Regra de Sarrus

Rosimar Gouveia

Regra de Sarrus é um método prático usado para encontrar o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, sendo o determinante um número associado a uma matriz quadrada e seu cálculo depende da ordem da matriz.

Para encontrar o determinante de uma matriz quadrada genérica do tipo 3X3 (3 linhas e 3 colunas), fazemos as seguintes operações:

d e t espaço A igual a abre barra vertical tabela linha com célula com a com 11 subscrito fim da célula célula com a com 12 subscrito fim da célula célula com a com 13 subscrito fim da célula linha com célula com a com 21 subscrito fim da célula célula com a com 22 subscrito fim da célula célula com a com 23 subscrito fim da célula linha com célula com a com 31 subscrito fim da célula célula com a com 32 subscrito fim da célula célula com a com 33 subscrito fim da célula fim da tabela fecha barra vertical espaço seta dupla para a direita

bold italic d bold italic e bold italic t negrito espaço bold italic A negrito igual a bold italic a com negrito 11 subscrito negrito. bold italic a com negrito 22 subscrito negrito. bold italic a com negrito 33 subscrito negrito mais bold italic a com negrito 12 subscrito negrito. bold italic a com negrito 23 subscrito negrito. bold italic a com negrito 31 subscrito negrito mais bold italic a com negrito 13 subscrito negrito. bold italic a com negrito 21 subscrito negrito. bold italic a com negrito 32 subscrito negrito menos bold italic a com negrito 13 subscrito negrito. bold italic a com negrito 22 subscrito negrito. bold italic a com negrito 31 subscrito negrito menos bold italic a com negrito 11 subscrito negrito. bold italic a com negrito 23 subscrito negrito. bold italic a com negrito 32 subscrito negrito menos bold italic a com negrito 12 subscrito negrito. bold italic a com negrito 21 subscrito negrito. bold italic a com negrito 33 subscrito

Passo a passo

Note que decorar a fórmula do determinante de uma matriz de ordem terceira, indicada acima, não é uma tarefa fácil. Sendo assim, utilizamos a regra de Sarrus.

Para aplicar o método, devemos seguir os seguintes passos:

1º passo: Repetir ao lado da matriz as duas primeiras colunas.

Regra de Sarrus
2º passo: Multiplicar os elementos localizados na direção da diagonal principal, com o sinal de mais na frente de cada termo. Observe que são tomadas as diagonais que apresentam 3 elementos.

Regra de Sarrus

O resultado será: a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32

3º passo: Multiplica-se os elementos localizados na direção da diagonal secundária, trocando o sinal do produto encontrado.

Regra de Sarrus

O resultado será: - a13.a22.a31 - a11.a23.a32 - a12.a21.a33

4º passo: Juntar todos os termos, resolvendo as adições e subtrações. O resultado será igual ao determinante.

A regra de Sarrus pode ainda ser feita considerando o seguinte esquema:

Esquema da regra de Sarrus

Exemplos

a) Considere a matriz abaixo:

M igual a abre colchetes tabela linha com 1 3 5 linha com 2 4 1 linha com célula com menos 4 fim da célula 1 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Encontre o seu determinante.

Solução

Para encontrar o determinante da matriz indicada, vamos aplicar a regra de Sarrus. Para isso, iremos repetir as duas primeiras colunas e multiplicar as diagonais, conforme esquema abaixo:

Exemplo regra de Sarrus

det M = + 80 - 1 + 6 - 4 - 12 + 10 = 79

O determinante da matriz M é igual a 79.

b) Determine o valor do determinante da matriz

A igual a abre colchetes tabela linha com 3 2 1 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 2 fim da célula 0 linha com 0 2 1 fim da tabela fecha colchetes.

Solução

Sendo uma matriz de ordem 3, usaremos a regra de Sarrus, conforme o esquema abaixo:

Exemplo regra de Sarrus

Resolvendo as multiplicações, temos:

det A = 3.(- 2).1 + 0.2.0 + 2.(- 1).1 - (1.(- 2).0) - (2.0.3) - (1.2.(-1)) = - 6 - 2 + 2 = - 6

Assim, o determinante da matriz A é igual a - 6.

Para saber mais sobre esse assunto, veja também:

Exercícios Resolvidos

1) Qual o valor do x para que o determinante da matriz abaixo seja igual a zero?

A igual a abre colchetes tabela linha com 2 1 2 linha com 3 2 4 linha com 1 x célula com parêntese esquerdo x mais 2 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Para resolver essa questão, vamos aplicar a regra de Sarrus igualando o determinante a zero, conforme esquema abaixo:

Regra de Sarrus exercícios

Det A = 2.2.(x + 2) + 1.4.1 + 2.3.x - (2.2.1) - (2.4.x) - (1.3.(x+2)) = 0
4x +8 + 4 + 6x - 4 - 8x - 3x -6 = 0
4x + 6x - 8x - 3x = 4 + 6 -8 -4
10x - 11x = 10 - 12
- 1 x = -2
x = 2

2) Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3, onde

a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com blank linha com blank fim da tabela tabela linha com célula com i mais 2 vírgula espaço s e espaço i menor que j fim da célula linha com célula com i mais j vírgula espaço s e espaço i igual a j fim da célula linha com célula com j menos 1 vírgula espaço s e espaço i maior que j fim da célula fim da tabela fecha.

O valor do determinante de A é igual a:

a) -40
b) 56
c) 40
d) -56
e) 0

Confira a resolução do exercício no vídeo abaixo.

Alternativa: c) 40

Veja mais em Matrizes - Exercícios.

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.