Regra de Sarrus

Rosimar Gouveia
Escrito por Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física

Regra de Sarrus é um método prático usado para encontrar o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, sendo o determinante um número associado a uma matriz quadrada e seu cálculo depende da ordem da matriz.

Para encontrar o determinante de uma matriz quadrada genérica do tipo 3X3 (3 linhas e 3 colunas), fazemos as seguintes operações:

d e t espaço A igual a abre barra vertical tabela linha com célula com a com 11 subscrito fim da célula célula com a com 12 subscrito fim da célula célula com a com 13 subscrito fim da célula linha com célula com a com 21 subscrito fim da célula célula com a com 22 subscrito fim da célula célula com a com 23 subscrito fim da célula linha com célula com a com 31 subscrito fim da célula célula com a com 32 subscrito fim da célula célula com a com 33 subscrito fim da célula fim da tabela fecha barra vertical espaço seta dupla para a direita

bold italic d bold italic e bold italic t negrito espaço bold italic A negrito igual a bold italic a com negrito 11 subscrito negrito. bold italic a com negrito 22 subscrito negrito. bold italic a com negrito 33 subscrito negrito mais bold italic a com negrito 12 subscrito negrito. bold italic a com negrito 23 subscrito negrito. bold italic a com negrito 31 subscrito negrito mais bold italic a com negrito 13 subscrito negrito. bold italic a com negrito 21 subscrito negrito. bold italic a com negrito 32 subscrito negrito menos bold italic a com negrito 13 subscrito negrito. bold italic a com negrito 22 subscrito negrito. bold italic a com negrito 31 subscrito negrito menos bold italic a com negrito 11 subscrito negrito. bold italic a com negrito 23 subscrito negrito. bold italic a com negrito 32 subscrito negrito menos bold italic a com negrito 12 subscrito negrito. bold italic a com negrito 21 subscrito negrito. bold italic a com negrito 33 subscrito

Passo a passo

Note que decorar a fórmula do determinante de uma matriz de ordem terceira, indicada acima, não é uma tarefa fácil. Sendo assim, utilizamos a regra de Sarrus.

Para aplicar o método, devemos seguir os seguintes passos:

1º passo: Repetir ao lado da matriz as duas primeiras colunas.

Regra de Sarrus
2º passo: Multiplicar os elementos localizados na direção da diagonal principal, com o sinal de mais na frente de cada termo. Observe que são tomadas as diagonais que apresentam 3 elementos.

Regra de Sarrus

O resultado será: a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32

3º passo: Multiplica-se os elementos localizados na direção da diagonal secundária, trocando o sinal do produto encontrado.

Regra de Sarrus

O resultado será: - a13.a22.a31 - a11.a23.a32 - a12.a21.a33

4º passo: Juntar todos os termos, resolvendo as adições e subtrações. O resultado será igual ao determinante.

A regra de Sarrus pode ainda ser feita considerando o seguinte esquema:

Esquema da regra de Sarrus

Leia também: Matrizes e Tipos de Matrizes

Exemplos

a) Considere a matriz abaixo:

M igual a abre colchetes tabela linha com 1 3 5 linha com 2 4 1 linha com célula com menos 4 fim da célula 1 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Encontre o seu determinante.

Solução

Para encontrar o determinante da matriz indicada, vamos aplicar a regra de Sarrus. Para isso, iremos repetir as duas primeiras colunas e multiplicar as diagonais, conforme esquema abaixo:

Exemplo regra de Sarrus

det M = + 80 - 1 + 6 - 4 - 12 + 10 = 79

O determinante da matriz M é igual a 79.

b) Determine o valor do determinante da matriz

A igual a abre colchetes tabela linha com 3 2 1 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 2 fim da célula 0 linha com 0 2 1 fim da tabela fecha colchetes.

Solução

Sendo uma matriz de ordem 3, usaremos a regra de Sarrus, conforme o esquema abaixo:

Exemplo regra de Sarrus

Resolvendo as multiplicações, temos:

det A = 3.(- 2).1 + 0.2.0 + 2.(- 1).1 - (1.(- 2).0) - (2.0.3) - (1.2.(-1)) = - 6 - 2 + 2 = - 6

Assim, o determinante da matriz A é igual a - 6.

Para saber mais sobre esse assunto, veja também:

Exercícios Resolvidos

1) Qual o valor do x para que o determinante da matriz abaixo seja igual a zero?

A igual a abre colchetes tabela linha com 2 1 2 linha com 3 2 4 linha com 1 x célula com parêntese esquerdo x mais 2 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Para resolver essa questão, vamos aplicar a regra de Sarrus igualando o determinante a zero, conforme esquema abaixo:

Regra de Sarrus exercícios

Det A = 2.2.(x + 2) + 1.4.1 + 2.3.x - (2.2.1) - (2.4.x) - (1.3.(x+2)) = 0
4x +8 + 4 + 6x - 4 - 8x - 3x -6 = 0
4x + 6x - 8x - 3x = 4 + 6 -8 -4
10x - 11x = 10 - 12
- 1 x = -2
x = 2

2) Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3, onde

a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com blank linha com blank fim da tabela tabela linha com célula com i mais 2 vírgula espaço s e espaço i menor que j fim da célula linha com célula com i mais j vírgula espaço s e espaço i igual a j fim da célula linha com célula com j menos 1 vírgula espaço s e espaço i maior que j fim da célula fim da tabela fecha.

O valor do determinante de A é igual a:

a) -40
b) 56
c) 40
d) -56
e) 0

Confira a resolução do exercício no vídeo abaixo.

Alternativa: c) 40

Veja mais em Matrizes - Exercícios.

Atualizado em
Rosimar Gouveia
Escrito por Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.