Geometria analítica

Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
Publicado em

A Geometria Analítica estuda elementos geométricos em um sistema de coordenadas num plano ou espaço. Estes objetos geométricos são determinados por sua localização e posição em relação a pontos e eixos deste sistema de orientação.

Desde povos da antiguidade, como egípcios e romanos, a ideia de coordenadas já aparece na história. Mas é no século XVII, com os trabalhos de René Descartes e Pierre de Fermat que este campo da Matemática se sistematiza.

Sistema cartesiano ortogonal

O Sistema Cartesiano Ortogonal é uma base de referência para localização de coordenadas. É constituído, em um plano, por dois eixos perpendiculares entre si.

  • A origem O(0,0) deste sistema é a intersecção destes eixos.
  • O eixo x é o das abscissas.
  • O eixo y é o das ordenadas.
  • Convenciona-se a orientação anti-horária dos quatro quadrantes.

Par ordenado

Um ponto qualquer no plano possui a coordenada P(x, y).

x é a abscissa do ponto P e constitui a distância entre sua projeção ortogonal no eixo x até a origem.
y é a ordenada do ponto P e constitui a distância entre sua projeção ortogonal no eixo y até a origem.

Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento que une estes dois pontos.

Fórmula da distância entre dois pontos reto A parêntese esquerdo reto x com reto A subscrito vírgula espaço reto y com reto A subscrito parêntese direito e reto B abre parênteses reto x com reto B subscrito vírgula espaço reto y com reto B subscrito espaço fecha parênteses quaisquer.

começar estilo tamanho matemático 22px reto d com AB subscrito igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo reto x com reto B subscrito menos reto x com reto A subscrito parêntese direito ao quadrado mais parêntese esquerdo reto y com reto B subscrito menos reto y com reto A subscrito parêntese direito ao quadrado fim da raiz fim do estilo

Coordenadas do ponto médio

Ponto médio é o ponto que divide um segmento em duas partes de mesma medida.

Sendo M abre parênteses x com M subscrito vírgula espaço y com M subscrito fecha parênteses o ponto médio de um segmento pilha A B com barra acima, suas coordenadas são as médias aritméticas das abscissas e ordenadas.

começar estilo tamanho matemático 22px x com reto M subscrito igual a numerador reto x com reto B subscrito mais reto x com reto A subscrito sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo e começar estilo tamanho matemático 22px reto y com reto M subscrito igual a numerador reto y com reto B subscrito mais reto y com reto A subscrito sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo

Condição de alinhamento de três pontos

Dados os pontos: reto A abre parênteses reto x com reto A subscrito vírgula espaço reto y com reto A subscrito fecha parênteses vírgula espaço espaço reto B abre parênteses reto x com reto B subscrito vírgula espaço reto y com reto B subscrito fecha parênteses espaço espaço espaço reto e espaço espaço reto C parêntese esquerdo reto x com reto C subscrito vírgula espaço reto y com reto C subscrito parêntese direito.

Estes três pontos estarão alinhados se o determinante da seguinte matriz for igual a zero.

começar estilo tamanho matemático 22px det espaço abre colchetes tabela linha com célula com reto x com reto A subscrito fim da célula célula com reto y com reto A subscrito fim da célula 1 linha com célula com reto x com reto B subscrito fim da célula célula com reto y com reto B subscrito fim da célula 1 linha com célula com reto x com reto C subscrito fim da célula célula com reto y com reto C subscrito fim da célula 1 fim da tabela fecha colchetes espaço igual a espaço 0 fim do estilo

Exemplo

Coeficiente angular de uma reta

O coeficiente angular reto m de uma reta é a tangente de sua inclinação alfa em relação ao eixo x.

começar estilo tamanho matemático 22px reto m espaço igual a espaço tg espaço reto alfa fim do estilo

Para obter o coeficiente angular a partir de dois pontos:

começar estilo tamanho matemático 22px reto m igual a numerador reto y com reto B subscrito menos reto y com reto A subscrito sobre denominador reto x com reto B subscrito menos reto x com reto A subscrito fim da fração fim do estilo

Se m > 0 a reta é ascendente, caso contrário, se m < 0, a reta é decrescente.

Equação geral da reta

começar estilo tamanho matemático 22px ax espaço mais espaço by espaço mais espaço reto c espaço igual a espaço 0 fim do estilo

Onde a, b e c são números reais constantes e, a e b não são simultaneamente nulos.

Exemplo

Equação da reta conhecendo um ponto e o coeficiente angular

Dado um ponto reto A abre parênteses reto x com 0 subscrito vírgula espaço reto y com 0 subscrito fecha parênteses e o coeficiente angular reto m.

A equação da reta será:

começar estilo tamanho matemático 22px reto y menos reto y com 0 subscrito igual a reto m parêntese esquerdo reto x menos reto x com 0 subscrito parêntese direito fim do estilo

Exemplo

Forma reduzida da equação da reta

começar estilo tamanho matemático 22px reto y igual a mx mais reto n fim do estilo

Onde:
m é o coeficiente angular;
n é o coeficiente linear.

n é ordenada em que a reta intersecta o eixo y.

Exemplo

Veja Equação da Reta.

Posição relativa entre duas retas paralelas em um plano

Duas retas distintas são paralelas quando seus coeficientes angulares são iguais.

Se uma reta r possui coeficiente angular reto m com reto r subscrito, e uma reta s possui coeficiente angular reto m com reto s subscrito, estas são paralelas quando:

começar estilo tamanho matemático 22px reto m com reto r subscrito igual a reto m com reto s subscrito fim do estilo

Para isto, suas inclinações devem ser iguais.

m com s subscrito igual a t g espaço alfa com s espaço subscrito fim do subscrito m com r subscrito igual a t g espaço alfa com r espaço subscrito fim do subscrito

As tangentes são iguais quando os ângulos são iguais.

Posição relativa entre duas retas concorrentes em um plano

Duas retas são concorrentes quando seus coeficientes angulares são diferentes.

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Por sua vez, os coeficientes angulares diferem quando seus ângulos de inclinação em relação ao eixo x, são diferentes.

alfa com r subscrito não igual alfa com s subscrito

Retas perpendiculares

Duas restas são perpendiculares quando o produto entre seus coeficientes angulares é igual a -1.

Duas retas r e s, distintas, com coeficientes angulares m com r subscrito e m com s subscrito, são perpendiculares se, e somente se:

começar estilo tamanho matemático 22px reto m com reto r subscrito. reto m com s subscrito igual a menos 1 fim do estilo

ou

começar estilo tamanho matemático 22px reto m com reto r subscrito igual a menos 1 sobre reto m com reto s subscrito fim do estilo

Outro modo de saber se duas retas são perpendiculares é a partir de suas equações na forma geral.

Sendo as equações das retas r e s:

r dois pontos espaço a com r subscrito x mais b com r subscrito y mais espaço c com r subscrito espaço s dois pontos espaço a com s subscrito x mais b com s subscrito y mais c com s subscrito

Duas retas suas perpendiculares quando:

começar estilo tamanho matemático 22px reto a com reto r subscrito. reto a com reto s subscrito mais reto b com reto r subscrito. reto b com reto s subscrito igual a 0 fim do estilo

Veja Retas Perpendiculares.

Circunferência

Circunferência é o lugar geométrico no plano em que todos os pontos P(x, y) estão a mesma distância r do seu centro C(a, b), onde r é a medida de ser raio.

Equação da circunferência na forma reduzida

começar estilo tamanho matemático 22px abre parênteses reto x menos reto a fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses reto y menos reto b fecha parênteses ao quadrado igual a reto r ao quadrado fim do estilo

Onde:
r é o raio, a distância entre qualquer ponto de seu arco e o centro C.
a e b são as coordenadas do centro C.

Equação geral da circunferência

começar estilo tamanho matemático 22px reto x ao quadrado mais reto y ao quadrado menos 2 ax menos 2 by mais abre parênteses reto a ao quadrado mais reto b ao quadrado menos reto r ao quadrado fecha parênteses igual a 0 fim do estilo

É obtida ao desenvolver os termos elevados ao quadrado da equação reduzida da circunferência.

É muito comum aparecer a forma geral da equação da circunferência nos exercícios, também conhecida como forma normal.

Cônicas

A palavra cônica vêm de cone e se refere as curvas obtidas ao seccioná-lo. Elipse, hipérbole e parábola são curvas chamadas de cônicas.

Elipse

Elipse é uma curva fechada obtida pela secção de um cone circular reto por um plano oblíquo ao eixo, que não passa pelo vértice e não é paralelo as suas geratrizes.

Em um plano, o conjunto de todos os pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos internos é constante.

Elementos da elipse:

  • F1 e F2 são os focos da elipse;
  • 2c é distância focal da elipse. É a distância entre F1 e F2;
  • O ponto O é centro da elipse. É o ponto médio entre F1 e F2;
  • A1 e A2 são os vértices da elipse;
  • O segmento pilha reto A com 1 subscrito reto A com 2 subscrito com barra acima eixo maior e igual a 2a.
  • O segmento pilha reto B com 1 subscrito reto B com 2 subscrito com barra acima eixo menor e igual a 2b.
  • Excentricidade e espaço igual a espaço c sobre a onde 0 < e < 1.

Equação reduzida da elipse

Considere um ponto P(x, y) contido na elipse onde x é a abcissa e y a ordenada deste ponto.

Centro da elipse na origem do sistema de coordenadas e eixo maior (AA) no eixo x.

começar estilo tamanho matemático 22px reto x ao quadrado sobre reto a ao quadrado mais reto y ao quadrado sobre reto b ao quadrado igual a 1 fim do estilo

Centro da elipse na origem do sistema de coordenadas e eixo maior (AA) no eixo y.

começar estilo tamanho matemático 22px reto x ao quadrado sobre reto b ao quadrado mais reto y ao quadrado sobre reto a ao quadrado igual a 1 fim do estilo

Equação reduzida da elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados

Considerando um ponto reto O parêntese esquerdo reto x com 0 subscrito vírgula espaço reto y com 0 subscrito parêntese direito como a origem do sistema cartesiano e, um ponto reto C parêntese esquerdo reto x com 0 subscrito vírgula espaço reto y com 0 subscrito parêntese direito como centro da elipse.

Eixo maior AA, paralelo ao eixo x.

começar estilo tamanho matemático 22px parêntese esquerdo reto x menos reto x com 0 subscrito parêntese direito ao quadrado sobre reto a ao quadrado mais parêntese esquerdo reto y menos reto y com 0 subscrito parêntese direito ao quadrado sobre reto b ao quadrado igual a 1 fim do estilo

Eixo maior AA, paralelo ao eixo y.

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Hipérbole

Hipérbole é um conjunto de pontos em um plano onde a diferença entre dois pontos fixos F1 e F2 resulta em um valor constante e positivo.

Elementos da hipérbole:

  • F1 e F2 são os focos da hipérbole.
  • 2c = pilha reto F 1 reto F 2 com barra acima é a distância focal.
  • Centro da hipérbole é o ponto O, médio do segmento F1F2.
  • A1 e A2 são os vértices.
  • 2a = A1A2 é o eixo real ou transverso.
  • 2b = B1B2 é o eixo imaginário ou conjugado.
  • reto e igual a reto c sobre reto a espaçoé a excentricidade.

Pelo triângulo B1OA2

reto c ao quadrado igual a reto a ao quadrado mais reto b ao quadrado

Equação reduzida da hipérbole

Com eixo real sobre o eixo x e centro na origem.

começar estilo tamanho matemático 22px reto x ao quadrado sobre reto a ao quadrado menos reto y ao quadrado sobre reto b ao quadrado igual a 1 fim do estilo

Com eixo real sobre o eixo y e centro na origem.

começar estilo tamanho matemático 22px reto y ao quadrado sobre reto a ao quadrado menos reto x ao quadrado sobre reto b ao quadrado igual a 1 fim do estilo

Equação da hipérbole com eixos paralelos aos eixos coordenados

Eixo real AA paralelo ao eixo x e centro reto C parêntese esquerdo reto x com 0 subscrito vírgula reto y com 0 subscrito parêntese direito.

começar estilo tamanho matemático 22px parêntese esquerdo reto x menos reto x com 0 subscrito parêntese direito ao quadrado sobre reto a ao quadrado menos parêntese esquerdo reto y menos reto y com 0 subscrito parêntese direito ao quadrado sobre reto b ao quadrado igual a 1 fim do estilo

Eixo real AA paralelo ao eixo y e centro reto C parêntese esquerdo reto x com 0 subscrito vírgula reto y com 0 subscrito parêntese direito.

começar estilo tamanho matemático 22px parêntese esquerdo reto y menos reto y com 0 subscrito parêntese direito ao quadrado sobre reto a ao quadrado menos parêntese esquerdo reto x menos reto x com 0 subscrito parêntese direito ao quadrado sobre reto b ao quadrado igual a 1 fim do estilo

Parábola

Parábola é o lugar geométrico em que o conjunto de pontos P(x, y) estão a mesma distância de um ponto fixo F e de uma reta d.

Elementos da parábola:

  • F é o foco da parábola;
  • d é a reta diretriz;
  • Eixo de simetria é a reta que passa pelo foco F e é perpendicular à diretriz.
  • V é vértice da parábola.
  • p é o segmento de mesmo comprimento entre o foco F e o vértice V e, entre o vértice e a diretriz d.

Equações reduzidas da parábola

Com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo y.

começar estilo tamanho matemático 22px reto x ao quadrado igual a 4 py fim do estilo

Se p>0 concavidade para cima.
Se p<0 concavidade para baixo.

Com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo x.

começar estilo tamanho matemático 22px reto y ao quadrado igual a 4px fim do estilo

Se p>0 concavidade para direita.
Se p<0 concavidade para esquerda.

Com eixo de simetria paralelo ao eixo y e vértice reto V abre parênteses reto x com 0 subscrito vírgula reto y com 0 subscrito fecha parênteses.

começar estilo tamanho matemático 22px abre parênteses reto x menos reto x com 0 subscrito fecha parênteses ao quadrado igual a 4 reto p abre parênteses reto y menos reto y com 0 subscrito fecha parênteses fim do estilo

Com eixo de simetria paralelo ao eixo x e vértice reto V abre parênteses reto x com 0 subscrito vírgula reto y com 0 subscrito fecha parênteses.

começar estilo tamanho matemático 22px parêntese esquerdo reto y menos reto y com 0 subscrito parêntese direito ao quadrado igual a 4 reto p parêntese esquerdo reto x menos reto x com 0 subscrito parêntese direito fim do estilo

Pratique com Exercícios sobre Geometria Analítica.

Aprenda mais em:
Plano Cartesiano
Distância entre dois pontos
Cônicas
Cálculo do Coeficiente Angular

Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.