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Exercícios de Matemática

Exercícios sobre condição de alinhamento de três pontos (com gabarito explicado)

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

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No plano cartesiano, três pontos nem sempre estão sob a mesma linha. Para isto ocorrer, uma condição específica deve ser satisfeita.

Acompanhe e treine suas habilidades de Geometria Analítica com estes exercícios resolvidos.

Questão 1

Os pontos A(1, 2), B(3, 6) e C(k, 10) estão alinhados no plano cartesiano. Qual é o valor de k?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Gabarito explicado

Para que três pontos estejam alinhados, o determinante da matriz formada pelas coordenadas desses pontos deve ser igual a zero.

A matriz para os pontos A(x1,y1), B(x2,y2), e C(x3,y3) é:

$abre barra vertical tabela linha com célula com x com 1 subscrito fim da célula célula com y com 1 subscrito fim da célula 1 linha com célula com x com 2 subscrito fim da célula célula com y com 2 subscrito fim da célula 1 linha com célula com x com 3 subscrito fim da célula célula com y com 3 subscrito fim da célula 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a 0$

Substituímos os pontos A(1, 2), B(3, 6), C(k, 10):

$abre barra vertical tabela linha com 1 2 1 linha com 3 6 1 linha com k 10 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a 0$

Calculamos o determinante:

$abre barra vertical tabela linha com 1 2 1 linha com 3 6 1 linha com k 10 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a 1 vezes parêntese esquerdo 6 vezes 1 menos 10 vezes 1 parêntese direito menos 2 vezes parêntese esquerdo 3 vezes 1 menos k vezes 1 parêntese direito mais 1 vezes parêntese esquerdo 3 vezes 10 menos 6 vezes k parêntese direito$

Expandindo:

$1 vezes parêntese esquerdo 6 menos 10 parêntese direito menos 2 vezes parêntese esquerdo 3 menos k parêntese direito mais 1 vezes parêntese esquerdo 30 menos 6 k parêntese direito igual amenos 4 espaço menos espaço 2 parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço k parêntese direito espaço mais espaço 30 espaço menos espaço 6 k igual amenos 4 menos 6 mais 2 k mais 30 menos 6 k espaço igual a20 menos 4 k$

Para os pontos estarem alinhados, o determinante deve ser igual a zero:

$20 menos 4 k espaço igual a espaço 020 igual a 4 k20 sobre 4 igual a k5 igual a k$

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Questão 2

Considere os pontos $A parêntese esquerdo 1 vírgula espaço 2 parêntese direito vírgula espaço B parêntese esquerdo 3 vírgula espaço 4 parêntese direito espaço e espaço C parêntese esquerdo x vírgula espaço y parêntese direito$ no plano cartesiano. Para que os pontos A, B e C estejam alinhados, qual das seguintes condições deve ser satisfeita?

a) x - y = 0

b) 2x - y = 0

c) x - 2y + 3 = 0

d) -x + y - 1 = 0

e) x - y + 1 = 0

Gabarito explicado

Para que três pontos estejam alinhados, o determinante da matriz formada por suas coordenadas e completada com 1 na terceira coluna deve ser igual a zero. Ou seja:

$abre barra vertical tabela linha com 1 2 1 linha com 3 4 1 linha com x y 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a 0$

Calculando o determinante utilizando a regra de Sarrus:

(1 . 4 . 1) + (2 . 1 . x) + (1 . 3 . y) - (x . 4 . 1) - (1 . 1 . 2) - (2 . 3 . 1) = 0

4 + 2x + 3y - 4x - y - 6 = 0

-2x + 2y - 2 = 0

Dividindo todos os termos por 2:

-x + y - 1 = 0

Questão 3

Os pontos A(2, 3), B(4, 7) e C(6, k) estão alinhados no plano cartesiano. Qual é o valor de k?

a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) 13

Gabarito explicado

Para verificar o alinhamento, o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos três pontos deve ser zero:

Substituímos os pontos A(2, 3), B(4, 7) e C(6, k):

$abre barra vertical tabela linha com 2 3 1 linha com 4 7 1 linha com 6 k 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a 0$

Calculamos o determinante:

$abre barra vertical tabela linha com 2 3 1 linha com 4 7 1 linha com 6 k 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a 2 vezes parêntese esquerdo 7 vezes 1 menos k vezes 1 parêntese direito menos 3 vezes parêntese esquerdo 4 vezes 1 menos 6 vezes 1 parêntese direito mais 1 vezes parêntese esquerdo 4 vezes k menos 7 vezes 6 parêntese direito$

Expandindo:

$2 vezes parêntese esquerdo 7 menos k parêntese direito menos 3 vezes parêntese esquerdo 4 menos 6 parêntese direito mais 1 vezes parêntese esquerdo 4 k menos 42 parêntese direito igual a2 parêntese esquerdo 7 menos k parêntese direito menos 3 parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito mais parêntese esquerdo 4 k menos 42 parêntese direito igual a14 menos 2 k mais 6 mais 4 k menos 42 igual amenos 22 espaço mais espaço 2 k$

Para que os pontos estejam alinhados, o determinante deve ser igual a zero:

−22+2k=0

2k = 22

k = 22/2

k = 11

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Questão 4

Os pontos P(1, 2), Q(3, 6) e R(m, 10) estão alinhados no plano cartesiano. Qual é o valor de m?

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

Gabarito explicado

Para verificar o alinhamento dos três pontos, o determinante da matriz formada por suas coordenadas deve ser igual a zero:

Substituímos os pontos P(1, 2), Q(3, 6) e R(m, 10):

$abre barra vertical tabela linha com 1 2 1 linha com 3 6 1 linha com m 10 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a 0$

Calculamos o determinante:

$abre barra vertical tabela linha com 1 2 1 linha com 3 6 1 linha com m 10 1 fim da tabela fecha barra vertical igual a 1 vezes parêntese esquerdo 6 vezes 1 menos 10 vezes 1 parêntese direito menos 2 vezes parêntese esquerdo 3 vezes 1 menos m vezes 1 parêntese direito mais 1 vezes parêntese esquerdo 3 vezes 10 menos 6 vezes m parêntese direito$

Expandindo:

$1 vezes parêntese esquerdo 6 menos 10 parêntese direito menos 2 vezes parêntese esquerdo 3 menos m parêntese direito mais 1 vezes parêntese esquerdo 30 menos 6 m parêntese direito igual a1 parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito menos 2 parêntese esquerdo 3 menos m parêntese direito mais parêntese esquerdo 30 menos 6 m parêntese direito espaço igual amenos 4 menos 6 mais 2 m mais 30 menos 6 m espaço igual a20 menos 4 m espaço igual a$

Para os pontos estarem alinhados, o determinante deve ser zero:

$20 menos 4 m igual a 020 espaço igual a espaço 4 m20 sobre 4 igual a m5 igual a m$

Questão 5

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

ASTH, Rafael. Exercícios sobre condição de alinhamento de três pontos (com gabarito explicado). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-condicao-de-alinhamento-de-tres-pontos/. Acesso em:

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