Sistemas de Equações do 1º Grau - Exercícios


Os Sistemas de equações do 1º grau são constituídos por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita.

Resolver um sistema é encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas essas equações.

Muitos problemas são resolvidos através de sistemas de equações. Portanto, é importante conhecer os métodos de resolução para esse tipo de cálculo.

Aproveite os exercícios resolvidos para tirar todas as suas dúvidas em relação a este tema.

Questões Comentadas e Resolvidas

1) Aprendizes de Marinheiro - 2017

A soma de um número x com o dobro de um número y é - 7; e a diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, é correto afirmar que o produto xy é igual a:

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

Vamos começar montando as equações considerando a situação proposta no problema. Desta forma, temos:

x + 2.y = - 7 e 3.x - y = 7

Os valores de x e y devem satisfazer ao mesmo tempo as duas equações. Portanto, formam o seguinte sistema de equações:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais 2 y igual a menos 7 fim da célula linha com célula com 3 x menos y igual a 7 fim da célula fim da tabela fecha

Podemos resolver esse sistema pelo método da adição. Para tal, vamos multiplicar a segunda equação por 2:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais 2 y igual a menos 7 fim da célula linha com célula com 6 x menos 2 y igual a 14 espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo m u l t i p l i c a m o s espaço e s s a espaço e q u a ç ã o espaço p o r espaço 2 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha

Somando as duas equações:

numerador mais abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais riscado diagonal para cima sobre 2 y fim do riscado igual a menos 7 fim da célula linha com célula com 6 x menos riscado diagonal para cima sobre 2 y fim do riscado igual a 14 fim da célula fim da tabela fecha sobre denominador 7 x igual a 7 fim da fração

x igual a 7 sobre 7 igual a 1

Substituindo na primeira equação o valor de x encontrado, temos:

1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1
y igual a numerador menos 8 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 4

Assim, o produto xy será igual a:

x.y = 1 . (- 4) = - 4

Alternativa: d) - 4

2) Colégio Militar/RJ - 2014

Um trem viaja de uma cidade a outra sempre com velocidade constante. Quando a viagem é feita com 16 km/h a mais na velocidade, o tempo gasto diminui em duas horas e meia, e quando á feita com 5 km/h a menos na velocidade, o tempo gasto aumenta em uma hora. Qual é a distância entre estas cidades?

a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km

Sendo a velocidade constante, podemos usar a seguinte fórmula:

v igual a d sobre t

Então, a distância é encontrada fazendo-se:

d = v.t

Para a primeira situação temos:

v1 = v + 16 e t1 = t - 2,5

Substituindo esses valores na fórmula da distância:

d = (v + 16) . (t - 2,5)
d = v.t - 2,5v + 16t - 40

Podemos substituir v.t por d na equação e simplificar:

diagonal para cima risco d igual a diagonal para cima risco d menos 2 vírgula 5 v mais 16 t menos 40
-2,5v +16t = 40

Para a situação em que a velocidade diminui:

v2 = v - 5 e t2 = t + 1

Fazendo a mesma substituição:

d = (v -5) . (t +1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

Com essas duas equações, podemos montar o seguinte sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos 2 vírgula 5 v mais 16 t igual a 40 fim da célula linha com célula com v menos 5 t igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha

Resolvendo o sistema pelo método da substituição, vamos isolar o v na segunda equação:

v = 5 + 5t

Substituindo esse valor na primeira equação:

-2,5 (5 + 5t) + 16 t = 40
-12,5 - 12,5t + 16 t = 40
3,5t =40 + 12,5
3,5t = 52,5
t igual a numerador 52 vírgula 5 sobre denominador 3 vírgula 5 fim da fração igual a 15 h

Vamos substituir este valor para encontrar a velocidade:

v = 5 + 5 . 15
v = 5 + 75 = 80 km/h

Para encontrar a distância, basta multiplicar os valores encontrados da velocidade e do tempo. Assim:

d = 80 . 15 = 1200 km

Alternativa: a) 1 200 km

3) Aprendizes de Marinheiro - 2016

Um estudante pagou um lanche de 8 reais em moedas de 50 centavos e 1 real. Sabendo que, para este pagamento, o estudante utilizou 12 moedas, determine, respectivamente, as quantidades de moedas de 50 centavos e de um real que foram utilizadas no pagamento do lanche e assinale a opção correta.

a) 5 e 7
b) 4 e 8
c) 6 e 6
d) 7 e 5
e) 8 e 4

Considerando x o número de moedas de 50 centavos, y o número de moedas de 1 real e o valor pago igual a 8 reais, podemos escrever a seguinte equação:

0,5x + 1y = 8

Sabemos ainda que foram utilizadas 12 moedas no pagamento, então:

x + y = 12

Montando e resolvendo o sistema por adição:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 12 fim da célula linha com célula com menos 0 vírgula 5 x menos y igual a menos 8 espaço espaço espaço parêntese esquerdo m u l t i p l i c a n d o espaço p o r espaço menos 1 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha

numerador mais abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais diagonal para cima risco y igual a 12 fim da célula linha com célula com 0 vírgula 5 x menos diagonal para cima risco y igual a menos 8 fim da célula fim da tabela fecha sobre denominador 0 vírgula 5 x igual a 4 fim da fração x igual a numerador 4 sobre denominador 0 vírgula 5 fim da fração x igual a 8

Substituindo o valor encontrado de x na primeira equação:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternativa: e) 8 e 4

4) Colégio Pedro II - 2014

De uma caixa contendo B bolas brancas e P bolas pretas, retiraram-se 15 bolas brancas, permanecendo entre as bolas restantes a relação de 1 branca para 2 pretas. Em seguida, retiraram-se 10 pretas, restando, na caixa, um número de bolas na razão de 4 brancas para 3 pretas. Um sistema de equações que permite determinar os valores de B e P pode ser representado por:

a parêntese direito espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 B menos P igual a 30 fim da célula linha com célula com 3 B menos 4 P igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha b parêntese direito espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com B mais P igual a 30 fim da célula linha com célula com B menos P igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha c parêntese direito abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 B mais P igual a menos 30 fim da célula linha com célula com menos 3 B menos 4 P igual a menos 5 fim da célula fim da tabela fecha d parêntese direito abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 B mais P igual a 30 fim da célula linha com célula com 3 B menos 4 P igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha

Considerando a primeira situação indicada no problema, temos a seguinte proporção:

numerador B menos 15 sobre denominador P fim da fração igual a 1 meio espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço

Multiplicando "em cruz" essa proporção, temos:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Vamos fazer o mesmo para a situação seguinte:

numerador B menos 15 sobre denominador P menos 10 fim da fração igual a 4 sobre 3

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5

Juntando essas equações em um sistema, encontramos a resposta do problema.

Alternativa: a) abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 B menos P igual a 30 fim da célula linha com célula com 3 B menos 4 P igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha

5) Faetec - 2012

Carlos resolveu, em um final de semana, 36 exercícios de matemática a mais que Nilton. Sabendo que o total de exercícios resolvidos por ambos foi 90, o número de exercícios que Carlos resolveu é igual a:

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18

Considerando x como o número de exercícios resolvidos por Carlos e y o número de exercícios resolvidos por Nilton, podemos montar o seguinte sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x igual a y mais 36 fim da célula linha com célula com x mais y igual a 90 fim da célula fim da tabela fecha

Substituindo x por y + 36 na segunda equação, temos:

y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36
y igual a 54 sobre 2 y igual a 27

Substituindo esse valor na primeira equação:

x = 27 + 36
x = 63

Alternativa: a) 63

6) Enem/PPL - 2015

Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros, e, ao final, recebeu R$ 100,00. Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

Sendo x o número de tiros que acertou o alvo e y o número de tiros errados, temos o seguinte sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 20 x menos 10 y igual a 100 fim da célula linha com célula com x mais y igual a 80 fim da célula fim da tabela fecha

Podemos resolver esse sistema pelo método da adição, iremos multiplicar todos os termos da segunda equação por 10 e somar as duas equações:

mais numerador abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 20 x menos riscado diagonal para cima sobre 10 y fim do riscado igual a 100 fim da célula linha com célula com 10 x mais riscado diagonal para cima sobre 10 y fim do riscado igual a 800 fim da célula fim da tabela fecha sobre denominador 30 x espaço igual a 900 fim da fração x igual a 900 sobre 30 x igual a 30

Portanto, o participante acertou 30 vezes o alvo.

Alternativa: a) 30

7) Enem - 2000

Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é:

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

O problema indica que o número de carros roubados da marca x e y juntas equivale a 60% do total, então:

150.0,6 = 90

Considerando esse valor, podemos escrever o seguinte sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x igual a 2 y fim da célula linha com célula com x mais y igual a 90 fim da célula fim da tabela fecha

Substituindo o valor de x na segunda equação, temos:

2y + y = 90
3y = 90
y igual a 90 sobre 3 y igual a 30

Alternativa: b) 30