Exercícios de Sistemas de Equações do 1º Grau (Comentados e Resolvidos)

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Os Sistemas de equações do 1º grau são constituídos por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Resolver um sistema é encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas essas equações.

Muitos problemas são resolvidos por sistemas de equações. Portanto, é importante conhecer os métodos de resolução para esse tipo de cálculo.

Questão 1

Um grupo de amigos está indo a um show e precisa comprar ingressos. Os ingressos custam R$ 40,00 cada para estudantes e R$ 60,00 cada para não estudantes. O grupo é composto por 8 amigos. No total, foram gastos R$ 360,00 na compra dos ingressos.

Escreva um sistema de equações do primeiro grau que represente essa situação e, em seguida, resolva-o para encontrar o número de ingressos de cada tipo.

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Resposta: 6 ingressos de estudantes e 2 de não estudantes.

Resolução

Utilizamos letras para descrever os valores:

x para estudantes;
y para não estudantes.

Como são oito pessoas, temos que:

x + y = 8

Como sabemos o preço pago por cada estudante (x), que foi de R$40,00 e, para não estudantes de R$60,00, sendo o total R$360,00, escrevemos:

40x + 60y = 360

Temos duas equações com duas incógnitas cada e, assim, podemos montar e resolver o sistema.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x espaço mais espaço reto y espaço igual a espaço 8 fim da célula linha com célula com 40 reto x espaço mais espaço 60 reto y espaço igual a espaço 360 fim da célula fim da tabela fecha$

Utilizando o método da substituição, isolamos uma incógnita na primeiro equação e substituímos na segunda.

Isolando x na primeira:

x = 8 - y

Substituindo na segunda:

$40 parêntese esquerdo 8 menos y parêntese direito espaço mais espaço 60 y igual a 360 320 espaço menos espaço 40 reto y espaço mais espaço 60 reto y igual a 360 320 mais 20 reto y igual a 360 20 reto y igual a 360 menos 320 20 reto y igual a 40 reto y igual a 40 sobre 20 igual a 2$

Retornando este valor em x = 8 - y, temos:

x = 8 - 2 = 6

Assim, temos 6 ingressos do tipo x (estudantes) e 2 ingressos do tipo y (não estudantes).

Questão 2

Em uma feira as maçãs custam R$ 2,00 cada e bananas custam R$ 1,50 cada. Você decide comprar um total de 10 frutas e gasta R$ 17,00 no total. Escreva um sistema de equações do primeiro grau que represente essa situação e, em seguida, resolva-o para encontrar o número de maçãs e bananas compradas.

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Resposta: 6 bananas e 4 maçãs.

Resolução

O número de maçãs mais o de bananas é de 10 frutas.

maçãs + bananas = 10

Vamos utilizar m para maçãs e b para bananas.

m + b = 10

Também sabemos que no total, 15 reais foram gastos, assim como o preço de cada tipo de fruta.

2m + 1,5b = 17

Temos duas equações com duas incógnitas cada. Escrevendo o sistema:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto m mais reto b igual a 10 fim da célula linha com célula com 2 reto m mais 1 vírgula 5 reto b igual a 17 fim da célula fim da tabela fecha$

Vamos resolver este sistema pelo método da adição. Para isto, multiplicamos a primeira equação por -2.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos 2 reto m menos 2 reto b igual a menos 20 fim da célula linha com célula com 2 reto m mais 1 vírgula 5 reto b igual a 17 fim da célula fim da tabela fecha$

Somando as duas equações termo a termo, cancelamos o m.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Assim, temos que b:

$menos 0 vírgula 5 reto b igual a menos 3 reto b igual a numerador menos 3 sobre denominador menos 0 vírgula 5 fim da fração igual a 6$

Como foram compradas 10 frutas, se 6 foram bananas, restam que 4 foram maçãs.

Questão 3

Aprendizes de Marinheiro - 2017

A soma de um número x com o dobro de um número y é - 7; e a diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, é correto afirmar que o produto xy é igual a:

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

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Vamos começar montando as equações considerando a situação proposta no problema. Desta forma, temos:

x + 2.y = - 7 e 3.x - y = 7

Os valores de x e y devem satisfazer ao mesmo tempo as duas equações. Portanto, formam o seguinte sistema de equações:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais 2 y igual a menos 7 fim da célula linha com célula com 3 x menos y igual a 7 fim da célula fim da tabela fecha$

Podemos resolver esse sistema pelo método da adição. Para tal, vamos multiplicar a segunda equação por 2:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais 2 y igual a menos 7 fim da célula linha com célula com 6 x menos 2 y igual a 14 espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo m u l t i p l i c a m o s espaço e s s a espaço e q u a ç ã o espaço p o r espaço 2 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha$

Somando as duas equações:

$numerador mais abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais riscado diagonal para cima sobre 2 y fim do riscado igual a menos 7 fim da célula linha com célula com 6 x menos riscado diagonal para cima sobre 2 y fim do riscado igual a 14 fim da célula fim da tabela fecha sobre denominador 7 x igual a 7 fim da fração$

$x igual a 7 sobre 7 igual a 1$

Substituindo na primeira equação o valor de x encontrado, temos:

1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1
$y igual a numerador menos 8 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 4$

Assim, o produto xy será igual a:

x.y = 1 . (- 4) = - 4

Alternativa: d) - 4

Questão 4

Colégio Militar/RJ - 2014

Um trem viaja de uma cidade a outra sempre com velocidade constante. Quando a viagem é feita com 16 km/h a mais na velocidade, o tempo gasto diminui em duas horas e meia, e quando á feita com 5 km/h a menos na velocidade, o tempo gasto aumenta em uma hora. Qual é a distância entre estas cidades?

a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km

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Sendo a velocidade constante, podemos usar a seguinte fórmula:

$v igual a d sobre t$

Então, a distância é encontrada fazendo-se:

d = v.t

Para a primeira situação temos:

v₁ = v + 16 e t₁ = t - 2,5

Substituindo esses valores na fórmula da distância:

d = (v + 16) . (t - 2,5)
d = v.t - 2,5v + 16t - 40

Podemos substituir v.t por d na equação e simplificar:

$diagonal para cima risco d igual a diagonal para cima risco d menos 2 vírgula 5 v mais 16 t menos 40$
-2,5v +16t = 40

Para a situação em que a velocidade diminui:

v₂= v - 5 e t₂ = t + 1

Fazendo a mesma substituição:

d = (v -5) . (t +1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

Com essas duas equações, podemos montar o seguinte sistema:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos 2 vírgula 5 v mais 16 t igual a 40 fim da célula linha com célula com v menos 5 t igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha$

Resolvendo o sistema pelo método da substituição, vamos isolar o v na segunda equação:

v = 5 + 5t

Substituindo esse valor na primeira equação:

-2,5 (5 + 5t) + 16 t = 40
-12,5 - 12,5t + 16 t = 40
3,5t =40 + 12,5
3,5t = 52,5
$t igual a numerador 52 vírgula 5 sobre denominador 3 vírgula 5 fim da fração igual a 15 h$

Vamos substituir este valor para encontrar a velocidade:

v = 5 + 5 . 15
v = 5 + 75 = 80 km/h

Para encontrar a distância, basta multiplicar os valores encontrados da velocidade e do tempo. Assim:

d = 80 . 15 = 1200 km

Alternativa: a) 1 200 km

Questão 5

Aprendizes de Marinheiro - 2016

Um estudante pagou um lanche de 8 reais em moedas de 50 centavos e 1 real. Sabendo que, para este pagamento, o estudante utilizou 12 moedas, determine, respectivamente, as quantidades de moedas de 50 centavos e de um real que foram utilizadas no pagamento do lanche e assinale a opção correta.

a) 5 e 7
b) 4 e 8
c) 6 e 6
d) 7 e 5
e) 8 e 4

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Considerando x o número de moedas de 50 centavos, y o número de moedas de 1 real e o valor pago igual a 8 reais, podemos escrever a seguinte equação:

0,5x + 1y = 8

Sabemos ainda que foram utilizadas 12 moedas no pagamento, então:

x + y = 12

Montando e resolvendo o sistema por adição:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 12 fim da célula linha com célula com 0 vírgula 5 x mais y igual a 8 espaço espaço espaço fim da célula fim da tabela fecha$

Vamos multiplicar toda a segunda equação por -1.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 12 fim da célula linha com célula com menos 0 vírgula 5 x menos y igual a menos 8 espaço espaço espaço parêntese esquerdo m u l t i p l i c a n d o espaço p o r espaço menos 1 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha$

Somamos termo a termo as duas equações e, com isso, eliminamos a incógnita y.

$numerador mais abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais diagonal para cima risco y igual a 12 fim da célula linha com célula com menos 0 vírgula 5 x menos diagonal para cima risco y igual a menos 8 fim da célula fim da tabela fecha sobre denominador 0 vírgula 5 x igual a 4 fim da fração x igual a numerador 4 sobre denominador 0 vírgula 5 fim da fração x igual a 8$

Substituindo o valor encontrado de x na primeira equação:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternativa: e) 8 e 4

Questão 6

Colégio Pedro II - 2014

De uma caixa contendo B bolas brancas e P bolas pretas, retiraram-se 15 bolas brancas, permanecendo entre as bolas restantes a relação de 1 branca para 2 pretas. Em seguida, retiraram-se 10 pretas, restando, na caixa, um número de bolas na razão de 4 brancas para 3 pretas. Um sistema de equações que permite determinar os valores de B e P pode ser representado por:

$a parêntese direito espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 B menos P igual a 30 fim da célula linha com célula com 3 B menos 4 P igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha b parêntese direito espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com B mais P igual a 30 fim da célula linha com célula com B menos P igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha c parêntese direito abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 B mais P igual a menos 30 fim da célula linha com célula com menos 3 B menos 4 P igual a menos 5 fim da célula fim da tabela fecha d parêntese direito abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 B mais P igual a 30 fim da célula linha com célula com 3 B menos 4 P igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha$

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Considerando a primeira situação indicada no problema, temos a seguinte proporção:

$numerador B menos 15 sobre denominador P fim da fração igual a 1 meio espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço$

Multiplicando "em cruz" essa proporção, temos:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Vamos fazer o mesmo para a situação seguinte:

$numerador B menos 15 sobre denominador P menos 10 fim da fração igual a 4 sobre 3$

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5

Juntando essas equações em um sistema, encontramos a resposta do problema.

Alternativa: a) $abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 B menos P igual a 30 fim da célula linha com célula com 3 B menos 4 P igual a 5 fim da célula fim da tabela fecha$

Questão 7

Faetec - 2012

Carlos resolveu, em um final de semana, 36 exercícios de matemática a mais que Nilton. Sabendo que o total de exercícios resolvidos por ambos foi 90, o número de exercícios que Carlos resolveu é igual a:

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18

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Considerando x como o número de exercícios resolvidos por Carlos e y o número de exercícios resolvidos por Nilton, podemos montar o seguinte sistema:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x igual a y mais 36 fim da célula linha com célula com x mais y igual a 90 fim da célula fim da tabela fecha$

Substituindo x por y + 36 na segunda equação, temos:

y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36
$y igual a 54 sobre 2 y igual a 27$

Substituindo esse valor na primeira equação:

x = 27 + 36
x = 63

Alternativa: a) 63

Questão 8

Enem/PPL - 2015

Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros, e, ao final, recebeu R$ 100,00. Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

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Sendo x o número de tiros que acertou o alvo e y o número de tiros errados, temos o seguinte sistema:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 20 x menos 10 y igual a 100 fim da célula linha com célula com x mais y igual a 80 fim da célula fim da tabela fecha$

Podemos resolver esse sistema pelo método da adição, iremos multiplicar todos os termos da segunda equação por 10 e somar as duas equações:

$mais numerador abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 20 x menos riscado diagonal para cima sobre 10 y fim do riscado igual a 100 fim da célula linha com célula com 10 x mais riscado diagonal para cima sobre 10 y fim do riscado igual a 800 fim da célula fim da tabela fecha sobre denominador 30 x espaço igual a 900 fim da fração x igual a 900 sobre 30 x igual a 30$

Portanto, o participante acertou 30 vezes o alvo.

Alternativa: a) 30

Questão 9

Enem - 2000

Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é:

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

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O problema indica que o número de carros roubados da marca x e y juntas equivale a 60% do total, então:

150.0,6 = 90

Considerando esse valor, podemos escrever o seguinte sistema:

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x igual a 2 y fim da célula linha com célula com x mais y igual a 90 fim da célula fim da tabela fecha$

Substituindo o valor de x na segunda equação, temos:

2y + y = 90
3y = 90
$y igual a 90 sobre 3 y igual a 30$

Alternativa: b) 30

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Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Edição por Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.