Exercícios sobre Geometria Analítica

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Teste seus conhecimentos com questões sobre os aspectos gerais da Geometria Analítica envolvendo distância entre dois pontos, ponto médio, equação da reta, entre outros temas.

Aproveite os comentários nas resoluções para tirar suas dúvidas e adquirir mais conhecimento.

Questão 1

Calcule a distância entre dois pontos: A (-2,3) e B (1,-3).

Resposta correta: d(A, B) = 3 raiz quadrada de 5.

Para resolver essa questão, utilize a fórmula para calcular a distância entre dois pontos.

reto d abre parênteses reto A vírgula reto B fecha parênteses espaço igual a espaço raiz quadrada de parêntese esquerdo reto x com reto B subscrito espaço menos espaço reto x com reto A subscrito parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo reto y com reto B subscrito espaço menos espaço reto y com reto A subscrito parêntese direito ao quadrado fim da raiz

Substituímos os valores na fórmula e calculamos a distância.

reto d abre parênteses reto A vírgula reto B fecha parênteses espaço igual a espaço raiz quadrada de parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 3 espaço menos espaço 3 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d abre parênteses reto A vírgula reto B fecha parênteses espaço igual a espaço raiz quadrada de parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 2 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 3 espaço menos espaço 3 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d abre parênteses reto A vírgula reto B fecha parênteses espaço igual a espaço raiz quadrada de 3 ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 6 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d abre parênteses reto A vírgula reto B fecha parênteses espaço igual a espaço raiz quadrada de 9 espaço mais espaço 36 fim da raiz reto d abre parênteses reto A vírgula reto B fecha parênteses espaço igual a espaço raiz quadrada de 45

A raiz de 45 não é exata, por isso é necessário realizar a radiciação até que não se possa mais retirar nenhum número da raiz.

reto d abre parênteses reto A vírgula reto B fecha parênteses espaço igual a espaço raiz quadrada de 9 espaço. espaço 5 fim da raiz reto d abre parênteses reto A vírgula reto B fecha parênteses espaço igual a espaço raiz quadrada de 3 ao quadrado espaço. espaço 5 fim da raiz reto d abre parênteses reto A vírgula reto B fecha parênteses espaço igual a espaço 3 raiz quadrada de 5

Portanto, a distância entre os pontos A e B é 3 raiz quadrada de 5.

Questão 2

No plano cartesiano existem os pontos D (3,2) e C (6,4). Calcule a distância entre D e C.

Resposta correta: raiz quadrada de 13.

Sendo reto d com DP subscrito espaço igual a espaço abre barra vertical reto x com reto C subscrito espaço menos espaço reto x com reto D subscrito fecha barra vertical e reto d com CP subscrito espaço igual a espaço abre barra vertical reto y com reto C subscrito espaço menos espaço reto y com reto D subscrito fecha barra vertical, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo DCP.

parêntese esquerdo reto d com DC subscrito parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço abre parênteses reto d com DP subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto d com CP subscrito fecha parênteses ao quadrado parêntese esquerdo reto d com DC subscrito parêntese direito ao quadrado espaço igual a abre parênteses reto x com reto C subscrito espaço menos espaço reto x com reto D subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto C subscrito espaço menos espaço reto y com reto D subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço reto d com DC subscrito espaço espaço espaço espaço igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto C subscrito espaço menos espaço reto x com reto D subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto C subscrito espaço menos espaço reto y com reto D subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz

Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma:

reto d com DC subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto C subscrito espaço menos espaço reto x com reto D subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto C subscrito espaço menos espaço reto y com reto D subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz espaço reto d com DC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 6 menos 3 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 4 menos 2 parêntese direito ao quadrado fim da raiz espaço reto d com DC subscrito igual a raiz quadrada de 3 ao quadrado espaço mais espaço 2 ao quadrado fim da raiz espaço reto d com DC subscrito igual a raiz quadrada de 9 espaço mais espaço 4 fim da raiz espaço reto d com DC subscrito igual a raiz quadrada de 13

Portanto, a distância entre D e C é de raiz quadrada de 13

Veja também: Distância entre Dois Pontos

Questão 3

Determine o perímetro do triângulo ABC, cujas coordenadas são: A (3,3), B (–5, –6) e C (4,–2).

Resposta correta: P = 26,99.

1º passo: Calcular a distância entre os pontos A e B.

reto d com AB subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de 3 menos parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 3 menos parêntese esquerdo menos 6 parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de 8 ao quadrado espaço mais espaço 9 ao quadrado fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de 64 espaço mais espaço 81 fim da raiz reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de 145 reto d com AB subscrito aproximadamente igual 12 vírgula 04

2º passo: Calcular a distância entre os pontos A e C.

reto d com AB subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com A reto C subscrito fim do subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 3 menos 4 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 3 menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com A reto C subscrito fim do subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço 5 ao quadrado fim da raiz reto d com A reto C subscrito fim do subscrito igual a raiz quadrada de 1 espaço mais espaço 25 fim da raiz reto d com A reto C subscrito fim do subscrito igual a raiz quadrada de 26 reto d com A reto C subscrito fim do subscrito aproximadamente igual 5 vírgula 1

3º passo: Calcular a distância entre os pontos B e C.

reto d com BC subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto B subscrito espaço menos espaço reto x com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto B subscrito espaço menos espaço reto y com reto C subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 5 menos 4 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 6 menos parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 9 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de 81 espaço mais espaço 16 fim da raiz reto d com BC subscrito igual a raiz quadrada de 97 reto d com BC subscrito aproximadamente igual espaço 9 vírgula 85

4º passo: Calcular o perímetro do triângulo.

reto p espaço igual a espaço reto L com AB subscrito espaço mais reto L com AC subscrito espaço mais espaço reto L com BC subscrito reto p espaço igual a espaço 12 vírgula 04 espaço mais espaço 5 vírgula 1 espaço mais espaço 9 vírgula 85 reto p espaço igual a espaço 26 vírgula 99

Portanto, o perímetro do triângulo ABC é 26,99.

Veja também: Perímetro do Triângulo

Questão 4

Determine as coordenadas que localizam o ponto médio entre A (4,3) e B (2,-1).

Resposta correta: M (3, 1).

Utilizando a fórmula para calcular o ponto médio, determinamos a coordenada x.

reto x com reto M subscrito espaço igual a espaço numerador reto x com reto A subscrito espaço mais espaço reto x com reto B subscrito sobre denominador 2 fim da fração reto x com reto M subscrito espaço igual a espaço numerador 4 espaço mais espaço 2 sobre denominador 2 fim da fração reto x com reto M subscrito espaço igual a espaço 6 sobre 2 reto x com reto M subscrito espaço igual a espaço 3

A coordenada y é calculada utilizando a mesma fórmula.

reto y com reto M subscrito espaço igual a espaço numerador reto y com reto A subscrito espaço mais espaço reto y com reto B subscrito sobre denominador 2 fim da fração reto x com reto M subscrito espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração reto x com reto M subscrito espaço igual a espaço numerador 3 espaço menos espaço 1 sobre denominador 2 fim da fração reto x com reto M subscrito espaço igual a espaço 2 sobre 2 reto x com reto M subscrito espaço igual a espaço 1

De acordo com os cálculos, o ponto médio é (3,1).

Questão 5

Calcule as coordenadas do vértice C de um triângulo, cujos pontos são: A (3, 1), B (–1, 2) e o baricentro G (6, –8).

Resposta correta: C (16, –27).

O baricentro G (xG, yG) é o ponto em que se encontram as três medianas de um triângulo. Suas coordenadas são dadas pelas fórmulas:

reto x com reto G subscrito espaço igual a espaço numerador reto x com reto A subscrito espaço mais reto x com reto B subscrito espaço mais espaço reto x com reto C subscrito espaço sobre denominador 3 fim da fração e reto y com reto G subscrito espaço igual a espaço numerador reto y com reto A subscrito espaço mais reto y com reto B subscrito espaço mais espaço reto y com reto C subscrito espaço sobre denominador 3 fim da fração

Substituindo os valores de x das coordenadas, temos:

reto x com reto G subscrito espaço igual a espaço numerador reto x com reto A subscrito espaço mais reto x com reto B subscrito espaço mais espaço reto x com reto C subscrito espaço sobre denominador 3 fim da fração 6 espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço mais espaço reto x com reto C subscrito sobre denominador 3 fim da fração 6 espaço. espaço 3 espaço igual a espaço 3 espaço menos 1 espaço mais espaço reto x com reto C subscrito 18 espaço igual a espaço 2 espaço mais espaço reto x com reto C subscrito 18 espaço menos espaço 2 espaço igual a espaço reto x com reto C subscrito reto x com reto C subscrito espaço igual a espaço 16

Agora, fazemos o mesmo processo para os valores de y.

reto y com reto G subscrito espaço igual a espaço numerador reto y com reto A subscrito espaço mais espaço reto y com reto B subscrito espaço mais espaço reto y com reto C subscrito espaço sobre denominador 3 fim da fração menos 8 espaço igual a espaço numerador 1 espaço mais espaço 2 espaço mais espaço reto y com reto C subscrito espaço sobre denominador 3 fim da fração menos 8 espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais espaço reto y com reto C subscrito espaço sobre denominador 3 fim da fração menos 8 espaço. espaço 3 espaço igual a espaço 3 espaço mais espaço reto y com reto C subscrito espaço menos 24 espaço menos espaço 3 espaço espaço igual a espaço reto y com reto C subscrito reto y com reto C subscrito espaço igual a espaço menos 27

Portanto, o vértice C possui as coordenadas (16,-27).

Questão 6

Dada as coordenadas dos pontos colineares A (–2, y), B (4, 8) e C (1, 7), determine qual o valor de y.

Resposta correta: y = 6.

Para que os três pontos estejam alinhados, é necessário que o determinante da matriz abaixo seja igual a zero.

reto D espaço estreito igual a espaço abre barra vertical tabela linha com célula com reto x com reto A subscrito fim da célula célula com reto y com reto A subscrito fim da célula 1 linha com célula com reto x com reto B subscrito fim da célula célula com reto y com reto B subscrito fim da célula 1 linha com célula com reto x com reto C subscrito fim da célula célula com reto y com reto C subscrito fim da célula 1 fim da tabela fecha barra vertical espaço igual a espaço 0

1º passo: substituir os valores de x e y na matriz.

reto D espaço estreito igual a espaço abre barra vertical tabela linha com célula com menos 2 fim da célula reto y 1 linha com 4 8 1 linha com 1 7 1 fim da tabela fecha barra vertical

2º passo: escrever os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz.

reto D espaço estreito igual a espaço abre barra vertical tabela linha com célula com menos 2 fim da célula reto y 1 linha com 4 8 1 linha com 1 7 1 fim da tabela fecha barra vertical tabela linha com célula com negrito menos negrito 2 fim da célula negrito y linha com negrito 4 negrito 8 linha com negrito 1 negrito 7 fim da tabela

3º passo: multiplicar os elementos das diagonais principais e somá-los.

tabela linha com célula com negrito menos negrito 2 fim da célula bold italic y negrito 1 linha com 4 negrito 8 negrito 1 linha com 1 7 negrito 1 fim da tabela tabela linha com célula com menos 2 fim da célula y linha com negrito 4 8 linha com negrito 1 negrito 7 fim da tabela espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço seta na posição noroeste seta na posição noroeste seta na posição noroeste espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço Diagonais espaço principais

O resultado será:

tabela linha com célula com negrito menos negrito 2 negrito. negrito 8 negrito. negrito 1 fim da célula mais célula com negrito y negrito. negrito 1 negrito. negrito 1 fim da célula mais célula com negrito 1 negrito. negrito 4 negrito. negrito 7 fim da célula blank linha com célula com negrito menos negrito 16 fim da célula blank célula com mais negrito espaço negrito y fim da célula blank célula com mais espaço negrito 28 fim da célula blank fim da tabela tabela linha com blank linha com blank fim da tabela

4º passo: multiplicar os elementos das diagonais secundárias e inverter o sinal à frente deles.

tabela linha com célula com menos 2 fim da célula reto y negrito 1 linha com 4 negrito 8 negrito 1 linha com negrito 1 negrito 7 negrito 1 fim da tabela tabela linha com célula com negrito menos negrito 2 fim da célula negrito y linha com negrito 4 8 linha com 1 7 fim da tabela seta na posição nordeste seta na posição nordeste seta na posição nordeste Diagonais espaço secundárias

O resultado será:

tabela linha com célula com menos negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito. negrito 8 negrito. negrito 1 negrito parêntese direito fim da célula menos célula com negrito parêntese esquerdo negrito menos negrito 2 negrito. negrito 1 negrito. negrito 7 negrito parêntese direito fim da célula menos célula com negrito parêntese esquerdo negrito y negrito. negrito 4 negrito. negrito 1 negrito parêntese direito fim da célula blank linha com célula com menos espaço negrito 8 fim da célula blank célula com mais negrito espaço negrito 14 fim da célula blank célula com menos negrito espaço negrito 4 negrito y fim da célula blank fim da tabela tabela linha com blank linha com blank fim da tabela

5º passo: juntar os termos e resolver as operações de adição e subtração.

reto D espaço igual a espaço menos espaço 16 espaço mais espaço reto y espaço mais espaço 28 espaço menos espaço 8 espaço mais espaço 14 espaço menos espaço 4 reto y 0 espaço igual a espaço menos espaço 3 reto y espaço mais espaço 18 3 reto y espaço igual a espaço 18 espaço espaço reto y espaço igual a espaço 18 sobre 3 espaço espaço reto y espaço igual a espaço 6

Portanto, para que os pontos sejam colineares, é necessário que o valor de y seja 6.

Veja também: Matrizes e Determinantes

Questão 7

Determine a área do triângulo ABC, cujos vértices são: A (2, 2), B (1, 3) e C (4, 6).

Resposta correta: Área = 3.

A área de um triângulo pode ser calculada a partir do determinante da seguinte forma:

reto A espaço estreito igual a 1 meio espaço abre barra vertical tabela linha com célula com reto x com reto A subscrito fim da célula célula com reto y com reto A subscrito fim da célula 1 linha com célula com reto x com reto B subscrito fim da célula célula com reto y com reto B subscrito fim da célula 1 linha com célula com reto x com reto C subscrito fim da célula célula com reto y com reto C subscrito fim da célula 1 fim da tabela fecha barra vertical espaço seta dupla para a direita espaço reto A espaço estreito igual a 1 meio espaço abre barra vertical reto D fecha barra vertical

1º passo: substituir os valores das coordenadas na matriz.

reto D espaço estreito igual a espaço abre barra vertical tabela linha com 2 2 1 linha com 1 3 1 linha com 4 6 1 fim da tabela fecha barra vertical

2º passo: escrever os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz.

reto D espaço estreito igual a espaço abre barra vertical tabela linha com 2 2 1 linha com 1 3 1 linha com 4 6 1 fim da tabela fecha barra vertical tabela linha com negrito 2 negrito 2 linha com negrito 1 negrito 3 linha com negrito 4 negrito 6 fim da tabela

3º passo: multiplicar os elementos das diagonais principais e somá-los.

tabela linha com negrito 2 negrito 2 negrito 1 linha com 1 negrito 3 negrito 1 linha com 4 6 negrito 1 fim da tabela tabela linha com 2 2 linha com negrito 1 3 linha com negrito 4 negrito 6 fim da tabela espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço seta na posição noroeste seta na posição noroeste seta na posição noroeste espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço Diagonais espaço principais

O resultado será:

tabela linha com célula com negrito 2 negrito. negrito 3 negrito. negrito 1 fim da célula mais célula com negrito 2 negrito. negrito 1 negrito. negrito 4 fim da célula mais célula com negrito 1 negrito. negrito 1 negrito. negrito 6 fim da célula blank linha com negrito 6 blank célula com mais negrito espaço negrito 8 fim da célula blank célula com mais espaço negrito 6 fim da célula blank fim da tabela tabela linha com blank linha com blank fim da tabela

4º passo: multiplicar os elementos das diagonais secundárias e inverter o sinal à frente deles.

espaço espaço espaço espaço espaço tabela linha com 2 2 negrito 1 linha com 1 negrito 3 negrito 1 linha com negrito 4 negrito 6 negrito 1 fim da tabela tabela linha com negrito 2 negrito 2 linha com negrito 1 3 linha com 4 6 fim da tabela seta na posição nordeste seta na posição nordeste seta na posição nordeste Diagonais espaço secundárias

O resultado será:

tabela linha com célula com menos negrito espaço negrito parêntese esquerdo negrito 1 negrito. negrito 3 negrito. negrito 4 negrito parêntese direito fim da célula menos célula com negrito parêntese esquerdo negrito 2 negrito. negrito 1 negrito. negrito 6 negrito parêntese direito fim da célula menos célula com negrito parêntese esquerdo negrito 2 negrito. negrito 1 negrito. negrito 1 negrito parêntese direito fim da célula blank linha com célula com menos espaço negrito 12 fim da célula blank célula com menos negrito espaço negrito 12 fim da célula blank célula com menos negrito espaço negrito 2 fim da célula blank fim da tabela tabela linha com blank linha com blank fim da tabela

5º passo: juntar os termos e resolver as operações de adição e subtração.

reto D espaço igual a espaço mais espaço 6 espaço mais espaço 8 espaço mais espaço 6 espaço menos espaço 12 espaço menos espaço 12 espaço menos espaço 2 reto D espaço igual a espaço 20 espaço menos espaço 26 reto D espaço igual a espaço menos 6

6º passo: calcular a área do triângulo.

reto A espaço estreito igual a 1 meio espaço abre barra vertical reto D fecha barra vertical reto A espaço estreito igual a 1 meio espaço abre barra vertical menos 6 fecha barra vertical reto A espaço estreito igual a 1 meio espaço. espaço 6 reto A espaço estreito igual a 6 sobre 2 reto A espaço estreito igual a espaço 3

Veja também: Área do Triângulo

Questão 8

Determine e escreva a equação da circunferência de centro C(2, 1) e raio r = 5, na forma reduzida e na forma normal.

A equação de uma circunferência reduzida tem a forma:

parêntese esquerdo reto x menos reto a parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo reto y menos reto b parêntese direito ao quadrado igual a reto r ao quadrado

Onde a e b são as coordenadas da centro e r o raio. Substituindo na equação:

parêntese esquerdo x menos 2 parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo y menos 1 parêntese direito ao quadrado igual a 25

A forma normal da equação de uma circunferência é:

reto x ao quadrado espaço mais espaço reto y ao quadrado espaço menos espaço 2 ax espaço menos espaço 2 by espaço mais espaço parêntese esquerdo reto a ao quadrado espaço mais espaço reto b ao quadrado espaço menos espaço reto r ao quadrado parêntese direito espaço igual a 0

Para determinar a forma normal, devemos desenvolver os quadrados.

x ao quadrado menos 2. x. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço mais espaço 2 ao quadrado mais espaço y ao quadrado menos 2. y. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 25 x ao quadrado mais 4 x mais 4 mais y ao quadrado mais 2 y mais 1 igual a 25

Organizando os termos e trazendo o 25 para o primeiro membro da equação:

x ao quadrado mais y ao quadrado mais 4 x mais 2 y mais 4 mais 1 menos 25 igual a 0 x ao quadrado mais y ao quadrado mais 4 x mais 2 y menos 20 igual a 0

Questão 9

Dada a equação da reta r: 5x + 2y - 4 =0, obtenha a equação do feixe de paralelas a r, e a equação da reta paralela a r que passe pelo ponto P(9, 2).

A condição para que duas retas sejam paralelas é ter seus coeficientes de x e de y proporcionais. O termo independente pode variar livremente.

Equação do feixe de retas paralelas
Uma reta qualquer de equação geral 5x + 2y + c = 0, com c pertence reto números reais, é uma reta paralela à reta r.

Variando o termo c, produzimos retas paralelas à reta r.

Em particular, a equação da reta paralela à r, que passe pelo ponto P(9, 2) é:

5 x espaço mais espaço 2 y espaço mais espaço c espaço igual a espaço 0 5.9 espaço mais espaço 2.2 espaço mais espaço c espaço igual a espaço 0 45 espaço mais espaço 4 espaço mais espaço c espaço igual a espaço 0 c espaço igual a espaço menos 49

Uma vez determinado o c, basta substituí-lo na equação do feixe de retas paralelas à r:

5 x espaço mais espaço 2 y espaço mais espaço c espaço igual a 0 5 x espaço mais espaço 2 y espaço menos espaço 49 espaço igual a espaço 0

Questão 10

(PUC-RJ) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo, o ponto B é:

a) (3, 1)
b) (3, 6)
c) (3, 3)
d) (3, 2)
e) (3, 0)

Alternativa correta: c) (3, 3).

Se os pontos A e C são equidistantes do ponto B, quer dizer que os pontos estão situados à mesma distância. Logo, dAB = dCB e a fórmula para calcular é:

reto d com AB subscrito igual a reto d com CB subscrito raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto A subscrito espaço menos espaço reto x com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto A subscrito espaço menos espaço reto y com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz igual a raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto C subscrito espaço menos espaço reto x com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto C subscrito espaço menos espaço reto y com reto B subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz

1º passo: substituir os valores das coordenadas.

raiz quadrada de abre parênteses 6 espaço menos espaço 3 fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses 0 menos espaço reto b fecha parênteses ao quadrado fim da raiz igual a raiz quadrada de abre parênteses 0 espaço menos espaço 3 fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses 6 espaço menos espaço reto b fecha parênteses ao quadrado fim da raiz raiz quadrada de 3 ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses menos espaço reto b fecha parênteses ao quadrado fim da raiz igual a raiz quadrada de abre parênteses menos espaço 3 fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses 6 espaço menos espaço reto b fecha parênteses ao quadrado fim da raiz raiz quadrada de 9 espaço mais espaço reto b ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 9 espaço mais espaço abre parênteses 6 espaço menos espaço reto b fecha parênteses ao quadrado fim da raiz

2º passo: resolver as raízes e encontrar o valor de b.

abre parênteses raiz quadrada de 9 espaço mais espaço reto b ao quadrado fim da raiz espaço fecha parênteses ao quadrado igual a espaço abre parênteses raiz quadrada de 9 espaço mais espaço abre parênteses 6 espaço menos espaço reto b fecha parênteses ao quadrado fim da raiz fecha parênteses ao quadrado 9 espaço mais espaço reto b ao quadrado espaço igual a espaço 9 espaço mais espaço abre parênteses 6 espaço menos espaço reto b fecha parênteses ao quadrado reto b ao quadrado espaço igual a espaço 9 espaço menos espaço 9 espaço mais espaço parêntese esquerdo 6 espaço menos espaço reto b parêntese direito. parêntese esquerdo 6 espaço menos espaço reto b parêntese direito espaço reto b ao quadrado espaço igual a espaço 36 espaço menos espaço 6 reto b espaço menos espaço 6 reto b espaço mais espaço reto b ao quadrado reto b ao quadrado espaço igual a espaço 36 espaço menos espaço 12 reto b espaço mais espaço reto b ao quadrado 12 reto b espaço igual a espaço 36 espaço mais espaço reto b ao quadrado espaço menos espaço reto b ao quadrado 12 reto b espaço igual a espaço 36 reto b espaço igual a espaço 36 sobre 12 reto b espaço igual a espaço 3

Logo, o ponto B é (3, 3).

Veja também: Exercícios sobre distância entre dois pontos

Questão 11

(Unesp) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5), é

a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.

Alternativa correta: b) isósceles, mas não equilátero.

1º passo: calcular a distância entre os pontos P e Q.

reto d com PQ subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto P subscrito espaço menos espaço reto x com reto Q subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto P subscrito espaço menos espaço reto y com reto Q subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com PQ subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 0 menos 6 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 0 menos 0 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com PQ subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 6 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço 0 fim da raiz reto d com PQ subscrito igual a raiz quadrada de 36 reto d com PQ subscrito espaço igual a espaço 6

2º passo: calcular a distância entre os pontos P e R.

reto d com PR subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto P subscrito espaço menos espaço reto x com reto R subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto P subscrito espaço menos espaço reto y com reto R subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com PR subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 0 menos 3 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 0 menos 5 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com PR subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com PR subscrito igual a raiz quadrada de 9 espaço mais espaço 25 fim da raiz reto d com PR subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de 34

3º passo: calcular a distância entre os pontos Q e R.

reto d com QR subscrito igual a espaço raiz quadrada de abre parênteses reto x com reto Q subscrito espaço menos espaço reto x com reto R subscrito fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y com reto Q subscrito espaço menos espaço reto y com reto R subscrito fecha parênteses ao quadrado fim da raiz reto d com QR subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 6 menos 3 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo 0 menos 5 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com QR subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo 3 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito ao quadrado fim da raiz reto d com QR subscrito igual a raiz quadrada de 9 espaço mais espaço 25 fim da raiz reto d com QR subscrito espaço igual a espaço raiz quadrada de 34

4º passo: julgar as alternativas.

a) ERRADA. O triângulo equilátero possui as medidas dos três lados iguais.

b) CORRETA. O triângulo é isósceles, pois dois lados têm a mesma medida.

c) ERRADA. O triângulo escaleno possui as medidas dos três lados diferentes.

d) ERRADA. O triângulo retângulo possui um ângulo reto, ou seja, de 90º.

e) ERRADA. O triângulo obtusângulo possui um dos ângulos maior que 90º.

Veja também:

Geometria analítica
Classificação dos Triângulos

Questão 12

(Unitau) A equação da reta que passa pelos pontos (3,3) e (6,6) é:

a) y = x.
b) y = 3x.
c) y = 6x.
d) 2y = x.
e) 6y = x.

Alternativa correta: a) y = x.

Para facilitar o entendimento, chamaremos o ponto (3,3) de A e o ponto (6,6) de B.

Tomando P (xP, yP) como um ponto que pertence a reta AB, então A, B e P são colineares e a equação da reta é determinada por:

reto D espaço estreito igual a espaço abre barra vertical tabela linha com célula com reto x com reto A subscrito fim da célula célula com reto y com reto A subscrito fim da célula 1 linha com célula com reto x com reto B subscrito fim da célula célula com reto y com reto B subscrito fim da célula 1 linha com célula com reto x com reto P subscrito fim da célula célula com reto y com reto P subscrito fim da célula 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a espaço 0 espaço

A equação geral da reta que passa por A e B é ax + by + c = 0.

Substituindo os valores na matriz e calculando o determinante, temos:

reto D espaço estreito igual a espaço abre barra vertical tabela linha com 3 3 1 linha com 6 6 1 linha com reto x reto y 1 fim da tabela fecha barra vertical tabela linha com negrito 3 negrito 3 linha com negrito 6 negrito 6 linha com negrito x negrito y fim da tabela reto D espaço igual a espaço 18 espaço mais espaço 3 reto x espaço mais espaço 6 reto y espaço menos espaço 6 reto x espaço menos 3 reto y espaço menos 18 0 espaço igual a espaço 3 reto x espaço mais espaço 6 reto y espaço menos espaço 6 reto x espaço menos 3 reto y 0 espaço igual a espaço 3 reto y espaço menos espaço 3 reto x 3 reto x espaço igual a espaço 3 reto y reto x espaço igual a espaço reto y

Logo, x = y é a equação da reta que passa pelos pontos (3,3) e (6,6).

Questão 13

(UEA 2018) O gráfico da reta y = mx + b, em que m e b são constantes reais, está representado em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
Imagem associada à questão.

Desse modo, o gráfico da reta y = –3mx + b está corretamente representado na alternativa

a) Imagem associada à questão.

b) Imagem associada à questão.

c) Imagem associada à questão.

d) Imagem associada à questão.

e) Imagem associada à questão.

Resposta correta: d) Imagem associada à questão.

Passo 1: determinar os coeficientes m e b na equação dada.

A equação dada é:

y igual a m x espaço mais espaço b

Do gráfico temos que para y=0, x=-3. Substituindo na equação:

y igual a m x espaço mais espaço b 0 igual a m. parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito espaço mais espaço b 0 espaço igual a menos 3 m espaço mais espaço b 3 m espaço igual a espaço b

Ainda, para x=0, y=-1. Substituindo:

y espaço igual a espaço m x espaço mais espaço b menos 1 espaço igual a espaço m.0 espaço mais espaço b menos 1 espaço igual a espaço b

Igualando os dois resultados de b, temos:

3 m espaço igual a espaço menos 1 m espaço igual a espaço menos 1 terço

Uma vez que conhecemos os valores de b e m, podemos substituir na segunda equação fornecida:

y igual a menos 3 m x mais b

Substituindo os valores de m e b, determinamos a equação:

y igual a menos 3. abre parênteses menos 1 terço fecha parênteses. x espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito y igual a x espaço menos espaço 1

Agora, basta arbitrar valores para o x e para o y, afim de obter a resposta.

Para x=0, y=-1 : (0, -1)
Para y=0, x=1 : (1, 0)

A reta que passa por estes dois pontos e a reta representada pela opção d.

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Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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