Multiplicação de Matrizes


A multiplicação de matrizes corresponde ao produto entre duas matrizes. O número de linhas da matriz é definida pela letra m e o número de colunas pela letra n.

Já as letras i e j representam os elementos presentes nas linhas e colunas respectivamente.

A = (aij)mxn

Exemplo: A3x3 (a matriz A possui três linhas e três colunas)

Multiplicação de Matrizes

Obs: Importante ressaltar que na multiplicação de matrizes, a ordem dos elementos afeta o resultado final. Ou seja, ela não é comutativa:

A . B ≠ B . A

Cálculo: como multiplicar matrizes?

Sejam as matrizes A = (aij)mxn e B = (bjk)nxp

A . B = matriz D = (dik)mxp

donde,

dik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ... + ain . bnk

Para calcular o produto entre as matrizes, devemos ter em conta algumas regras:

Para que seja possível calcular o produto entre duas matrizes, é primordial que o n seja igual ao p (n=p).

Ou seja, o número de colunas da primeira matriz (n) tem que ser igual ao número de linhas (p) da segunda matriz.

A resultante do produto entre as matrizes será: ABmxp. (número de linhas da matriz A pelo número de colunas da matriz B).

Exemplo de Multiplicação de Matrizes

No exemplo abaixo, temos que a matriz A é do tipo 2x3 e a matriz B é do tipo 3x2. Portanto, o produto entre elas (matriz C) resultará numa matriz 2x2.

Multiplicação de Matrizes

Inicialmente, vamos multiplicar os elementos da linha 1 de A com os da coluna 1 de B. Encontrados os produtos, vamos somar todos esses valores:

2 . 1 + 3 . 0 + 1 . 4 = 6

Por conseguinte, vamos multiplicar e somar os elementos da linha 1 de A com a coluna 2 de B:

2 . (-2) + 3 . 5 + 1 . 1 = 12

Depois disso, vamos passar para a linha 2 de A e multiplicar e somar com a coluna 1 de B:

(-1) . 1 + 0 . 0 + 2 . 4 = 7

Ainda na linha 2 de A, vamos multiplicar e somar com a coluna 2 de B:

(-1) . (-2) + 0 . 5 + 2 . 1 = 4

Por fim, temos que a multiplicação de A . B é:

Multiplicação de Matrizes

Multiplicação de um Número Real por uma Matriz

No caso de multiplicar um número real por uma matriz, deve-se multiplicar cada elemento da matriz por esse número:

Multiplicação de Matrizes

Matriz Inversa

A matriz inversa é um tipo de matriz que utiliza a propriedade da multiplicação:

A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)

Multiplicação de Matrizes

Note que a matriz inversa de A é representada por A-1.

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (PUC-RS) Sendo
Multiplicação de Matrizes
e C = A . B, o elemento C33 da matriz C é:

a) 9
b) 0
c) -4
d) -8
e) -12

Alternativa d

2. (UF-AM) Sendo
Multiplicação de Matrizes
e AX = 2B. Então a matriz X é igual a:

a)
Multiplicação de Matrizes

b)
Multiplicação de Matrizes

c)
Multiplicação de Matrizes

d)
Multiplicação de Matrizes

e)
Multiplicação de Matrizes

Alternativa c

3. (PUC-MG) Considere as matrizes de elementos reais
Multiplicação de Matrizes
Sabendo-se que A . B = C, pode-se afirmar que a soma dos elementos de A é:

a) 10
b) 11
c) 12
d) 13

Alternativa c

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