchetes

Passo 4: somar aA + bI.

abre colchetes tabela linha com a célula com 2 a fim da célula linha com 0 a fim da tabela fecha colchetes mais abre colchetes tabela linha com b 0 linha com 0 b fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com a mais b fim da célula célula com 2 a fim da célula linha com 0 célula com a mais b fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Passo 5: igualar os termos correspondentes em A ao quadrado espaço igual a espaço a A espaço mais espaço b I.

A ao quadrado espaço igual a espaço a A espaço mais espaço b I abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com a mais b fim da célula célula com 2 a fim da célula linha com 0 célula com a mais b fim da célula fim da tabela fecha colchetes abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com a mais b igual a 1 fim da célula linha com célula com 2 a igual a 4 fim da célula fim da tabela fecha

Passo 6: resolver o sistema isolando a na equação I.

a igual a 1 menos b

Substituindo na equação II.

2. parêntese esquerdo 1 menos b parêntese direito igual a 4 2 menos 2 b igual a 4 menos 2 b igual a 4 menos 2 menos 2 b igual a 2 b igual a numerador 2 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a menos 1

Substituindo o valor de b

a igual a 1 menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito a igual a 1 mais 1 igual a 2

Passo 7: efetuar a multiplicação a.b.

a. b igual a 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a menos 2

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Publicado em
Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.