Matrizes - Exercícios

Rosimar Gouveia

Matriz é uma tabela formada por números reais, dispostos em linhas e colunas. Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos.

Aproveite as questões de vestibulares resolvidas e comentadas para tirar todas as suas dúvidas em relação a esse conteúdo.

Questões de Vestibulares Resolvidas

1) Unicamp - 2018

Sejam a e b números reais tais que a matriz A = abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes satisfaz a equação A2= aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Para descobrir o valor do produto a.b, precisamos primeiro conhecer o valor de a e b. Sendo assim, vamos considerar a equação dada no problema.

Para resolver a equação, vamos calcular o valor de A2, o que é feito multiplicando-se a matriz A por ela mesma, ou seja:

A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes

Esta operação é feita multiplicando-se as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz, conforme esquema abaixo:

Desta forma a matriz A2 é igual a:

A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes

Considerando o valor que acabamos de encontrar e lembrando que na matriz identidade os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais 0, a equação ficará:

abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a a. abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes mais b. abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes

Temos agora que multiplicar a matriz A pelo número a e a matriz identidade pelo número b.

Lembre-se que para multiplicar um número por uma matriz, multiplicamos o número por cada elemento da matriz.

Assim, nossa igualdade ficará igual a:

abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com a célula com 2 a fim da célula linha com 0 a fim da tabela fecha colchetes mais abre colchetes tabela linha com b 0 linha com 0 b fim da tabela fecha colchetes

Somando as duas matrizes, temos:

abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com a mais b fim da célula célula com 2 a fim da célula linha com 0 célula com a mais b fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Duas matrizes são iguais quando todos os elementos correspondentes são iguais. Desta forma, podemos escrever o seguinte sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com a mais b igual a 1 fim da célula linha com célula com 2 a igual a 4 fim da célula fim da tabela fecha

Isolando o a na segunda equação:

2 a igual a 4 seta dupla para a direita a igual a 4 sobre 2 seta dupla para a direita a igual a 2

Substituindo o valor encontrado para o a na primeira equação, encontramos o valor do b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Assim, o produto será dado por:

a . b = - 1 . 2
a . b = - 2

Alternativa: a) −2.

2) Unesp - 2016

Um ponto P, de coordenadas (x, y) do plano cartesiano ortogonal, é representado pela matriz coluna abre colchetes tabela linha com x linha com y fim da tabela fecha colchetes, assim como a matriz coluna abre colchetes tabela linha com x linha com y fim da tabela fecha colchetes representa, no plano cartesiano ortogonal, o ponto P de coordenadas (x, y). Sendo assim, o resultado da multiplicação matricial abre colchetes tabela linha com 0 célula com menos 1 fim da célula linha com 1 0 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com x linha com y fim da tabela fecha colchetes é uma matriz coluna que, no plano cartesiano ortogonal, necessariamente representa um ponto que é

a) uma rotação de P em 180º no sentido horário, e com centro em (0, 0).
b) uma rotação de P em 90º no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).
c) simétrico de P em relação ao eixo horizontal x.
d) simétrico de P em relação ao eixo vertical y.
e) uma rotação de P em 90º no sentido horário, e com centro em (0, 0).

O ponto P é representado por uma matriz, de forma que a abscissa (x) é indicada pelo elemento a11 e a ordenada (y) pelo elemento a21 da matriz.

Para encontrar a nova posição do ponto P, devemos resolver a multiplicação das matrizes apresentadas e o resultado será:

Questão Unesp 2016 Matrizes

O resultado representa a nova coordenada do ponto P, ou seja, a abcissa é igual a - y e a ordenada igual a x.

Para identificar a transformação sofrida pela posição do ponto P, vamos representar a situação no plano cartesiano, conforme indicado abaixo:

Questão unesp 2016 matrizes

Portanto, o ponto P, que a princípio se localizava no 1º quadrante (abscissa e ordenada positivas), passou para o 2º quadrante (abscissa negativa e ordenada positiva).

Ao passar para essa nova posição, o ponto sofreu uma rotação anti-horária, conforme representado na imagem acima pela seta vermelha.

Precisamos ainda, identificar qual foi o valor do ângulo de rotação.

Ao ligar a posição original do ponto P ao centro do eixo cartesiano e fazendo o mesmo em relação a sua nova posição P´, temos a seguinte situação:

Questão unesp 2016 matrizes

Note que os dois triângulos indicados na figura são congruentes, ou seja, possuem as mesmas medidas. Desta forma, seus ângulos também são iguais.

Além disso, os ângulos α e θ são complementares, pois como a soma dos ângulos internos de triângulos é igual a 180º e sendo o triângulo retângulo, a soma desses dois ângulos será igual a 90º.

Sendo assim, o ângulo de rotação do ponto, indicado na figura por β, só pode ser igual a 90º.

Alternativa: b) uma rotação de P em 90º no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Sendo a um número real, considere a matriz A = abre parênteses tabela linha com 1 a linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses. Então, A2017 é igual a

a) abre parênteses tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha parênteses
b) abre parênteses tabela linha com 1 a linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses
c) abre parênteses tabela linha com 1 1 linha com 1 1 fim da tabela fecha parênteses
d) abre parênteses tabela linha com 1 célula com a à potência de 2017 fim da célula linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses

Primeiro, vamos tentar encontrar um padrão para as potências, visto que é muito trabalhoso multiplicar a matriz A por ela mesma 2017 vezes.

Lembrando que na multiplicação de matrizes, cada elemento é encontrado somando os resultados da multiplicação dos elementos da linha de uma pelos elementos da coluna da outra.

Vamos começar calculando A2:

abre parênteses tabela linha com 1 a linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses espaço. espaço abre parênteses tabela linha com 1 a linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses igual a abre parênteses tabela linha com célula com 1.1 mais a.0 fim da célula célula com espaço espaço 1. a mais a. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula linha com célula com 0.1 mais 0. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula célula com 0. a mais parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha parênteses igual a abre parênteses tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha parênteses

O resultado foi a matriz identidade, sendo que quando multiplicamos uma matriz qualquer pela matriz identidade, o resultado será a própria matriz.

Sendo assim, o valor de A3 será igual a própria matriz A, pois A3 = A2 . A.

Esse resultado irá se repetir, ou seja, quando o expoente for par, o resultado é a matriz identidade e quando for impar, será a própria matriz A.

Como 2017 é ímpar, então o resultado será igual a matriz A.

Alternativa: b) abre parênteses tabela linha com 1 a linha com 0 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha parênteses

4) UFSM - 2011

Questão de matrizes UFSM 2011

O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema. As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta. Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a seguinte tabela:

Questão ufsm 2011 matrizes

A matriz A = (aij)4x4, associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:

a parêntese direito espaço a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i menor ou igual a j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i maior que j fim da célula fim da tabela fecha b parêntese direito espaço a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i igual a j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i não igual j fim da célula fim da tabela fecha c parêntese direito espaço a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i maior ou igual a j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i menor que j fim da célula fim da tabela fecha d parêntese direito espaço a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i não igual j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i igual a j fim da célula fim da tabela fecha e parêntese direito espaço a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i menor que j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i maior que j fim da célula fim da tabela fecha

Sendo o número da linha indicado por i e o número da coluna indicado por j, e observando a tabela, notamos que quando i é igual a j, ou i é maior que j, o resultado é zero.

Já as posições ocupadas pelo 1 são aquelas em que o número da coluna é maior que o número da linha.

Alternativa: c) a com i j subscrito fim do subscrito igual a abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 0 vírgula espaço s e espaço i maior ou igual a j fim da célula linha com célula com 1 vírgula espaço s e espaço i menor que j fim da célula fim da tabela fecha

5) Unesp - 2014

Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que:

a) B – I ≠ O, onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a matriz nula de ordem n.
b) B seja invertível.
c) B ≠ O, onde O é a matriz nula de ordem n.
d) B – I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.
e) A e C sejam invertíveis.

Para resolver a equação matricial, precisamos isolar o X em um dos lados do sinal de igual. Para isso, vamos inicialmente subtrair a matriz A em ambos os lados.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Agora, vamos subtrair o X, também em ambos os lados. Neste caso, a equação ficará:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X.(B - I) =2C - A

Sendo I a matriz identidade, quando multiplicamos uma matriz pela identidade o resultado é a própria matriz.

Assim, para isolar o X devemos agora multiplicar os dois lados do sinal de igual pela matriz inversa de (B-I), ou seja:

X.(B - I).(B - I) - 1 = (B - I) - 1. (2C - A)

Lembrando que quando uma matriz é invertível, o produto da matriz pela inversa é igual a matriz identidade.
X = (B - I) - 1. (2C - A)

Assim, a equação terá solução quando B - I for invertível.

Alternativa: d) B – I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.

6) Enem - 2012

Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir

Tabela enem 2012 Matrizes

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

a parêntese direito espaço abre colchetes tabela linha com célula com 1 meio fim da célula célula com 1 meio fim da célula célula com 1 meio fim da célula célula com 1 meio fim da célula fim da tabela fecha colchetes b parêntese direito espaço abre colchetes tabela linha com célula com 1 quarto fim da célula célula com 1 quarto fim da célula célula com 1 quarto fim da célula célula com 1 quarto fim da célula fim da tabela fecha colchetes c parêntese direito espaço abre colchetes tabela linha com 1 linha com 1 linha com 1 linha com 1 fim da tabela fecha colchetes d parêntese direito espaço abre colchetes tabela linha com célula com 1 meio fim da célula linha com célula com 1 meio fim da célula linha com célula com 1 meio fim da célula linha com célula com 1 meio fim da célula fim da tabela fecha colchetes e parêntese direito espaço abre colchetes tabela linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula fim da tabela fecha colchetes

A média aritmética é calculada somando-se todos os valores e dividindo-se pelo número de valores.

Assim, o aluno deverá somar as notas dos 4 bimestres e dividir o resultado por 4 ou multiplicar cada nota por 1/4 e somar todos os resultados.

Usando matrizes, podemos chegar ao mesmo resultado fazendo uma multiplicação de matriz.

Entretanto, devemos lembrar que só é possível multiplicar duas matrizes quando o número de colunas de uma é igual ao número de linhas da outra.

Como a matriz das notas têm 4 colunas, a matriz que iremos multiplicar deverá ter 4 linhas. Desta forma, devemos multiplicar pela matriz coluna:

abre colchetes tabela linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula linha com célula com 1 quarto fim da célula fim da tabela fecha colchetes

Alternativa: e

7) Fuvest - 2012

Considere a matriz A igual a abre colchetes tabela linha com a célula com 2 a mais 1 fim da célula linha com célula com a menos 1 fim da célula célula com a mais 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes, em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A-1 cuja primeira coluna é abre colchetes tabela linha com célula com 2 a menos 1 fim da célula linha com célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes, a soma dos elementos da diagonal principal de A-1 é igual a

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

A multiplicação de uma matriz pela sua inversa é igual a matriz identidade, então, podemos representar a situação pela seguinte operação:

abre colchetes tabela linha com a célula com 2 a mais 1 fim da célula linha com célula com a menos 1 fim da célula célula com a mais 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes espaço. espaço abre colchetes tabela linha com célula com 2 a menos 1 fim da célula x linha com célula com menos 1 fim da célula y fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes

Resolvendo a multiplicação da segunda linha da primeira matriz pela primeira coluna da segunda matriz, temos a seguinte equação:

(a - 1) . (2a - 1) + (a + 1) . (- 1) = 0
2a2 - a - 2a + 1 + (- a) + (- 1) = 0
2a2 - 4a = 0
2a (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Substituindo o valor de a na matriz, temos:

abre colchetes tabela linha com 2 célula com 2.2 mais 1 fim da célula linha com célula com 2 menos 1 fim da célula célula com 2 mais 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 2 5 linha com 1 3 fim da tabela fecha colchetes

Agora que conhecemos a matriz, vamos calcular seu determinante:

d e t espaço A espaço igual a abre barra vertical tabela linha com 2 5 linha com 1 3 fim da tabela fecha barra vertical igual a 2.3 espaço menos 5.1 igual a 1 S e n d o vírgula espaço A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a numerador 1 sobre denominador d e t espaço A fim da fração. abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 5 fim da célula linha com célula com menos 1 fim da célula 2 fim da tabela fecha colchetes A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 5 fim da célula linha com célula com menos 1 fim da célula 2 fim da tabela fecha colchetes

Assim, a soma da diagonal principal será igual a 5.

Alternativa: a) 5

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.