Multiplicação de Matrizes
A multiplicação de matrizes corresponde ao produto entre duas matrizes. O número de linhas da matriz é definida pela letra m e o número de colunas pela letra n.
Já as letras i e j representam os elementos presentes nas linhas e colunas respectivamente.
Exemplo: A3x3 (a matriz A possui três linhas e três colunas)
Obs: Importante ressaltar que na multiplicação de matrizes, a ordem dos elementos afeta o resultado. Ou seja, ela não é comutativa:
A . B ≠ B . A
Cálculo: como multiplicar matrizes?
Sejam as matrizes e
donde,
Quando é possível multiplicar matrizes?
Para ser possível multiplicar matrizes, é primordial que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.
A matriz C, resultado da multiplicação A . B, tem as dimensões m x p, ou seja, o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda.
Veja também: Matrizes
Exemplo de Multiplicação de Matrizes
No exemplo abaixo, temos que a matriz A é do tipo 2x3 e a matriz B é do tipo 3x2. Portanto, o produto entre elas (matriz C) resultará numa matriz 2x2.
Assim, a matriz C genérica é:
Inicialmente, vamos multiplicar os elementos da linha 1 de A com os da coluna 1 de B. Encontrados os produtos, somamos esses valores:
c11 = 2 . 1 + 3 . 0 + 1 . 4 = 6
Por conseguinte, vamos multiplicar e somar os elementos da linha 1 de A com a coluna 2 de B:
c12 = 2 . (-2) + 3 . 5 + 1 . 1 = 12
Depois disso, vamos passar para a linha 2 de A e multiplicar e somar com a coluna 1 de B:
c21 = (-1) . 1 + 0 . 0 + 2 . 4 = 7
Ainda na linha 2 de A, vamos multiplicar e somar com a coluna 2 de B:
c22 = (-1) . (-2) + 0 . 5 + 2 . 1 = 4
Por fim, temos que a multiplicação de A . B é:
Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
No caso de multiplicar um número real por uma matriz, deve-se multiplicar cada elemento da matriz por esse número:
Matriz identidade
Matriz identidade é a matriz quadrada de ordem n (2x2, 3x3, 4x4, ... nxn), em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e, o restante dos elementos são iguais a 0.
Exemplos de matriz identidade de ordens 2 e 3.
Matriz Inversa
A matriz inversa é um tipo de matriz que utiliza a propriedade da multiplicação:
A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)
Uma matriz multiplicada por sua inversa é igual a matriz identidade.
Note que a matriz inversa de A é representada por A-1.
Exercícios de Vestibular com Gabarito
Questão 1
(PUC-RS) Sendo
e C = A . B, o elemento C33 da matriz C é:
a) 9
b) 0
c) -4
d) -8
e) -12
Questão 2
(UF-AM) Sendo
e AX = 2B. Então a matriz X é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
3. (PUC-MG) Considere as matrizes de elementos reais
Sabendo-se que A . B = C, pode-se afirmar que a soma dos elementos de A é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
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