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Multiplicação de Matrizes

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

A multiplicação de matrizes corresponde ao produto entre duas matrizes. O número de linhas da matriz é definida pela letra m e o número de colunas pela letra n.

Já as letras i e j representam os elementos presentes nas linhas e colunas respectivamente.

A = (a_ij)_mxn

Exemplo: A_3x3 (a matriz A possui três linhas e três colunas)

Obs: Importante ressaltar que na multiplicação de matrizes, a ordem dos elementos afeta o resultado final. Ou seja, ela não é comutativa:

A . B ≠ B . A

Cálculo: como multiplicar matrizes?

Sejam as matrizes A = (a_ij)_mxn e B = (b_jk)_nxp

A . B = matriz D = (d_ik)_mxp

donde,

d_ik = a_i1 . b_1k + a_i2 . b_2k + ... + a_in . b_nk

Para calcular o produto entre as matrizes, devemos ter em conta algumas regras:

Para que seja possível calcular o produto entre duas matrizes, é primordial que o n seja igual ao p (n=p).

Ou seja, o número de colunas da primeira matriz (n) tem que ser igual ao número de linhas (p) da segunda matriz.

A resultante do produto entre as matrizes será: AB_mxp. (número de linhas da matriz A pelo número de colunas da matriz B)_.

Veja também: Matrizes

Exemplo de Multiplicação de Matrizes

No exemplo abaixo, temos que a matriz A é do tipo 2x3 e a matriz B é do tipo 3x2. Portanto, o produto entre elas (matriz C) resultará numa matriz 2x2.

Inicialmente, vamos multiplicar os elementos da linha 1 de A com os da coluna 1 de B. Encontrados os produtos, vamos somar todos esses valores:

2 . 1 + 3 . 0 + 1 . 4 = 6

Por conseguinte, vamos multiplicar e somar os elementos da linha 1 de A com a coluna 2 de B:

2 . (-2) + 3 . 5 + 1 . 1 = 12

Depois disso, vamos passar para a linha 2 de A e multiplicar e somar com a coluna 1 de B:

(-1) . 1 + 0 . 0 + 2 . 4 = 7

Ainda na linha 2 de A, vamos multiplicar e somar com a coluna 2 de B:

(-1) . (-2) + 0 . 5 + 2 . 1 = 4

Por fim, temos que a multiplicação de A . B é:

Multiplicação de um Número Real por uma Matriz

No caso de multiplicar um número real por uma matriz, deve-se multiplicar cada elemento da matriz por esse número:

Matriz Inversa

A matriz inversa é um tipo de matriz que utiliza a propriedade da multiplicação:

A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)

Note que a matriz inversa de A é representada por A^-1.

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (PUC-RS) Sendo

e C = A . B, o elemento C₃₃ da matriz C é:

a) 9
b) 0
c) -4
d) -8
e) -12

2. (UF-AM) Sendo

e AX = 2B. Então a matriz X é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

3. (PUC-MG) Considere as matrizes de elementos reais

Sabendo-se que A . B = C, pode-se afirmar que a soma dos elementos de A é:

a) 10
b) 11
c) 12
d) 13

Quer saber mais? Leia também:

• Matrizes - Exercícios
• Tipos de Matrizes
• Matriz Transposta
• Matriz Identidade
• Matrizes e Determinantes

Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.